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Dilatation du temps en RG à partir de la RR



  1. #1
    ExVacuo

    Dilatation du temps en RG à partir de la RR


    ------

    Bonjour,

    La dilatation du temps en relativité générale est régulièrement traitée à partir de la métrique de Schwarzschild, donc de la gravité. Pourtant les choses me semblent plus simples en utilisant à partir de la RR l'accélération "ordinaire" au lieu de celle de gravité, et le principe d'équivalence.

    On part de l'invariant :
    c².dτ² = c².dt² - v².dt²
    (je n'explicite pas les termes, utilisant les conventions habituelles d'écriture).

    Si v est variable et le mouvement uniformément accéléré,
    v = γ.t d'où c².dτ² = c².dt² - γ².t².dt²

    En divisant par c² : dτ² = dt² - (γ².t²/c²).dt² soit
    (1) dτ² = (1 - γ².t²/c²).dt²

    Le mouvement étant uniformément accéléré, d=1/2.γ.t² donc γ.t² = 2.d soit
    γ².t² = 2.γ.d

    Dans γ.d on reconnait le potentiel gravitationnel Φ, d'où
    γ².t² = 2.Φ

    En reportant dans l'équation (1) : dτ² = (1 - 2.Φ/c²).dt² soit
    dτ = √(1 - 2.Φ/c²).dt

    Au signe près, on reconnait la formule de dilatation du temps dans la métrique de Schwarzschild, le "-" ici étant dû au fait qu'on a supposé l'accélération dans le sens des x alors que dans la métrique de Schwarzschild, l'axe des x est dirigé vers l'extérieur de la masse sphérique tandis que g pointe vers la masse.

    Ma méthode est-elle légitime ?

    Merci

    -----

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  3. #2
    phys4

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Cette similitude est due aux propriétés du laplacien.

    En relativité le laplacien est directement défini par le temps propre.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  4. #3
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Merci pour la réponse. Alors j'ai une question subsidiaire. J'avais fait ce calcul pour essayer de retrouver une concordance entre dilatation du temps en relativité restreinte et générale.

    En RR, une horloge à vitesse v, synchronisée au départ selon la convention d'Eintein, se retrouve décalée après un temps t quand elle est à une distance d=v.t, de sorte que dτ = √(1 - v²/c²).dt.

    Pour passer de 0 à v entre les deux référentiels, par un mouvement uniformément accéléré, sur le même temps t et la même distance d=v.t, il faut une accélération γ telle que d=1/2.γ.t², soit γ=2.v/t : c'est l'accélération nécessaire pour obtenir une vitesse moyenne égale à la vitesse constante du cas RR. Mais je me retrouve donc par la RG, selon l'équation (1) précédente, avec dτ = √(1 - 2.v²/c²).dt, ça ne colle plus d'un facteur 2.

    Pourtant la transformée de Lorentz du temps revient à faire un déplacement fictif de l'horloge distante pour la lire chez soi, raison pour laquelle dans l'expérience de pensée bien connue, l'âge évalué du jumeau distant est bien l'âge qu'il aurait s'il revenait. Où donc me goure-je avec ce facteur 2 dans ma simulation d'un déplacement réel en utilisant la RG ?

  5. #4
    Amanuensis

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par phys4 Voir le message
    Cette similitude est due aux propriétés du laplacien.

    En relativité le laplacien est directement défini par le temps propre.
    Pas plutôt le lagrangien?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  6. #5
    Amanuensis

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    Où donc me goure-je avec ce facteur 2 dans ma simulation d'un déplacement réel en utilisant la RG ?
    Difficile à dire, le raisonnement proposé est "bizarre" à trop d'endroits.

    Avec une réécriture disons deux fois plus longue et plus de rigueur?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    J'essaie de préciser les choses plus rigoureusement, comme le souhaite Amanuensis, et en reformulant.

