En finir avec les ECOCs

[invite07c97bce]

Bonsoir,

Depuis longtemps, je bute sur la notion d'ECOC. Dans mon cours, la définition est donnée par un paragraphe qui ressemble fort à celui-ci (une définition classique) :

http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/...on/node91.html

Plusieurs points me troublent.
D'abord (cf. premier paragraphe), dans le cas où on s'intéresse à une seule observable A, et où la valeur propre de l'observable A est dégénérée, je ne comprends pas pourquoi "la base des vecteurs propres de A n'est plus unique". Pour moi, quand bien même une valeur propre (ou plusieurs) serait dégénérée, puisqu'on a affaire à une observable (= un opérateur hermitien), la multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous-espace propre associé. Il y a autant d' "axes de coordonnées" (orthogonaux entre eux) que de vecteurs propres, et la dimension de l'espace des états est égale au nombre d'axes de coordonnées, donc, pour moi, la base de vecteurs propres est unique.
Imaginons que A admette deux valeurs propres, a1 et a2, que a1 soit dégénérée de degré 2, et que a2 soit non-dégénérée. Dans ce cas, le sous-espace propre associé à la valeur propre a1 est de dimension 2 (-> 2 vecteurs propres orthogonaux, 2 axes de coordonnées), et le sous-espace propre associé à la valeur propre a2 est de dimension 1 (-> 1 vecteur propre, un axe de coordonnées). Tout vecteur de l'espace des états peut donc se décomposer sur un espace de dimension 3 (trois axes de coordonnées, 2 vecteurs propres associés à a1 + 1 vecteur propre associé à a2). En quoi la base des vecteurs propres de A n'est-elle pas unique ? Serait-ce parce que tout vecteur de l'espace des états se décompose en fait sur un vecteur associé à a1, et un associé à a2 ? Je n'en suis pas sûr...
Dans cet exemple, comment peut-on "prendre n'importe quelle base à l'intérieur de chacun des sous-espaces propres" (dernière phrase du premier paragraphe) ?

Merci d'avance.
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[invite12af637d]

Corrigez moi si je me trompe :
Si on prend une Observable A avec deux valeurs propres a (associée à |a1> et |a2>) et b (associée à |b>)
On a A|a1> = a|a1> , A|a2> = a|a2> et A|b> = b|b>.
On a donc une première base (|a1> |a2> |b>)

On forme les vecteurs
|c> = 1/sqrt(2) * ( |a1> + |a2> ) et |d> = 1/sqrt(2) * ( |a1> - |a2> )
Et on trouve que A|c> = a|c> et A|d> = a|d>, (ils sont donc vecteurs propres)
On a donc une deuxième base (|c> |d> |b>), et on n'a plus unicité de la base.

Il faut une deuxième observable (ou plus d'ailleurs) qui lève la dégénérescence (Je ne sais pas si ca se dit comme ca), et qui formera un ECOC.

J'imagine que ca répond à la question ?

[coussin]

J'imagine que ca répond à la question ?

Oui. Quand vous avez des valeurs propres dégénérées, dans ce sous-espace vous pouvez toujours "tourner" les vecteurs propres (dans votre exemple, vous les avez tourné d'un angle pi/4) pour obtenir une autre base. Et vous pouvez "tourner" d'un angle quelconque.