Ensemble grand canonique : démonstration props collectives->individuelles

[freemp]

Salut à tous.

J'ai une question sur la démonstration prouvant qu'on peut exprimer les grandeurs en fonction de la fonction de répartition à un corps.

Une démo se situe ici : http://www.lra.ens.fr/~levrier/Files...at-corrige.pdf page 2, point 2.

Ce que je ne comprends pas c'est l'interversion produit/somme.

En effet, supposons que j'aie une répartition comme ceci (je considère 3 états individuels pour simplifier et 3 microétats) :

Pour {N_lamda}_1 (premier microétat) :

lambda3: facteur d'occupation = 1
lambda2: facteur d'occupation = 1
lambda1: facteur d'occupation = 1

Pour {N_lamda}_2 (second microétat) :

lambda3: facteur d'occupation = 1
lambda2: facteur d'occupation = 1
lambda1: facteur d'occupation = 2

Pour {N_lamda}_3 (troisième microétat) :

lambda3: facteur d'occupation = 1
lambda2: facteur d'occupation = 2
lambda1: facteur d'occupation = 1

Je prends (au lieu de l'exponentielle, pour rendre l'explication plus simple) la somme suivante :



J'aurai donc ici :

1*1*1+2*1*1+1*2*1=5

Maintenant j'intervertis sigma et produit :



J'ai donc :

(1+2+1)*(1+1+2)*(1+1+1)=4*4*3 différent de 5 !

Donc dans mon exemple on a pas le droit d'intervertir sigma et produit.

Du coup pourquoi c'est vrai dans la démo, je ne comprends pas (le fait d'utiliser les exponentielle fait un cas particulier qui marche ? Ou je n'ai pas compris le formalisme ?)

Merci !
-----

[gatsu]

Salut à tous.

J'ai une question sur la démonstration prouvant qu'on peut exprimer les grandeurs en fonction de la fonction de répartition à un corps.

Une démo se situe ici : http://www.lra.ens.fr/~levrier/Files...at-corrige.pdf page 2, point 2.

Ce que je ne comprends pas c'est l'interversion produit/somme.

En effet, supposons que j'aie une répartition comme ceci (je considère 3 états individuels pour simplifier et 3 microétats) :

Pour {N_lamda}_1 (premier microétat) :

lambda3: facteur d'occupation = 1
lambda2: facteur d'occupation = 1
lambda1: facteur d'occupation = 1

Pour {N_lamda}_2 (second microétat) :

lambda3: facteur d'occupation = 1
lambda2: facteur d'occupation = 1
lambda1: facteur d'occupation = 2

Pour {N_lamda}_3 (troisième microétat) :

lambda3: facteur d'occupation = 1
lambda2: facteur d'occupation = 2
lambda1: facteur d'occupation = 1

Je prends (au lieu de l'exponentielle, pour rendre l'explication plus simple) la somme suivante :



J'aurai donc ici :

1*1*1+2*1*1+1*2*1=5

Maintenant j'intervertis sigma et produit :



J'ai donc :

(1+2+1)*(1+1+2)*(1+1+1)=4*4*3 différent de 5 !

Donc dans mon exemple on a pas le droit d'intervertir sigma et produit.

Du coup pourquoi c'est vrai dans la démo, je ne comprends pas (le fait d'utiliser les exponentielle fait un cas particulier qui marche ? Ou je n'ai pas compris le formalisme ?)

Merci !

Salut,

Je pense que tu prends en effet un mauvais exemple pour faire ton test. Dans la demo que tu mentionnes, les n_{\lambda} sont en exposant; cela veut dire qu'une somme de n_{\lambda} peut s'interpreter comme un produit. C'est donc l'un des seuls cas ou cette somme et le produit peuvent s'intervertir.

[freemp]

Merci de ta réponse mais il y a encore quelque chose sur lequel je bute.

Prenons cette expression :


Ici, on ne somme pas vraiment sur l'indice N_lambda, mais on parcourt l'ensemble de répartition de N_lambda possibles, ce qui n'est pas vraiment une sommation sur cette indice (es-tu d'accord avec moi ?).

En revanche après l'interversion :


Là en revanche, on effectue bien concrètement une somme "classique" sur N_lambda.