    Je suppose que tout le monde est d'accord sur :
    - la dilatation du temps en RR :
    (1) dτ = √(1 - v²/c²).dt

    - la dilatation du temps en RG dans la métrique de Schwarzchild :
    dτ = √(1 + 2.Φ/c²).dt (Φ, potentiel gravitationnel)
    cette équation correspond aussi au cas où l'on remplace gravité par accélération, selon le principe d'équivalence, ce que je crois avoir démontré dans mon 1er post quand l'accélération est celle d'un mouvement uniformément accéléré. On a alors
    (2) dτ = √(1 - 2.Φ/c²).dt compte-tenu du changement de signe lié au choix du sens du vecteur accélération, inverse de celui de g dans la métrique de Schwarzchild.

    Pour différentes raisons, notamment qu'une ddp gravitationnelle est de dimension homogène au carré d'une vitesse, et qu'un changement de référentiel en RR suppose implicitement un changement de vitesse pour passer de l'un à l'autre, je prends l'hypothèse que le décalage en RR est de même nature qu'en RG, lié à la ddp gravitationnelle, effet du "champ d'accélération" qu'exige le changement de vitesse pour passer d'un référentiel à l'autre.
    C'est l'hypothèse que je demande qu'on prenne à priori, de façon que le fil ne dégénère pas sur les poncifs de la relativité. Le but est de tenter de la vérifier.

    Cas 1, vitesse constante v
    Je suis en RR, une horloge s'éloigne de moi à la vitesse v, elle a été synchronisée au moment où elle m'a croisé. Quand elle est à la distance d=v.t (t mesuré depuis mon référentiel), elle indique τ = t.√(1 - v²/c²).

    Cas 2, accélération constante γ
    L'horloge a une vitesse nulle au départ et s'éloigne de ma position avec l'accélération γ. Pour pouvoir comparer les décalages d'horloge dans les 2 cas, on choisit γ de manière à atteindre la même distance d au même moment t que dans le cas 1.
    Mouvement uniformément accéléré, d = 1/2.γ.t². d devant être identique à la distance du cas 1 où l'on avait d = v.t, ceci impose d'avoir 1/2.γ.t² = v.t c'est à dire γ = 2.v/t où v est la vitesse du cas 1. La ddp gravitationnelle est Φ = γ.d = (2.v/t).(v.t) = 2.v². Reporté dans l'équation (2), ça nous donne τ = √(1 - 4.v²/c²).t.
    En fait par rapport à l'équation (1), l'erreur est d'un facteur 4 et pas 2 comme dit précédemment où j'avais oublié le "2" du "2.Φ".

    Donc soit cette méthode et le calcul sont justes et cela invalide mon hypothèse, soit c'est faux, la question reste posée, et une autre façon de faire peut être proposée pour répondre à l'idée.
    Dernière modification par ExVacuo ; 01/10/2015 à 15h35.

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  10. #7
    Amanuensis

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    Cas 1, vitesse constante v
    Je suis en RR, une horloge s'éloigne de moi à la vitesse v, elle a été synchronisée au moment où elle m'a croisé. Quand elle est à la distance d=v.t (t mesuré depuis mon référentiel), elle indique τ = t.√(1 - v²/c²).
    Oui, car l'intégration de dτ = dt.√(1 - v²/c²) donne τ = t.√(1 - v²/c²), v étant constant.


    Cas 2, accélération constante γ
    L'horloge a une vitesse nulle au départ et s'éloigne de ma position avec l'accélération γ. Pour pouvoir comparer les décalages d'horloge dans les 2 cas, on choisit γ de manière à atteindre la même distance d au même moment t que dans le cas 1.
    Mouvement uniformément accéléré, d = 1/2.γ.t². d devant être identique à la distance du cas 1 où l'on avait d = v.t, ceci impose d'avoir 1/2.γ.t² = v.t c'est à dire γ = 2.v/t où v est la vitesse du cas 1. La ddp gravitationnelle est Φ = γ.d = (2.v/t).(v.t) = 2.v². Reporté dans l'équation (2), ça nous donne τ = √(1 - 4.v²/c²).t.
    Il n'est pas très clair ce qui est comparé. Le mouvement décrit ne donne pas τ = √(1 - 4.v²/c²).t. Il faut calculer l'intégrale de dτ = √(1 - v(t)²/c²).dt, avec v(t)=gt. Pour des valeurs petites, c'est proche de l'intégrale de (1 - g²t²/2c²).dt, soit (sauf erreur) t - (2v/t)²t^3/6c² = t(1 - 2v²/3c²)

    Mais même avec correction, il n'est pas clair pourquoi faudrait comparer avec le cas d'une horloge restant pendant t au potentiel indiqué en RG: il y a mouvement (relativement au référentiel origine) dans un cas et pas dans l'autre.

