Bonsoir!
J'essaie de comprendre un cours de statistique quantique. On a affaire à un hamiltonien, écrit sous la forme d'une matrice (non diagonale) sur une base donnée. Nous voulons calculer l'opérateur densité défini comme exp(-béta*H), où H est l'hamiltonien en question et béta l'inverse de la température.
Cette quantité est donnée sous la forme d'une matrice et je n'arrive pas à la retrouver. Comment calculer l'exponentielle d'une matrice?
Merci d'avance!
Bonjour.
Dans R, l'exponentielle admet un développement sous forme de série (Taylor), qui est appelé...la série exponentielle et que l'on connait bien : c'est la série de terme général x^n/(n!).
Et bien dans Mn(R), l'exponentielle d'une matrice A est fait une série de matrices (normalement convergente sur toute partie bornée de l'espace), dont le terme général est (1/n!)*A^n
Les A^n étant des puissances ordinaires de matrices, que l'on sait calculer avec le produit matriciel. Et le (1/n!) en facteur est un simple scalaire.
Après, je ne sais pas comment le cours de statistique formule le résultat par la suite, mais il en passe en tout cas par cette étape...
Dans le cas d'une matrice D diagonale, on se rend compte que ça se simplifie : exp(D) est une matrice diagonale dont les coefficients sont les exp de ceux de D. Et si A est diagonalisable, A = PD(P^(-1)), etc...
Cordialement,
Rizmoth.
Rizmoth. Professeur particulier.
Merci Rizmoth !
Salut,Envoyé par mc_kamel
Effectivement, siest une matrice alors :
Souvent en statistique quantique on calcule les premiers termes du développement avec genre
Si ton exercice consiste réellement a calculer toute l'exponentielle, alors je te conseille de calculer les premiers termes du développement de Taylor et d'essayer de trouver un pattern.