Et si je comprends bien, tu me dis que dans , on a une somme sur les n_lambda, et on peut donc l'interpréter comme un produit.
Mais la somme n'est pas dans l'argument de l'exponentielle donc je ne comprends pas trop ce que tu veux dire (on a Sigma(exp) et pas exp(sigma)).

Merci.

[gatsu]

Merci de ta réponse mais il y a encore quelque chose sur lequel je bute.

Prenons cette expression :


Ici, on ne somme pas vraiment sur l'indice N_lambda, mais on parcourt l'ensemble de répartition de N_lambda possibles, ce qui n'est pas vraiment une sommation sur cette indice (es-tu d'accord avec moi ?).

En revanche après l'interversion :


Là en revanche, on effectue bien concrètement une somme "classique" sur N_lambda.

Et si je comprends bien, tu me dis que dans , on a une somme sur les n_lambda, et on peut donc l'interpréter comme un produit.
Mais la somme n'est pas dans l'argument de l'exponentielle donc je ne comprends pas trop ce que tu veux dire (on a Sigma(exp) et pas exp(sigma)).

Merci.

ba du point de vue notation la somme



si on imagine qu'il y a niveau d'énergie a une particule.

Du coup, si tu as l'expression :



il me parait assez clair que c'est la meme chose que

[A voir en vidéo sur Futura]

[freemp]

Ah oui ok merci.

En fait je n'avais pas pensé au fait que :


Une dernière question :

Dans le formalisme grand canonique, le nombre de particules peut donc varier, mais en pratique, pourquoi on considère qu'on a des sommes infinies ?

Car certes le nombre N peut varier mais on peut être restreint à N<Nmax.
C'est juste une histoire de présentation du concept ou bien on suppose bien qu'on a un nombre infini de particule dans le formalisme ?

Merci !

[gatsu]

Ah oui ok merci.

En fait je n'avais pas pensé au fait que :


Une dernière question :

Dans le formalisme grand canonique, le nombre de particules peut donc varier, mais en pratique, pourquoi on considère qu'on a des sommes infinies ?

Car certes le nombre N peut varier mais on peut être restreint à N<Nmax.
C'est juste une histoire de présentation du concept ou bien on suppose bien qu'on a un nombre infini de particule dans le formalisme ?

Merci !

C'est le meme type d'idealisation que pour l'ensemble canonique ou l'energie peut prendre toutes les valeurs jusqu'a l'infini. L'idée physique est celle d'un reservoir de particules qui peut fournir en principe une quantité infinie de particules au système d'etude sans s'essouffler (tu peux juste imaginer que lorsque tu arrives a l'infini pour to système, alors le reservoir avait simplement au depart 2 fois l'infini et donc pas grand chose ne s'est passe pour lui).

D'un point de vue modélisation mathématique, l'idée de l'ensemble grand canonique est d'abandonner l'idée que le nombre de particules est fixe dans le système et que a priori, vu qu'on a aucune idée du nombre possible de particules dans le système, on préfère imaginer que le nombre de particules devient une simple variable aléatoire avec une distribution de probabilite en cloche centree sur une valeur moyenne finie mais ou le support de la distribution est a priori infini (ce qui est assez commun en théorie des probabilité).

[freemp]

Très bien merci.

J'aurai une autre question :

Quand dans l'ensemble grand canonique on parle de E_lambda, il s'agit du niveau d'énergie associé à l'état Quantique |lambda>.
Supposons que nous ayons un système avec des dégénerescences en énergies.

On peut avoir E_lambda1=E_lambda2 n'est ce pas ?

Je pose la question car quand on trace la statistique de Bose Einstein, on a :



Du coup si on trace ceci sur un graphique avec le E_lambda en abscisse en faisant varier lamba, on est tenté de se dire que deux abscisses différentes correspondent nécessairement à des énergies différentes mais ce n'est pas forcément le cas si on a des dégénérescences , non ?

Je m'embrouille p-e.

Merci !
(

[gatsu]

Très bien merci.

J'aurai une autre question :

Quand dans l'ensemble grand canonique on parle de E_lambda, il s'agit du niveau d'énergie associé à l'état Quantique |lambda>.
Supposons que nous ayons un système avec des dégénerescences en énergies.