    La comparaison proposée entre RR et RG est correcte, mais elle se fait sur les différentielles. Dès qu'on intègre sur des chemins il est difficile de comparer.

    [Note: le décalage est bien de même origine dans les deux cas ; pour le voir proprement, faut travailler avec le référentiel inertiel tangent en RG. En différentiel on peut appliquer la TL. Seulement, en RG l'intégration va se faire "à référentiel variable" (le référentiel inertiel tangent n'est pas constant), ce qui va donner une accélération constante non nulle sans changement de position relativement au référentiel d'origine mais avec référentiel variable, alors qu'en RR c'est avec référentiel inertiel tangent constant mais avec changement de position.]
    Dernière modification par Amanuensis ; 01/10/2015 à 16h20.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  11. #8
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    ... Le mouvement décrit ne donne pas τ = √(1 - 4.v²/c²).t. Il faut calculer l'intégrale de dτ = √(1 - v(t)²/c²).dt, avec v(t)=gt. Pour des valeurs petites, c'est proche de l'intégrale de (1 - g²t²/2c²).dt, soit (sauf erreur) t - (2v/t)²t^3/6c² = t(1 - 2v²/3c²)
    Je me doutais que j'avais des lacunes par manque d'intégration !

    Mais même avec correction, il n'est pas clair pourquoi faudrait comparer avec le cas d'une horloge restant pendant t au potentiel indiqué en RG: il y a mouvement (relativement au référentiel origine) dans un cas et pas dans l'autre.
    Là c'est clair, c'est à cause du principe d'équivalence. Il n'y a pas de différence entre une horloge accélérée par un mouvement, et une horloge au repos dans un champ de gravité, au moins pour l'effet physique local qu'elle subit, c'est l'histoire de l'ascenseur d'Einstein. Reste à savoir si la distance qui augmente dans le premier cas et pas dans l'autre introduit un facteur supplémentaire.

    La comparaison proposée entre RR et RG est correcte, mais elle se fait sur les différentielles. Dès qu'on intègre sur des chemins il est difficile de comparer.

    [Note: le décalage est bien de même origine dans les deux cas ; pour le voir proprement, faut travailler avec le référentiel inertiel tangent en RG. En différentiel on peut appliquer la TL. Seulement, en RG l'intégration va se faire "à référentiel variable" (le référentiel inertiel tangent n'est pas constant), ce qui va donner une accélération constante non nulle sans changement de position relativement au référentiel d'origine mais avec référentiel variable, alors qu'en RR c'est avec référentiel inertiel tangent constant mais avec changement de position.]
    Ok, je vais m'y remettre ! Merci pour ces remarques constructives et les pistes proposées.

  12. #9
    Amanuensis

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    au moins pour l'effet physique local qu'elle subit
    Attention, il n'y a aucun "effet physique local" subi par une horloge. Les "dilatations" sont des effets relatifs.

    Ok, je vais m'y remettre !
    À me relire, mon texte n'est pas très clair. Mais l'indication principale y est: regarder le référentiel inertiel tangent pour comparer le cas d'un champ de gravitation uniforme et immobilité relative, et le cas gravitation nulle (=RR) et mouvement uniformément accéléré.
    Dernière modification par Amanuensis ; 02/10/2015 à 10h50.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  13. #10
    Zefram Cochrane

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Bonjour,


    Je pense que la démarche est bonne mais que vous vous emmelez les pinceaux avec les variables.
    Comme je suis sur une recherche identique, voici où j'en suis :


    CHUTE VERTICALE..jpg


    soit Vert et Bleu.

