Problème exercice pendule incliné (Théorème du moment cinétique)

[hiphop68]

Salut à tous. Comme expliqué dans le titre j'ai un soucis sur un exercice d'application du TMC sur un pendule incliné ( http://www.physagreg.fr/mecanique-21-td.php exercice 4). Mon problème se pose à la question 3. Il demande d'obtenir l'ED du mouvement en utilisant le TMC. Tout d'abord, j'ai calculé la dérivé du moment cinétique et j'obtiens mr² x d² théta/dt² suivant le vecteur uz. Pour l'instant aucun problème.
Maintenant, je calcule le moment du poids P (le vecteur P est décrit à la question 2) et j'obtiens une composante suivant le vecteur uz ET suivant le vecteur uthéta... plus exactement, j'obtiens -Prsin(alpha)sin(théta) suivant le vecteur uz et Prcos(alpha) suivant uthéta. Le problème est que je n'obtiens pas l'ED décrite. Il me semble que c'est la composante selon théta du moment de P qui est le problème. En effet, si je supprime cette composante, je tombe pile sur l'ED décrite dans la correction. J'ai refais et refais mon calcul et je ne vois pas où est mon problème... Quelqu'un pourrait venir en aide d'un jeune étudiant ? ^^
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[mango1]

Salut,
je trouve le même moment que toi pour P.
Pour l'équation différentielle, tu passes donc par le TMC en projection suivant uz et tu obtiens d²(theta)/dt² + g/r sin(alpha) theta =0 , pour de petits angles en theta.

[hiphop68]

Merci mango1 pour ta réponse. Cependant, je ne comprend pas comment la dérivée du moment cinétique (qui a une seule composante sur z) peut être égale au moment du poids (qui a deux composantes sur z et théta). Sachant que ces deux vecteurs sont égaux d'après le TMC, ont doit avoir la composante selon théta de la dérivée du moment cinétique égale à la composante selon théta du moment du poids P soit Prcos(alpha) = 0. Ainsi, on "oblige" alpha à valoir pi/2 ou -^pi/2 alors qu'il peut être quelconque dans l'exercice.

[mango1]

Je pense que dans l'énoncé, on ne prend pas en compte toutes les forces s'exerçant sur le mobile. La force de rappel du fil et la résultante normale ne sont pas prises en compte. Peut être que le Prcos(alpha) s'exprime en fonction de ces forces auquel cas il n'est pas nul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hiphop68]

Je viens de faire le calcul en rajoutant la réaction du support et j'ai R=Pcos(alpha) suivant uz et comme moment M(R)=-Prcos(alpha) suivant uthéta. Ainsi en faisant la somme des moments ont enlève la composante en théta des moments et on retrouve une égalité plus cohérente... Merci
C'est juste un peu débile de pas l'avoir mentionné dans la correction mais bon au moins ça fais réfléchir ^^

[hiphop68]

Décidément, je sais pas si c'est moi où l'exo qui est mal foutu mais j'ai un soucis sur la question d'après (question 5)...
On nous donne les conditions initailes suivantes : théta(t=0) = 0 et dthéta/dt = v0
On nous demande l'angle maximal atteint.

Tout d'abord à partir de l'ED on obtient l'équation de théta et à partir des conditions initiales on trouve les constantes. Moi, j'ai :
Théta(t) = v0/w0 sin(w0 t) où w0²=gsin(alpha) / l.

Ensuite quand l'angle théta est maximal on a dthéta/dt = 0 et j'en déduis le temps t où l'on a théta = théta_max soit t = pi/2w0 et enfin je rentre cette valeur de t dans l'équation de théta soit Théta(t) = v0/w0 sin(w0.pi/2w0) = v0/w0 sin(pi/2) = v0/w0. Or dans la correction il nous donne la relation théta_max = v0/(w0.l). Je ne vois pas comment ramener la longueur l dans mon résultat. Des idées ?

[LPFR]

Bonjour.
Il ne faut pas se noyer dans les équations.
Le problème est le même que le même pendule oscillant dans un plan vertical avec une accélération de gravité g.sin(alpha).
Pour l’angle maximal, il sera atteint quand l’énergie cinétique initiale sera transformée en énergie potentielle.
Et, avant de calculer, utilisez librement la supposition que l’on vous donne : les angles sont petits, donc, sin(thêta) ≈ thêta.
Au revoir.

[mango1]

Par contre, je ne sais pas comment t'as fait pour trouver N= P cos(alpha). La réaction normale n'est pas égale à ça. D'ailleurs, on ne peut pas à mon sens la trouver ici. Dans la correction, ils se sont contentés de prendre le poids comme seul force.

Et pour la question 5, il faut partir de l'équation différentielle donnée, sans le sinus.

[mango1]

On a ici l'équation d'un oscillateur harmonique donc on a directement la solution sous la forme theta= Acos(w0*t) + Bsin( w0*t)

Par conséquent, pour trouver A et B, il nous faut 2 équations.
On nous donne v0 et la position à l'instant initiale, theta=0.

Or v= l*d(theta)/dt

donc on dérive l'expression de theta et on la multiplie par l.
d'où:

v = l*w0*A*sin(w0*t)+ l*w0*B*cos(w0*t)

à l'instant, t=0 s , on obtient le système suivant:

v0= l*w0*B
theta(t=0) = 0 = A

Ainsi, B= v0/(l*w0)
et v = cos(w0*t)

l'angle est maximum pour v=0 donc pour t=pi/(2*w0)

theta(max)= v0/(l*w0)*sin(w0*pi/(2*w0)) = v0/(l*w0) cqfd