Fluide incompressible - équation de continuité et nombre de Mach

[invite91c126bc]

Bonjour à tous,

Je discutais avec quelqu'un au sujet de la condition d'incompressibilité d'un fluide. Cette personne me disait que la condition d'écoulement stationnaire était suffisante pour expliquer qu'un fluide était incompressible. Je lui ai répondu que je n'était pas d'accord. L'équation de continuité est



Cette équation de continuité, on peut la ré-écrire sous la forme


La condition d'incompressibilité exprime que , soit elle implique que que l'écoulement soit stationnaire ou non.

Du coup, je lui ai expliqué que la condition pour qu'un écoulement soit incompressible, c'était que le nombre de Mach soit petit devant l'unité. Mais j'ai bien été incapable de le lui démontrer.

Je suppose que l'on peut adimensionner l'équation de continuité de sorte de faire apparaitre le nombre de Mach, et que si , alors , comme on le fait en mécanique des fluides pour faire apparaitre le nombre de Reynolds par exemple dans Navier-Stokes.

Mais je n'y arrive pas. Est-ce que l'un d'entre vous sait comment adimensionner l'équation de continuité de sorte que l'on fasse apparaitre le nombre de Mach dedans ?

Merci pour votre aide.
Amicalement.
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[obi76]

Bonjour,

vous avez raison. Un écoulement stationnaire ne veut pas dire que la compressibilité n'intervient pas. Par contre on peut faire une approximation qu'on appelle "Low Mach Number" (LMN) qui - pour des écoulements à un nombre de Mach < 0.3 -- stipule que l'évolution en pression est majoritairement du à la cinétique du gaz (en rho v²/²2) et que la compressibilité du gaz n'intervient pas. Cela ne l’empêche cependant pas d’être dilatable.

EDIT : voyez ici : http://www.math.ens.fr/~alazard/Arma.pdf

ou mieux : https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00327102/document (page 16)

[invite9cecbb6f]

Il faut prendre la conservation de la quantité de mouvement, relier la variation de pression à la variation de densité via la vitesse du son.
Puis bidouiller avec la conservation de la masse pour avoir la relation voulue.

[invite91c126bc]

Bonjour,

Merci obi et iori pour ces précisions. Effectivement, il faut repartir de l'équation de conservation de la quantité de mouvement et non pas partir de l'équation de continuité.

Mais j'ai quand même un doute sur ce que je racontais l'autre jour. Donc effectivement, lorsque l'écoulement est incompressible, on a . Mais comment relier ça à la conservation du débit volumique ?

Aussi lorsque l'écoulement est stationnaire, mais pas incompressible, l'équation de continuité nous dit que c'est . Est-ce que cela signifie qu'il y a conservation du débit massique ?

Merci de votre aide.
Amicalement.
skrubs

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Bonjour,

compressibilité ou pas, il y a conservation du débit massique en stationnaire. Si le fluide se détend, il accélère (c'est exactement ce que l'on utilise au niveau des tuyères). Donc est constant, oui (et donc aussi si la section est constante).

Meme pas besoin de passer par la divergence etc, il suffit de faire le bilan de masse sur une section donnée. Le débit massique c'est , et il est conservé si vous n'avez pas création de masse (et ce n'est pas le cas ici).

On peut meme aller plus loin : réduire les équations bilans que vous avez en 1D, ce qui vous donne la loi d'évolution de , en supposant que la section est variable et dépend de z.

[obi76]

En fait (je viens de tilter) de manière plus simple. Vous prenez un morceau quelconque d'une conduite (délimité par deux sections distinctes), si le flux massique qui entre n'est pas strictement égal au flux massique qui sort, c'est donc qu'il y a accumulation de matière : . Donc s'il n'y a pas accumulation (= si on est en stationnaire), alors pour n'importe quel morceau de conduite, le flux massique entrant est égal au flux massique sortant (donc, constant partout).

[invite91c126bc]

Ha oui merci, je viens de comprendre. Mon erreur est que je partais des équations locales.

Si on part de l'équation de continuité : .
Si l'écoulement est stationnaire, alors on a , mais pas facile d'en déduire que .

ce qu'il faut faire (car plus simple) c'est partir de l'équation globale (intégrée) de conservation de la masse



que l'on peut ré-écrire à l'aide du théorème de flux divergence



Si l'écoulement est stationnaire, alors


d'où

soit .

[obi76]

Re-,

les équations locales, intégrées sur un volume entre S(z) et S(z+dz) donnera les bilans tels que je vous les ai donnés

Ne pas perdre de vue que l'intégrale de la divergence dans un volume quelconque (meme infinitésimal) c'est l'intégrale du flux sur la surface qui entoure ce volume. C'est d'ailleurs comme ça que l'équation de bilan de masse est construite. Dire que revient DIRECTEMENT à dire que la somme des flux à travers la surface est nulle. Dans une conduite, vu qu'il n'y a pas de flux à travers la paroi, ça veut immédiatement dire que le flux entrant est égal au flux sortant entre deux sections quelconques.