Fonction de partition: gaz parfait relativiste

[invite0945025c]

Bonjour à tous,

j'aurai besoin d'un éclaircissement à propos d'un calcul :

on veut calculer la fonction de partition d'un gaz parfait ultra-relativiste contenu dans un volume dont on approxime l'énergie d'un particule où est le module de l'impulsion d'une particule.

La fonction de partition d'une particule (classiquement) s'écrit en intégrant sur l'espace des phases , où :



L'intégrale diverge en , ce n'est pas possible de calculer dans ce cas là. On peut la calculer en passant en coordonnées sphérique, en sortant il reste une intégrale de 0 à l'infini du même terme multiplié par ce qui est calculable par parties.

Ma seule question est : pourquoi est-ce que l'intégrale est calculable en coord sphériques mais diverge en coord cartésiennes ?

Merci d'avance pour votre aide !

Bonne soirée !
-----

[obi76]

Bonjour,

au pif comme ça, je dirait que comme l'énergie d'une particule est nécessairement positive, soit il faut intégrer entre 0 et l'infini, soit il doit y avoir une valeur absolue dans l'exponentielle (mais je me trompe sans doutes...).

[invite0945025c]

Merci pour ton message, je crois que je commence a comprendre, je pense que ce que j'ai écrit est faux cela devrait plutôt être :

où et là P serait bien le module de l'impulsion cette fois ci intégré sur ce qui donnerait en composantes (qui elles vont bien de -l'infini à +infini) :



Donc séparer les intégrales pour en faire une seule au cube comme j'ai fait n'est pas correct puisque les variables ne sont pas indépendantes. Là ça n'est vraiment pas facile (pas possible?) à intégrer tel quel mais effectivement en changeant de variable vers le sphérique on identifie bien le terme radial et on utilise la méthode que j'avais écrite au dessus...

je me suis planté désolé pour mon message... Si quelqu'un voit une erreur dans mes trucs et que je me trompe encore ou un moyen de calculer l'intégrale en coord cartésiennes alors je veux bien savoir !

Merci!

[ENO-Astro]

Je vais y répondre, et ce, même si ça fait un moment. Ça pourra toujours servir à d'autres personnes !

Tu as effectivement:



Ce qui donne, en coordonnées sphériques:



Maintenant, on pose:
Le but, c'est d'utiliser l'intégrale de Gauss suivante:

Maintenant, on fait en sorte qu'une intégrale de ce genre apparaît dans notre équation, afin de faciliter les calculs, soit:



Voilà, en faisant apparaître des dans l'intégrale, on a pu utiliser notre intégrale de Gauss qui vaut 2

Cordialement, EN0

[A voir en vidéo sur Futura]