    À ( Vert) et (Bleu) = 0, Bleu se trouve au niveau de Vert
    avec une vitesse de chute libre initiale négligeable ( pas forcément nulle si on veut s'interesser à la vitesse de libération)

    On peut définir un horizon de Rindler ( Rayon de Schwarzschild en RG) : , g étant l'accélération ressentie par Vert ( on va poser g = 10m/s² ) ce qui fait un horizon de rindler Rh = 30 000 000 s.l .

    Pour une accélération g constante, on peut appliquer la version relativiste du TEC :



    La longueur x correspond à la longueur du ruban accroché au chuteur le séparant de sa position à l'instant t ( temps du chuteur) depuis le début de sa chute libre.

    On a donc
    à noter que dans l'affaire Rh ne correspond pas à la hauteur du pylonne séparant Vert d'un éventuel horizon de mais de la longueur de ruban déroulé par Bleu entre Vert et l'éventuel horizon du TN.


    on a aussi comme relation



    et à priori (messages 103 et 104),
    ; ce qui serait pratique pour définir un potentiel en 2GM/R ( R = Rh - r)

    http://forums.futura-sciences.com/ph...wtonien-7.html

    Cordialement,
    Zefram
    Dernière modification par Zefram Cochrane ; 02/10/2015 à 13h37.
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  14. #11
    Zefram Cochrane

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    correction

    R ressemblerait plutôt à ceci :
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  15. #12
    ordage

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message

    Si v est variable et le mouvement uniformément accéléré,
    v = γ.t d'où c².dτ² = c².dt² - γ².t².dt²
    Salut

    L'accélération définie par γ = d²xµ/dt² où t est la coordonnée ne correspond pas à un mouvement uniformément accéléré (physique) en relativité restreinte (RR). Celui-ci est défini par γ = d²xµ/.dτ² (ce qui donne la "métrique" de Rindler).

    Avec ta définition on peut dépasser la vitesse de la lumière au bout d'un temps fini, ce qui est contradictoire avec la RR, alors que l'accélération "physique" tend vers l'infini lorsque la vitesse tend vers c.

    Pour le reste ton équation te permet de calculer le paramètre affin (ici le temps propre tant que t reste inférieur à la valeur qui donnerait v =c) sur la ligne d'univers définie par ton accélération, ce qui par intégration donne le temps propre écoulé.

    S'agissant de cinématique, que faut-il considérer comme potentiel, ta définition mérite d'être explicitée, de plus il n'a rien de gravitationnel puisqu'il n'y a pas de gravitation.

    Le rapprochement avec la forme de Schwarzschild me paraît hasardeuse.

    Cordialement

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  17. #13
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Attention, il n'y a aucun "effet physique local" subi par une horloge.
    Pas d'accord sur ce point.
    Preuve : l'horloge distante, ramenée au point de départ, montre un décalage par rapport à celle du point de départ.

  18. #14
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ordage Voir le message
    Salut

    L'accélération définie par γ = d²xµ/dt² où t est la coordonnée ne correspond pas à un mouvement uniformément accéléré (physique) en relativité restreinte (RR). Celui-ci est défini par γ = d²xµ/.dτ² (ce qui donne la "métrique" de Rindler).

    Avec ta définition on peut dépasser la vitesse de la lumière au bout d'un temps fini, ce qui est contradictoire avec la RR, alors que l'accélération "physique" tend vers l'infini lorsque la vitesse tend vers c.
    Merci pour l'indication. J'essaierai de reprendre les maths, sûrement insuffisants avec mes simplifications outrancières.

    S'agissant de cinématique, que faut-il considérer comme potentiel, ta définition mérite d'être explicitée, de plus il n'a rien de gravitationnel puisqu'il n'y a pas de gravitation.

    Le rapprochement avec la forme de Schwarzschild me paraît hasardeuse.

