Modulation de phase et décomposition de Bessel

[invite6b2f367a]

Bonjour,

je cherche à réaliser la décomposition de Bessel pour un signal modulé en phase, généralement on a un truc qui ressemble à ça en signal pour ce genre de cas :



où A est l'amplitude du signal, f sa fréquence, l'amplitude du signal qui module et sa fréquence. Puis on déroule la décomposition etc. ce qui nous permet de voir les bandes latérales dans le spectre autour de la porteuse. Pour ça pas de problème je sais faire.

Mon problème c'est que j'ai pas une modulation de phase mais plusieurs, mon signal ressemble à ça :



Et avec ça j'suis un peu perdu. J'ai soit pensé à développer avec les formules usuelles de trigo mais ça devient horrible et ingérable, ou alors j'ai pensé à faire la décomposition en prenant chacun des termes de modulation séparément, autrement dit en annulant les deux autres mais pas sur que ce soit très correct ...

Quelqu'un pour m'aider svp ?
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[inviteede7e2b6]

ça me semble dans les clous , une modulation FM crée plusieurs de raies , selon l'indice de modulation

http://www.epsic.ch/branches/radiohf/hf-300.html

[invite6b2f367a]

C'est une modulation PM et sinon je cherche une méthode pour obtenir l'expression mathématique me permettant d'appliquer la décomposition de Bessel.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
J’avais pensé de vous proposer de « transformer » votre modulation de phase en modulation de fréquence, pour voir si le calcul se simplifiait.
J’ai re-regardé les calculs dans les livres pour trouver le spectre d’un signal modulé en fréquence et je m’aperçois que le signal modulant est toujours une sinusoïde, ce qui n’est pas vrai en pratique.
Le livres semblent appliquer le théorème de superposition à l’analyse de Fourier d’un signal modulé en fréquence par plusieurs sinusoïdes alors que la fonction sinus n’est pas linéaire et que la superposition n’est valide que pour des systèmes linéaires.
Autrement dit, le spectre d’un signal modulé en fréquence ou en phase par la somme de deux sinusoïdes n’est pas égal à la somme des spectres de deux signaux modulé chacun par une seule sinusoïde.

Peut-être que pour des modulations d’indice très faible, où le spectre de la modulation de fréquence est presque égal à celui de la modulation d’amplitude, cette approximation linéaire est valide. Mais dans le cas général je ne trouve pas de justification.
Peut-être aussi que les raies supplémentaires dues à « « l’intermodulation » » (entre les fréquences modulantes) tombent très en dehors de la bande utile.

Je trouve que votre problème est plus intéressant et plus de fond qu’un simple problème de calcul. Je vous suggère de faire le calcul « horrible » avec deux signaux modulants (il sera 4 fois moins horrible qu’avec 3)

Et si ce n’est pas faisable, vous pouvez générer par soft un signal et faire l’analyse de Fourier pour voir quelles sont les raies supplémentaires introduites par « « intermodulation » » (toujours avec doubles guillemets).

Nota : ce n’est pas une décomposition de Bessel, mais une décomposition en Fourier qui donne des coefficients qui sont des fonctions de Bessel.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gwgidaz]

Bonjour.
J’avais pensé de vous proposer de « transformer » votre modulation de phase en modulation de fréquence, pour voir si le calcul se simplifiait.
J’ai re-regardé les calculs dans les livres pour trouver le spectre d’un signal modulé en fréquence et je m’aperçois que le signal modulant est toujours une sinusoïde, ce qui n’est pas vrai en pratique.
Le livres semblent appliquer le théorème de superposition à l’analyse de Fourier d’un signal modulé en fréquence par plusieurs sinusoïdes alors que la fonction sinus n’est pas linéaire et que la superposition n’est valide que pour des systèmes linéaires.
Autrement dit, le spectre d’un signal modulé en fréquence ou en phase par la somme de deux sinusoïdes n’est pas égal à la somme des spectres de deux signaux modulé chacun par une seule sinusoïde.

Peut-être que pour des modulations d’indice très faible, où le spectre de la modulation de fréquence est presque égal à celui de la modulation d’amplitude, cette approximation linéaire est valide. Mais dans le cas général je ne trouve pas de justification.
Peut-être aussi que les raies supplémentaires dues à « « l’intermodulation » » (entre les fréquences modulantes) tombent très en dehors de la bande utile.

Je trouve que votre problème est plus intéressant et plus de fond qu’un simple problème de calcul. Je vous suggère de faire le calcul « horrible » avec deux signaux modulants (il sera 4 fois moins horrible qu’avec 3)

Et si ce n’est pas faisable, vous pouvez générer par soft un signal et faire l’analyse de Fourier pour voir quelles sont les raies supplémentaires introduites par « « intermodulation » » (toujours avec doubles guillemets).

Nota : ce n’est pas une décomposition de Bessel, mais une décomposition en Fourier qui donne des coefficients qui sont des fonctions de Bessel.
Au revoir.

Je suis du même avis, ce n'est évidemment linéaire que pour les faibles indices de modulation.
Une piste de recherche, c'est de faire la fréquence porteuse f= 0 , et on voit que le résultat est une vraie "intermodulation" ( sans guillemets) de deux signaux sinus, sur une caractéristique sinusoïdale. Il suffit alors de tenir compte du repliement ( phases de chaque raie par rapport à sa symétrique) pour trouver le résultat. Bon courage...

[calculair]

Bonjour,

La modulation de frequence est un machin non linéaire. Pour résoudre peut être votre problème il faut savoir le but poursuivi et les indices de modulation.

Dans certain cas on peut avoir des solutions approchées réalistes...mais c'est sans garantie..


Les distorsions linéaires du canal de transmissions ( TPG ou bande passante ) créent des distorsions non linéaires en bande de base.

Lorsque les indices sont faibles on peut facilement faire des évaluations notamment en ne considérant que lespremières raies de Bessel

[gwgidaz]

Bonjour,


Lorsque les indices sont faibles on peut facilement faire des évaluations notamment en ne considérant que lespremières raies de Bessel

Lorsque les indices sont faibles, on peut appliquer le principe de superposition, quand on passe du signal en bande de base aux raies ( linéarité).
Oui mais il ne dit pas que les indices sont faibles, et c'est tout l'intérèt du problème. On va avoir des interactions entre les raies à F1 et les raies à F2, avec apparition de raies à pF1 + qF2. Comme si on appliquait la somme des signaux à un amplificateur dont la caractéristique est sinusoïdale. Il y aura donc des raies à F1 +F2, etc... Ces produits d'intermodulation s'éloignent fortement des fréquences F1 et F2. D'ailleurs, on aura aussi les multiples de F1 et F2. Le spectre du signal modulé peut s'étendre bien au delà de F1 et F2...puisqu'il dépasse même l'excursion de fréquence .

[invite6b2f367a]

Le but poursuivi est une simple description mathématique de la chose.
Et les indices de modulation sont faibles genre 0,1.

Du coup j'ai tenté en traçant d'une part le spectre du signal de base modulé par 3 modulantes et d'autre part le spectre de la somme de 3 signaux modulé chacun par une des modulante. Dans le cas ou l'indice est faible genre 0,1 on a presque le même spectre alors que pour les indices fort genre 0,9 ça diffère beaucoup.

Du coup si je considère des indices faibles c'est réaliste de faire la décomposition pour chacun des termes de la somme pour approximer le signal initial ?

[gwgidaz]

Oui, sous cette hypothèse, tu additionnes les composantes spectrales.
Mais ce n'est qu'une approximation, plus physique que mathématique.