On peut avoir E_lambda1=E_lambda2 n'est ce pas ?

Je pose la question car quand on trace la statistique de Bose Einstein, on a :



Du coup si on trace ceci sur un graphique avec le E_lambda en abscisse en faisant varier lamba, on est tenté de se dire que deux abscisses différentes correspondent nécessairement à des énergies différentes mais ce n'est pas forcément le cas si on a des dégénérescences , non ?

Je m'embrouille p-e.

Merci !
(

Cela depend un peu. E_lambda est normalement un niveau d'énergie. Le nombre d'occupation moyen dit combien de fermion ou boson peuvent occuper cet état considere comme unique. La degenerescence peut être mise a ce niveau la en facteur soit directement dans la densité d'états qui compte le nombre d'etats d'énergie disponible et ce indépendamment de la statistique adoptee pour les particules.

[freemp]

Hmmm je ne suis pas sur de bien comprendre.

En gros ce que tu me dis c'est qu'en général, quand on parle de , on parle bien d'un niveau d'énergie donné.

Donc dans le formalisme habituel, on suppose qu'on a pas de dégénérescences, on ajoute les dégénérescences "à la main" si jamais il y en a lieu en multipliant par un facteur approprié les valeurs de , ou bien en passant par le calcul "intégral" (quand on remplace les sommes par des intégrales en passant par la densité d'états qui comportera la donnée des dégénérescences dans son expression).
C'est bien ce que tu veux dire ?

Merci.

[gatsu]

Hmmm je ne suis pas sur de bien comprendre.

En gros ce que tu me dis c'est qu'en général, quand on parle de , on parle bien d'un niveau d'énergie donné.

Donc dans le formalisme habituel, on suppose qu'on a pas de dégénérescences, on ajoute les dégénérescences "à la main" si jamais il y en a lieu en multipliant par un facteur approprié les valeurs de , ou bien en passant par le calcul "intégral" (quand on remplace les sommes par des intégrales en passant par la densité d'états qui comportera la donnée des dégénérescences dans son expression).
C'est bien ce que tu veux dire ?

Merci.

Oui c'est ce que je dis en effet. Je ne dis pas que c'est evident mais que c'est comme ca que c'est fait en pratique.

Il faut repartir de la demonstration pour le voir. Le fait que l'on scinde la somme de la grande fonction de partition simplement en sommes d'exponentielles nous dit directement que la nature de est un micro-état du système ou un état quantique du système. Si ce n'etait pas le cas et que représentait en fait une valeur de l'énergie qui est et est possiblement dégénérée, la factorisation de la somme se serait produite différemment et on aurait eu une somme sur (ou est la densité d'états ou degenerescence du niveau d'énergie ) au lieu de qui aurait conduit in fine au meme résultat que la prescription que j'ai donnee dans mon message precedent.

[freemp]

Bonjour,

Je me permet de remonter ce topic car je n'ai pas très bien compris ta dernière remarque.

Supposons qu'on aie un système Quantique dégénéré.

représente par définition un état individuel du système.

Imaginons pour simplifier un système à deux états individuels dégénérés :

et , ces deux états individuels possèdent la même énergie (donc les kets et sont les deux fonctions propres de la dégénérescence).

Selon toi, on a donc :



Au lieu de :



En gros, on sait que la première écriture est bonne car ce qui compte physiquement c'est la valeur de l'énergie, pas la fonction propre, donc si deux fonctions propres appartiennent au même niveau d'énergie, forcément leurs contributions seront identiques d'où le terme "*2".

La deuxième ne l'est donc pas pour cette raison (si on a deux états individuels associés à la même énergie, physiquement ils apportent forcément la même contribution car à une énergie fixée, un état propre ne "domine" pas un autre).

Donc on peut montrer en quelque sorte "par l'absurde" que la fonction de partition grand canonique développée comme telle suppose forcément de par des considérations purement physique que les états ne sont pas dégénérés.

Es-tu ok avec moi ?

(En fait je n'ai pas très bien compris ton dernier message mais je pense que ce que je dis est plus ou moins équivalent à ce que tu voulais dire ?).

Merci en tout cas