    Cordialement
    Là clairement, je n'ai pas d'état d'âme, le principe d'équivalence doit s'appliquer à la lettre : g ou γ ça ne fait pas de différence, sinon c'est toute la relativité qui s'écroule. S'il y a une ddp gravitationnelle avec g, alors il y en a une avec γ. Si "ddp gravitationnelle" pose problème parce qu'il y a "gravitation", ce n'est qu'un problème de sémantique, parlons alors de "ddp accélérationnelle", liée soit à l'accélération de pesanteur soit à l'accélération de la cinématique ou de la dynamique, ici celle nécessaire pour passer d'un référentiel inertiel à un autre de vitesse relative non nulle. A un facteur près, ce serait v². Mais je t'accorde que cela reste à expliciter, et c'est ce que j'essayais de faire.

  19. #15
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ordage Voir le message
    Salut

    L'accélération définie par γ = d²xµ/dt² où t est la coordonnée ne correspond pas à un mouvement uniformément accéléré (physique) en relativité restreinte (RR). Celui-ci est défini par γ = d²xµ/.dτ² (ce qui donne la "métrique" de Rindler).

    Avec ta définition on peut dépasser la vitesse de la lumière au bout d'un temps fini, ce qui est contradictoire avec la RR, alors que l'accélération "physique" tend vers l'infini lorsque la vitesse tend vers c.
    Merci pour l'indication. J'essaierai de reprendre les maths, sûrement insuffisants avec mes simplifications outrancières.

    S'agissant de cinématique, que faut-il considérer comme potentiel, ta définition mérite d'être explicitée, de plus il n'a rien de gravitationnel puisqu'il n'y a pas de gravitation.

    Le rapprochement avec la forme de Schwarzschild me paraît hasardeuse.

    Cordialement
    Là clairement, je n'ai pas d'état d'âme, le principe d'équivalence doit s'appliquer à la lettre : g ou γ ça ne fait pas de différence, sinon c'est toute la relativité qui s'écroule. S'il y a une ddp gravitationnelle avec g, alors il y en a une avec γ. Si "ddp gravitationnelle" pose problème parce qu'il y a "gravitation", ce n'est qu'un problème de sémantique, parlons alors de "ddp accélérationnelle", liée soit à l'accélération de pesanteur soit à l'accélération de la cinématique ou de la dynamique, ici celle nécessaire pour passer d'un référentiel inertiel à un autre de vitesse relative non nulle. A un facteur près, ce serait v². Mais je t'accorde que cela reste à expliciter, et c'est ce que j'essayais de faire.

  20. #16
    ExVacuo

    Smile Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    @ordage

    PS- Le rapprochement avec la forme de Schwarzschild, je l'ai fait parce que c'est plus simple, on travaille avec une seule dimension. Le fait qu'on ait une décroissance de g en 1/r² tandis que côté cinématique, j'ai pris le cas d'une accélération constante, n'a a priori pas d'importance si la RG est correcte (ce que je suppose bien sûr ) : en effet dans la dilatation du temps, c'est la ddp qui compte, de sorte que peu importe le chemin à travers la ddp et par conséquent peu importe la façon dont on accélère.

  21. #17
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    @Zefram Cochrane

    Il y a sûrement plusieurs façons de relier l'accélération à la gravité pour pouvoir utiliser la RG en cinématique, plutôt que la RR qui malgré sa pertinence, nous masque encore plus la physique (un changement de référentiel en RR sous-entend une accélération infinie).
    Mais pour moi ce n'est qu'une étape, le but étant de comprendre cette physique masquée par cette théorie remarquable mais géométrique, qu'est la relativité, qu'elle soit restreinte ou générale.

    L'horloge distante qu'on ramène près de l'horloge inertielle avec laquelle elle avait été synchronisée dans le passé, montre un décalage. Elles étaient au même endroit, elles le sont à nouveau, mais leur état est différent. Ce n'est pas un effet de perspective, l'effet est enregistré. Ceci ne peut être expliqué que par un effet physique local qui a agi différemment sur chaque horloge au cours de sa vie. On pressent que la gravité/accélération est sur la sellette, mais si elle est sûrement nécessaire à l'explication, elle n'est pas suffisante.

