Atome d'Hydrogène vu comme un dipôle quantique. Interaction avec champ Em

[invite8f6d0dd4]

Salut à tous.

Dans mon cours, on étudie l'interaction avec un champ E-M du système suivant :

On se place dans l'atome d'Hydrogène.
On raisonne à une dimension (tout se passe suivant l'axe z, on ré écrit donc les fonctions d'ondes en disant rcos(theta)=z en gros).

Notre ket est le suivant :

On a alors (pour info, c'est pas vraiment important pour la suite):




On est donc en superposition entre deux niveaux d'énergie de l'atome d'Hydrogène.

On a pu déterminer que la trajectoire de l'électron (on prend la moyenne de l'observable z sur psi) était une oscillation sinusoïdale.

L'électron et le proton forment un dipôle électrique qui oscille sinusoïdalement.

On se pose alors la question "Mais que se passe t'il si on allume un champ électrique uniforme ?".

On a alors l'hamiltonien :



Où V traduit l'interaction dipôle champ.

est valeur propre de H0 (H0 est donc l'hamiltonien de la particule relative), V est donc une perturbation : on va effectuer un traitement perturbatif du problème pour comprendre ce qui se passe quand on allume le champ E.

Maintenant ce que je ne comprends pas :

Notre ket traduit le comportement de la particule relative, soit l'électron dans l'atome d'hydrogène (approximation de l'atome d'hydrogène).

Or, l'interaction dipôle-champ est une interaction qui concerne l'ensemble {proton+electron}.

Pourquoi on considère donc que H0 est le hamiltonien de l'électron et PSI la fonction d'onde de l'électron.

Selon moi il faudrait prendre H0 hamiltonien de l'électron + du proton, et idem pour PSI.

C'est une approximation "habituelle" ? Pourquoi est elle valable ?
Ou alors le raisonnement ne change rien, on aurai juste un shift d'énergie ?

Je ne comprends pas trop.

Merci pour votre aide !
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[Deedee81]

Salut,

Notre ket traduit le comportement de la particule relative, soit l'électron dans l'atome d'hydrogène (approximation de l'atome d'hydrogène).
Or, l'interaction dipôle-champ est une interaction qui concerne l'ensemble {proton+electron}.
Pourquoi on considère donc que H0 est le hamiltonien de l'électron et PSI la fonction d'onde de l'électron.
Selon moi il faudrait prendre H0 hamiltonien de l'électron + du proton, et idem pour PSI.
C'est une approximation "habituelle" ? Pourquoi est elle valable ?
Ou alors le raisonnement ne change rien, on aurai juste un shift d'énergie ?

On montre assez facilement avec l'équation de Schrödinger que l'équation électron + proton est parfaitement équivalente à :
électron dans le centre de masse, avec une masse "modifiée" de l'électron (masse réduite).
(en fait, l'équation se factorise avec une partie correspondant au mouvement "particule libre" du couple électron/proton mais qu'on peut habituellement négliger).

Le proton étant fort massif, la masse réduite ne change pas grand chose. Mais dans des expériences précises il faut en tenir compte. Surtout pour l'hydrogène (noyau le plus léger de tous les atomes).

Oui, c'est la fonction d'onde "du couple". Mais c'est équivalent à celle d'une particule fictive dans le centre de masse. Donc, on fait "comme ci". Les résultats sont les mêmes et tout ce qu'il faut faire c'est modifier légèrement la masse.
Donc, tu as raison, cela provoque de petits décalages dans les niveaux d'énergie.

EDIT :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Masse_r%C3%A9duite

Pour l'équivalence dans le centre de masse et la factorisation, voir par exemple :
https://www.uclouvain.be/cps/ucl/doc...03_CM12_C1.pdf
point 2.9.2

[invite8f6d0dd4]

Salut !

Merci de cette réponse !

Donc en gros d'après ce que j'ai compris de vos explications, quand on étudie l'atome d'Hydrogène on a trois étapes :

1) On constate que la masse réduite vaut quasiment celle de l'électron.
2) On constate que l'opérateur impulsion devant la masse réduite est à peu de choses près celui de l'électron.
3) Le potentiel s'écrit V(r1-r2) : on peut considérer l'électron comme étant soumis à un potentiel central en prenant comme origine le centre de masse.

=> Ccl 1 : le terme lié à l'impulsion de la particule relative est à peu près l'énergie cinétique de l'électron. Et cette particule est soumise à un potentiel central.

3) M=mproton+melectron environ égal à mproton.
4) On constate de la même manière que l'opérateur impulsion présent à coté de M est quasiment celui du proton (l'opérateur impulsion de l'électron aura une contribution négligeable à cet opérateur ici).

=> Ccl 2 : Le terme lié à l'impulsion du centre de masse vaut environ celui du proton. Autant dire que particule du centre masse ~ proton.

5) On constate aussi que vu que M est très grand devant µ, l'impulsion du centre de masse (donc du proton) est négligeable dans le hamiltonien, mais on doit supposer que le proton ne se déplace quand même pas "trop vite" non ?, tout du moins qu'il a une énergie cinétique comparable à celle de l'électron ???

Ccl 3 : Le hamiltonien peut être approximé par uniquement celui d'un électron soumis à un potentiel central.
Finalement, le proton n'est considéré dans le modèle de l'atome d'Hydrogène que par le fait qu'il introduit un potentiel coulombien, sinon le fait qu'on aie un proton est totalement transparent.


En conclusion, étudier l'atome d'Hydrogène (énergies, valeurs propres) de son hamiltonien, revient à peu de chose près à étudier uniquement l'hamiltonien de l'électron en raison du fait que mproton >> melectron.

C'est bien ça ?

Merci

[coussin]

C'est ça. On ne décrit absolument pas le proton. En particulier, on ne calcule absolument pas de fonction d'onde pour le proton.
On calcule la fonction d'onde de la particule réduite, qui se trouve être avec une bonne approximation l'électron dans le cas de l'atome d'hydrogène, dans un système centré sur le centre de masse. Remplacez l'atome d'hydrogène par de l'hydrogène muonique ou du positronium, la "particule réduite" est alors très différente mais à part ça, rien ne change.
C'est un "truc" commun pour tous les problèmes à forces centrales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Je précise que cette séparation particule réduite + mouvement du centre de masse n'est pas une approximation. C'est exact.
L'approximation que l'on fait dans le cas de l'atome d'hydrogène est de négliger le mouvement du centre de masse. On le néglige parce que le proton est 1836 fois plus lourd donc bouge "peu" par rapport à la particule réduite (l'électron).

[invite8f6d0dd4]

Génial merci !
(Oui oui je suis d'accord que séparer le centre de masse n'est pas une approximation, mais elle intervient au moment où on l'identifie au proton)