Raideur d'une poutre K par analyse dimensionelle

[invitee967a052]

Bonjour à tous,

Pourriez-vous m'aider pour ce devoir maison que je dois rendre demain (donné ce samedi..). Je reste bloqué à la première question, j'espère que votre aide m’éclairera. Merci d'avance

Une poutre est un parallélépipède de longueur L, largeur b et d'épaisseur e. La raideur de cette poutre k, dépend à priori des paramètres géométriques et du module d'Young E. On propose donc une formulation de k comme suit : k = a.E.L^α.b^β.e^γ
Les constantes α, β et γ sont à déterminer, et a est sans dimension,de valeur proche de 1.

Si une force ⃗F de norme F est exercée à l'extrémité du levier, il se déforme et on note z(x) sa déflexion. On suppose la déformation est faible devant 1. Alors, la raideur k du levier flexible est telle que : F = k z(L)

1) Sachant que si la largeur du levier est doublée, la force F doit être doublée pour maintenir la même
déflexion, que vaut β ?

2) Nous cherchons à présent à déterminer α. En première approximation, on peut considérer que le profil
de la poutre déformée est parabolique. La déflexion s'écrit alors : z(x) = C x²
avec C un paramètre positif proportionnel au moment de la force ⃗F par rapport à O. Si la longueur L du levier est doublée, la force
F étant maintenue constante, par quel facteur est multipliée la déflexion à l'extrémité du levier ? En déduire la valeur de α.

3) Déterminer par analyse dimensionnelle la valeur de γ.
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[Resartus]

Il s'agit d'un exercice d'analyse dimensionnelle. En quelle classe êtes-vous? Avez-vous un livre de cours? Sinon, essayons pas à pas.

1) Par quoi a été multiplié k, si on vous dit que la force est doublée alors que la deviation n'a pas changé?
2) si la largeur b est doublée, comment varie b^beta? essayez avec b^1, b^2, b^3. Quelle est la formule pour laquelle vous trouverez le même multiplicateur que celle de k?
3) Ensuite, à la question 2, on vous dit que C est proportionnel au moment de la force. Que vaut le moment d'une force située à L de l'axe? On en deduit que C varie comme quelle puissance de L? Et quelle puissance de F? Ensuite comment varie z(L) en fonction de L et de F? Comment varie donc K en fonction de L,

[invitee967a052]

Bonsoir merci pour votre aide. Je suis en PCSI. Et non je n'ai aucun livre.

1) Je suppose que k a été multiplié par 2^beta
2) Si b est doublé sa puissance reste 1 ? Je ne vois pas...
3) Pour la question 2 j'ai supposé que z(x)=k puisqu'il correspond à la déflexion de la poutre.. mais je ne suis vraiment pas sûre
Que dois-je comprendre par "moment de la force" au point L la force n'est elle pas nulle ?

[Resartus]

1) Vous avez des lacunes mathématiques qu'il faut combler au plus vite, car même en PCSI on a besoin de beaucoup de manipulations d'expressions mathématiques. Entrainez-vous en particulier à simplifier ou transformer des expressions contenant des puissances, des exponentielles ou des logarithmes à base e ou 10 (ce sera très utile en particulier en chimie).
Si b est multiplié par 2, b*b (c'est à dire b^2) est multiplié par 4, et b^(-1) est divisé par 2, etc.

2) Il est possible, compte tenu de la baisse constante du niveau des programmes en terminale, que vous n'ayez encore jamais vu ce qu'est le moment d'une force...
C'est est le produit de l'intensité de la force exprimée en Newton par sa distance (la plus courte) au point par rapport auquel on veut exprimer le moment. Là, la poutre est fixée à un coté (c'est le poiint par rapport auquel on va calculer le moment) et on exerce à l'autre bout une force perpendiculaire. Le moment est donc F.L
Le moment d'une paire de forces opposées et séparées par une certaine distance crée un couple (qui lui sera alors indépendant de l'axe choisi) qui peut faire tourner un objet sans que son centre de gravité subisse de force. Cherchez de la doc, car cela aussi, c'est important à bien comprendre

Bon courage...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee967a052]

C'est pourtant b^bêta qui est multiplié par 2 lorsque F est doublé, non pas b^b. Ainsi je ne comprend pas votre raisonnement.
Sur ce, j'ai dû rendre mon devoir avec mes lacunes mathématiques et les pauvres rudiments de physique, que j'ai appris en terminale.
Merci tout de même pour votre aide.

[Resartus]

J'avais compris que vous n'arriviez pas à trouver la valeur de beta, et j'essayais de vous faire trouver seule pourquoi il devait valoir 1 et pas 2 ni -1, avant la question suivante qui est plus difficile. Désolé de vous avoir embrouillée avec mes indices.

La question suivante a comme préalable de savoir que le moment de la force vaut FL, J'ai supposé (sans doute à tort), que vous ne l'aviez pas appris.

Ensuite, cela permettait de trouver que la déformation est proportionnelle à F*L^3.
Comme on sait aussi que cette déformation vaut F/k, cela donnait la manière dont K doit varier avec L...