Centre de masse cône tronqué

[Lenalee]

Bonjour,

J'ai un problème pour trouver le centre de masse d'un tronc de cône (1), de masse volumique p1.
Ce tronc de cône est la différence d'un cône (3) de rayon R et de hauteur R et d'un autre cône (4) de rayon R/2 et hauteur R/2.

On m'a d'abord fait calculer les masses du cône (3) et (4), j'ai trouvé : m3 = (p1*R^3pi)/3 et m4 = (p1*R^3pi)/24
Du coup j'en déduis pour la masse du tronc de cône que m1=m3-m4

Voila, et maintenant pour trouver le CDM, je sais pas si j'ai le droit de dire que c'est m1OG = intégrale triple (OM dm1) = intégrale triple (OM (dm3-dm4)) ?

Bon en tout cas en calculant comme ça je tombe sur (45/28)R, ce que je pense est faux....
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment faire le calcul svp ?

Merci d'avance !
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[Dynamix]

Bon en tout cas en calculant comme ça je tombe sur (45/28)R, ce que je pense est faux....

Bien entendu que c' est faux .
Ton centre de masse serait à l' extérieur du tronc de cône .
Le dernier terme est pour le moins curieux ...dm3-dm4 ???
Ce devrait être , avec ton mode d' écriture :
∭OM.dm(3)-∭OM.dm(4)

C' est en fait la même intégrale ∭OM.dm sur le volume 3 et sur le volume 4

[Lenalee]

Oui c'est ce que je voulais écrire.
Mais c'est comme ça qu'il faut procéder ?

[Dynamix]

C' est le principe de base .
Détaille nous tes calculs .

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Comment avez-vous fait pour calculer la masse d’un cône ?
J’espère que vous avez découpé le cône en disques d’épaisseur ‘dz’ et intégré les ‘dm’ de chaque disque, depuis la base jusqu'au sommet du cône.
Maintenant, pour calculer la position du centre de masses, il faut faire la même intégrale, mais en multipliant par ‘z’. Et c’est un cône tronqué il faut s’arrêter avant le sommet.
Et pour la vous la position de centre de masses il fat diviser cette intégrale par l’intégrale de ‘dm’, avec les mêmes bornes d’intégration.

Mais si vous parlez d’intégrale triple, je m’inquiète.
Au revoir.

[Dynamix]

J’espère que vous avez découpé le cône en disques d’épaisseur ‘dz’ et intégré les ‘dm’ de chaque disque, depuis la base jusqu'au sommet du cône.

C' est une simplification .
Un volume , basiquement c' est une intégrale triple .
Si Lanalee l' a traité ainsi , c' est un bon exercice qui ne peut lui faire que du bien .

[LPFR]

C' est une simplification .
Un volume , basiquement c' est une intégrale triple .
Si Lanalee l' a traité ainsi , c' est un bon exercice qui ne peut lui faire que du bien .

Re.
C’est bien pour un cours de maths. Pour un cours de physique c’est mieux d’apprendre à raisonner comme un physicien, pour qui un volume peut se calculer parfois comme une intégrale triple, double ou simple. Et une surface comme une intégrale double ou simple.
A+

[Lenalee]

Comment avez-vous fait pour calculer la masse d’un cône ?
J’espère que vous avez découpé le cône en disques d’épaisseur ‘dz’ et intégré les ‘dm’ de chaque disque, depuis la base jusqu'au sommet du cône.
Maintenant, pour calculer la position du centre de masses, il faut faire la même intégrale, mais en multipliant par ‘z’. Et c’est un cône tronqué il faut s’arrêter avant le sommet.
Et pour la vous la position de centre de masses il fat diviser cette intégrale par l’intégrale de ‘dm’, avec les mêmes bornes d’intégration.

Mais si vous parlez d’intégrale triple, je m’inquiète.

Pour trouver la masse d'un cône je fais :
p = masse volumique
dO = dtheta
a = demi angle du cone

Je sais que le rayon varie en fonction de z

m = ∭ pdV =∭ p rdrdOdz = p [int de 0 à R de int de 0 à ztan(a) rdr)dz] * 2Pi = p*(tan^2(a)/2)*(R^3/3)*2Pi
Je simplifie les 2, et tan^2(a) = (R/R)^2 =1 et je trouve mon m3 = (p*R^3*Pi)/3
Voila, c'est bien des intégrales triples là, non ?

C' est le principe de base .
Détaille nous tes calculs .

Je dis que m1OG = p1∭z rdrdOdz - p1∭z rdrdOdz
=p1 (int 0 à R de z^3 * tan^2(a) dz) * 2Pi - int 0 à R/2 de z^3 * tan^2(a) dz) * 2Pi
Est ce que jusque là ca va ? :/

[LPFR]

...
Voila, c'est bien des intégrales triples là, non ?
...

Re.
Oui, bien sur.
Quand on vous demande la surface d’un disque que répondez-vous: pi.r² ou une intégrale double ?
Ou pour le volume d’un cylindre : pi.r².h ou une intégrale triple.
C’est ça une des différences entre un matheux et un physicien.
A+

[Lenalee]

Oui je vois ce que vous voulez dire, mais en fait je m'entraîne à les calculer, au cas où j'aurai un trou de mémoire et que je ne me souvienne plus des formules
Ou que je ne connaisse pas la formule tout court

[Dynamix]

=p1 (int 0 à R de z^3 * tan^2(a) dz) * 2Pi - int 0 à R/2 de z^3 * tan^2(a) dz) * 2Pi

C' est quoi tan²a ?
Tu n' as pas encore remarqué que p1 ne sert à rien ?
Commence par intégrer r.dr.dθ , ça fera plaisir à LPFR qui boue d' impatience

[Lenalee]

En fait alpha c'est le demi angle du cône et donc tan(alpha)=Rayon/hauteur
Du coup quand j'intègre r dr dO, ca me donne ((z^2 * tan^2(alpha))/2) * 2Pi
J'intègre r de 0 à z*tan(alpha)