Exponentielle de matrice

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
Je vous expose ici mon problème ainsi que mes propositions mais j'aurai besoin de votre aide sur certains points également.
Soit le système dynamique suivant:
X'(t)=A.X(t) où X(t)= [x;y;z] et A=[-6 -4 -3 ; -2 1 -3 ; 8 4 5]

Quelle est la stabilité des points d'équilibre de ce système ?
J'ai trouvé que l'unique point d'équilibre était le point (0 0 0) mais je ne comprend pas la question qui demande de déterminer la stabilité autour de ce point.
J'ai donc calculé les valeurs propres de la matrice A qui sont -1;-1 et 2 et comme 2>0, alors le système est instable mais je ne pense pas que ce soit la réponse attendue.

Ecrire A=P.J.P^-1 où J a une forme qui permet de calculer facilement exp(J)
J'ai trouvé P=[1 2 1 ; -2 -1 -1 ; 0 -2 -1] et J=[2 0 0 ; 0 -1 1 ; 0 0 -1] donc j'ai en fait effectué une jordanisation.

On se place au point X0 = [x0;y0;z0] = [1;0;0]. Calculer l'état du système en fonction de t.
On a donc X(t)=P.exp(J.t).P^-1.X0 mais je n'arrive pas à calculer exp(J.t). Pourriez vous m'aider sur ce point.

Merci d'avance à tous et bonnes fêtes de fin d'année.
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[VirGuke]

Salut,

As-tu essayé d'exprimer les puissances successives de J?

[acx01b]

salut, J devrait être diagonale --> faute de frappe ?
ton système diverge si le X_0 n'est pas dans le plan orthogonal au vecteur propre V_2 associé à la valeur propre 2,

sinon il est tout à fait stable

autour du point de stabilité [0,0,0] c'est stable toujours dans le plan orthogonal à V_2, et instable dès que tu n'es plus dans ce plan

[VirGuke]

salut, J devrait être diagonale --> faute de frappe ?

Pourquoi A devrait être diagonalisable? Triangulaire sur les sous-espaces propres oui mais diagonale...

Sinon la stabilité avec des valeurs propres de norme 1 est déjà discutable mais avec que des vp de norme >=1 on est quand même loin du compte, R^3 privé de l'orthogonal du sous espace propre V_2 c'est quand même assez gros.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda3529a9]

Oui j'ai dejà essayé d'exprimer les puissance de J à l'aide du binôme:
J^n=n.J^n + J^(n-1) mais ca n'aboutit à rien avec la formule de l'exponentielle.
Pourriez vous m'aider svp ?
Pourriez vous m'éclairer sur la stabilité autour de (0 0 0) ? Quelle est la démarche à adopter pour déterminer la stabilité autour d'un point ?
Merci d'avance

[VirGuke]

Pour ce qui est de l'exponentielle :



Tu dois pouvoir trouver par récurrence une formule qui te donne les coefficients de J^n. En suite tu peux calculer exp(tA).

Pour ce qui est de la stabilité j'ai dit une bêtise pour les -1, j'étais parti sur des suites numériques, par contre ça ne change rien au problème de 2, sur le sous-espace propre associé tu vas avoir x= X0 exp(2t) qui diverge.

La définition de la stabilité d'un point c'est que pour toute perturbation infinitésimale ton système revient vers l'équilibre. Là tu vois bien que si tu prends un vecteur propre tu aura où V est constant dont t'as une équation différentielle classique.

Donc si tu prends une perturbation (a,b,c) dans ta base propre, la composante b,c dans le sous-espace propre associé à -1 va faire sa vie là dedans, tandis que dès que a est non nul ton vecteur propre associé à la vp 2 va diverger.