  22. #18
    Amanuensis

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    Ceci ne peut être expliqué que par un effet physique local qui a agi différemment sur chaque horloge au cours de sa vie.
    Non, pas d'effet local. (Impossibilité de faire une expérience locale montrant un quelconque effet.)

    On pressent que la gravité/accélération est sur la sellette
    Pourtant ce n'est pas le cas. C'est un effet "cinématique". En cherchant plus profondément, c'est lié à l'inertie (et par là cela a une relation avec accélération et gravitation, mais on peut voir cela comme des effets d'une même cause).

    Un exemple (classique) de décalage sans accélération est celui d'un espace "cylindrique", où on peut revenir en un point (spatial) en "allant tout droit" (expression qu'on formalise à partir de l'inertie).
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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  24. #19
    Amanuensis

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    le but étant de comprendre cette physique masquée par cette théorie remarquable mais géométrique, qu'est la relativité, qu'elle soit restreinte ou générale.
    Pourquoi "masquée"? Pourquoi "mais"?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  25. #20
    didier941751

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Bonjour,
    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message

    Ceci ne peut être expliqué que par un effet physique local qui a agi différemment sur chaque horloge au cours de sa vie.
    Cela peut-être expliqué par: Une horloge parcourt un chemin plus long que l'autre dans l'espace-temps.
    Cordialement,

  26. #21
    chaverondier

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    Je suppose que tout le monde est d'accord sur :
    - la dilatation du temps en RR :
    (1) dτ = √(1 - v²/c²).dt

    - la dilatation du temps en RG dans la métrique de Schwarzschild :
    (2) dτ = √(1 + 2.Φ/c²).dt (Φ, potentiel gravitationnel)
    On peut aussi écrire pour (2)
    dτ = √(1 - v²/c²).dt
    où v²/2 = GM/r correspond à la vitesse v de libération à l'altitude r,
    la vitesse v est aussi la vitesse de l'observateur de Schwarzschild par rapport à l'observateur de Lemaître coïncidant (un observateur de Lemaître est un observateur en chute libre radiale parti à vitesse nulle de "très haut") .

    Le référentiel de Lemaître joue, en fait, dans l'espace-temps de Schwarzschild, le rôle de référentiel privilégié que jouent les référentiels inertiels dans l'espace-temps de Minkowski.

    C'est assez naturel puisque, comme les référentiels inertiels de l'espace-temps de Minkowski, le référentiel de Lemaître est
    • un référentiel chute libre,
    • possédant un feuilletage privilégié en feuillets 3D de simultanéité,
    • et que le temps propre s'écoulant entre deux feuillets 3D de simultanéité est le même pour tous les observateurs de Lemaître.
    On a même une propriété supplémentaire identique. La métrique spatiale du référentiel de Lemaître est Euclidienne.

    Quand on considère que le bon référentiel de l'espace-temps de Schwarzschild est le référentiel de Lemaître (de même qu'il est plus naturel de considérer que c'est la terre qui tourne sur elle-même et non le soleil qui tourne autour) le temps s'écoule plus lentement dans le référentiel de Schwarzschild et ce d'autant plus que l'observateur de Schwarzschild concerné est proche de la sphère de Schwarzschild.

    Par ailleurs, concernant la longueur dl mesurée dans le référentiel de Schwarzschild d'un segment radial de longueur dr quand il est mesuré dans le référentiel de Lemaître, on a:
    dl = dr√(1 - v²/c²) avec toujours v = √(2GM/r) désignant la vitesse de l'observateur de Schwarzschild par rapport à l'observateur de Lemaître coïncidant.
    Le mètre de l'observateur de Schwarzschild subit la contraction de Lorentz en direction radiale (par rapport au mètre du référentiel de Lemaître).

    De même, du point de vue des mesures de distance, de durée et de la simultanéité ayant cours dans le référentiel privilégié de Lemaître, les photons :
    • tombent radialement à vitesse c+v par rapport au référentiel de Schwarzschild,
    • remontent, péniblement, à vitesse c-v par rapport au référentiel de Schwarzschild.
    C'est tout simplement la loi additive de composition des vitesses. Elle s'applique dès que les 3 vitesses intervenant dans la loi de composition des vitesses (ici c, v et c+/-v) sont mesurées dans le même référentiel (je le rappelle car l'additivité de la loi de composition des vitesses en Relativité, quand les 3 vitesses sont toutes 3 mesurées dans le même référentiel inertiel tangent, n'est pas toujours très bien connue).

    Bref, quand on choisit le référentiel de Lemaître comme référentiel privilégié de mesure des longueurs, des durées et de simultanéité
    • le temps s'écoule plus lentement dans le référentiel de Schwarzschild. Il subit la dilatation temporelle de Lorentz en 1/√(1 - v²/c²)
      (où v²/2 = GM/r, donc v vitesse de l'observateur de Schwarzschild par rapport à l'observateur de Lemaître, vitesse atteignant c sur la sphère de Schwarzschild)
      .
    • les mètres des observateurs de Schwarzschild subissent la contraction de Lorentz en √(1 - v²/c²) quand ils orientent leur mètre en direction radiale
      .
    • la vitesse de la lumière par rapport au référentiel de Schwarzschild est anisotrope. Emportée par une sorte de "vent d'éther" (que représente la vitesse de chute du référentiel de Lemaître), la lumière "tombe" à vitesse c+v et remonte, péniblement, à vitesse c-v. En particulier, la lumière fait du surplace sur la sphère de Schwarzschild où la vitesse de chute des observateurs de Lemaître vaut précisément c.

  27. #22
    ordage

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message


    Là clairement, je n'ai pas d'état d'âme, le principe d'équivalence doit s'appliquer à la lettre :
    Salut

    Le principe d'équivalence est local dans un espace plat. Construire une théorie de la gravitation sur la base du principe d'équivalence ne conduit pas à la Relativité générale. C'est ce qu'avait essayé Einstein entre 1907 et 1913, au motif que cela lui paraissait plus simple, mais cette voie qui donnait d'ailleurs des résultats faux, s'est révélée être une impasse, ce qui a conduit Einstein dans "L'Entwurf" à considérer les géométries non euclidiennes qui se réfèrent à des espaces courbes.

    Cordialement

  28. #23
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Non, pas d'effet local. (Impossibilité de faire une expérience locale montrant un quelconque effet.)
    Seulement dans les référentiels inertiels. Ici, ce n'est pas le cas, l'horloge passe d'un référentiel à l'autre.

  29. #24
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ordage Voir le message
    Salut

    Le principe d'équivalence est local dans un espace plat. Construire une théorie de la gravitation sur la base du principe d'équivalence ne conduit pas à la Relativité générale. C'est ce qu'avait essayé Einstein entre 1907 et 1913, au motif que cela lui paraissait plus simple, mais cette voie qui donnait d'ailleurs des résultats faux, s'est révélée être une impasse, ce qui a conduit Einstein dans "L'Entwurf" à considérer les géométries non euclidiennes qui se réfèrent à des espaces courbes.

    Cordialement
    C'est bon à savoir, ça va m'éviter de perdre du temps.

  30. Publicité
  31. #25
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par didier941751 Voir le message
    Bonjour,
    Cela peut-être expliqué par: Une horloge parcourt un chemin plus long que l'autre dans l'espace-temps.
    Cordialement,
    Oui, je me suis aussi dit cela, c'est une autre façon de voir les choses, que je garde sous le coude.

  32. #26
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par chaverondier Voir le message
    ...
    Bref, quand on choisit le référentiel de Lemaître comme référentiel privilégié de mesure des longueurs, des durées et de simultanéité
    • le temps s'écoule plus lentement dans le référentiel de Schwarzschild. Il subit la dilatation temporelle de Lorentz en 1/√(1 - v²/c²)
      (où v²/2 = GM/r, donc v vitesse de l'observateur de Schwarzschild par rapport à l'observateur de Lemaître, vitesse atteignant c sur la sphère de Schwarzschild)
      .
    • les mètres des observateurs de Schwarzschild subissent la contraction de Lorentz en √(1 - v²/c²) quand ils orientent leur mètre en direction radiale
      .
    • la vitesse de la lumière par rapport au référentiel de Schwarzschild est anisotrope. Emportée par une sorte de "vent d'éther" (que représente la vitesse de chute du référentiel de Lemaître), la lumière "tombe" à vitesse c+v et remonte, péniblement, à vitesse c-v. En particulier, la lumière fait du surplace sur la sphère de Schwarzschild où la vitesse de chute des observateurs de Lemaître vaut précisément c.
    Ca a l'air intéressant mais c'est radicalement nouveau pour moi, il me faudra un peu de temps pour intégrer cette nouvelle façon de voir.

    J'ai récemment découvert (je ne m'étais pas posé la question plus tôt), que le potentiel gravitationnel au centre de la terre est supérieur à ce qu'il est à la surface, lui-même étant supérieur à ce qu'il est à l'infini pris comme référence zéro (quand je dis "supérieur", je parle de valeur absolue, ces potentiels étant négatifs).
    Donc une horloge au centre de la terre, bien qu'inertielle, devrait battre plus lentement qu'à la surface.
    Est-ce exact, connu, et que donnerait ce cas traité dans le cadre du référentiel de Lemaître ?

  33. #27
    Amanuensis

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    Est-ce exact, connu
    C'est exact et connu. Il y a même un "temps" officiel (une "datation") correspondant au temps propre du centre, différent du TAI qui s'applique pour la surface. Il s'agit du TCG, temps-coordonnée géocentrique, voir https://en.wikipedia.org/wiki/Geocen...oordinate_Time. Ce "temps" est utilisé comme référence dans les calculs précis dans l'environnement spatial proche de la Terre (Lune, satellites, ...).

    (Ce temps est vu comme plus vite qu'à la surface. Potentiel plus élevé = énergie de photon plus élevée = fréquence plus élevée.)
    Dernière modification par Amanuensis ; 07/10/2015 à 08h51.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  34. #28
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    @Amanuensis

    Ce n'est pas le même cas : l'horloge n'est pas sensée être au centre de la terre, mais se déplaçant en même temps qu'elle tout en étant en dehors de son potentiel gravitationnel (donc elle bat plus vite qu'à la surface de la terre).
    Dernière modification par ExVacuo ; 07/10/2015 à 09h00.

  35. #29
    ExVacuo

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    @Amanuensis

    Ce n'est pas le même cas : l'horloge n'est pas sensée être au centre de la terre, mais se déplaçant en même temps qu'elle tout en étant en dehors de son potentiel gravitationnel (donc elle bat plus vite qu'à la surface de la terre).
    Je parlais de l'horloge "TCG" et je voulais dire "censée" .
    Contrairement à elle, une horloge au centre de la terre battrait moins vite qu'à la surface.

  36. #30
    Amanuensis

    Re : Dilatation du temps en RG à partir de la RR

    Citation Envoyé par ExVacuo Voir le message
    Ce n'est pas le même cas : l'horloge n'est pas sensée être au centre de la terre, mais se déplaçant en même temps qu'elle tout en étant en dehors de son potentiel gravitationnel.
    Cela n'a pas grand sens si l'idée est de comparer avec une horloge à la surface.

    ---

    Mais j'ai écrit trop, vite, entrainé par une erreur:

    que le potentiel gravitationnel au centre de la terre est supérieur à ce qu'il est à la surface, lui-même étant supérieur à ce qu'il est à l'infini pris comme référence zéro
    Le potentiel au centre est inférieur à celui de la surface, lui-même inférieur à ce qu'il est à l'infini.

    La force est le gradient du potentiel, et orientée dans le sens du potentiel diminuant. Le potentiel au-dessus de la surface et nul à l'infini est en -GM/d. Un objet tombant gagne en énergie cinétique ce qu'il perd en énergie potentielle.
    Dernière modification par Amanuensis ; 07/10/2015 à 10h16.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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