Conservation de la quantité de mouvement (relativité galiléenne)

[nash06]

Bonjour à tous,

Si j'ai bien compris, le théorème de Noether lie les symétries (continues) des lois physiques à des quantités conservées. L'invariance par translation dans le temps, par exemple, serait équivalente à la conservation de l'énergie.

Quand on considère la mécanique newtonienne, les lois de la mécanique sont invariante par changement de référentiel galiléen. Les 10 symétries concernées sont donc :

- La translation dans le temps
- 3 translations dans l'espace
- 3 rotations
- 3 "boosts" galiléens (référentiel 2 en translation uniforme par rapport au premier)

Je lis partout que la conservation de la quantité de mouvement provient de l'invariance par translation dans l'espace. En conséquence, une démonstration faite dans le Berkeley (vol1) me laisse très perplexe. Je reproduis le raisonnement :

On admet la conservation de l'énergie. Le système d'étude est deux billes de masses M1 et M2 qui se cognent. (Donc seule l'énergie cinétique est considérée)

Avant le choc, l'énergie est (j'enlève les 1/2 qui vont rendre le tout peu lisible) M1v1² + M2v2².

Après le choc, l'énergie est M1w1² + M2w2².


La conservation de l'énergie donne M1v1²+M2v2²=M1w1²+M2w2²+U où U est la variation d'énergie d'excitation interne.

Si on observe la collision depuis un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport au premier (vitesse V) on observera les vitesses :

v1'=v1-V
v2'=v2-V
w1'=w1-V
w2'=w2-V

La loi de conservation de l'énergie donne :

M1v1'²+M2v2'²=M1w1'²+M2w2'²+U

Or v1'²=v1²-2v1.V+V² et idem pour les autres vitesses.

En conséquence, on peut réécrire l'équation précédente :

M1(v1²-2v1.V+V²) + M2(v2²-2v2.V+V²) = M1(w1²-2w1.V+V²) + M2(w2-2w2.V+V²) + U

Les termes en V² s'éliminent, si on considère l'équation dans le premier référentiel, il ne reste que :

(M1v1+M2v2).V = (M1w1+M2w2).V

Comme cette relation doit être vraie quel que soit V, on en déduit
M1v1+M2v2=M1w1+M2w2 ce qui prouve la constance de la quantité de mouvement.

(p71-73 de l'édition française de 1972 si ça intéresse quelqu'un)


Bref, sur cet exemple, c'est l'invariance par "boost" galiléen qui est responsable de la conservation de la quantité de mouvement, et non celle par translation dans l'espace... comme je l'ai dit plus haut, je suis très perplexe, est-ce que je n'ai carrément rien compris ou est-ce qu'il y a juste une astuce ici... ?


Merci d'avance pour vos réponses éclairées !
-----

[invite6dffde4c]

...
Je lis partout que la conservation de la quantité de mouvement provient de l'invariance par translation dans l'espace. ...!

Bonjour.
Je ne sais pas ce que vous entendez par « partout ».
Mais la conservation de la quantité de mouvement se démontre directement à partir de la seconde loi de Newton, sans besoin de passer par des symétries ou d’autres moyens inconnus à l’époque de Newton.
Pas besoin non plus de passer par des collisions ni même des solides.
Regardez la démonstration dans le tome I-10 du Feynman.
Au revoir.

[nash06]

Bonjour,

Merci de votre réponse. Effectivement, on la démontre simplement à partir des lois de Newton. Cependant, je cherchais à faire le lien entre les invariances et les symétries du problèmes.
L'intérêt de la démonstration que j'ai reproduite justement est qu'elle n'utilise pas les lois de Newton, mais juste les symétries du problème.

(Certes, il faut en plus ajouter deux hypothèses :

- conservation de l'énergie
- forme de l'énergie en Mv² pour une particule.)


Est-ce que l'invariance par translation ne serait pas cachée quelque part dans cette démonstration ? Qu'en pensez-vous ?

[invite6dffde4c]

Re.
Je ne me prononcerai qu’en présence de mon avocat.
Je suis de la vieille école, et les invariants n’ont jamais été une priorité pour moi.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je lis partout que la conservation de la quantité de mouvement provient de l'invariance par translation dans l'espace. En conséquence, une démonstration faite dans le Berkeley (vol1) me laisse très perplexe.

Est-il écrit en clair dans le Berkeley qu'il s'agit d'une démo basée sur l'invariance par translation spatiale?

Ou la question est-celle juste comment interpréter la démo recopiée comme partant de considérations de symétrie?

[nash06]

Bonjour,

Non, il n'est pas écrit que c'est une démo basée sur l'invariance spatiale en particulier, seule l"invariance galiléenne" dans sa globalité est mentionnée.

Elle se trouve dans le chapitre "Invariance galiléenne".

L'introduction à cette démonstration est la suivante : "Nous donnons maintenant deux démonstrations de la loi de la conservation de la quantité de mouvement. La première démonstration est fondée sur l'hypothèse des forces de Newton. La deuxième démonstration est meilleur et plus générale ; elle est fondée sur les hypothèses de l'invariance galiléenne et de la conservation de l'énergie."

Et pour répondre au premier message de LPFR, quand je dis que je lis "partout" que la conservation de la quantité de mouvement est due à l'invariance par translation spatiale (et non par l'invariance par boost galiléen/ boost relativiste), je veux dire dans les bouquins/cours en ligne qui parlent de ce problème avec la mécanique analytique.

Après, peut-être que dans ce cas précis, on n'est pas dans le cas de la mécanique lagrangienne (à cause de l'énergie d'excitation interne U mentionnée) et que ça expliquerait pourquoi dans le cas présent c'est le boost galiléen qui entre en jeu et non pas simplement l'invariance par translation ?

[Amanuensis]

Après, peut-être que dans ce cas précis, on n'est pas dans le cas de la mécanique lagrangienne (à cause de l'énergie d'excitation interne U mentionnée)

Si, si. Le lagrangien sera de la forme , et le moment cinétique est obtenu comme parce que le terme de potentiel ne dépend pas des vitesses.

La démo proposée ne correspond pas à l'application de Noether, puisqu'on n'y parle pas de lagrangien. Et les hypothèses utilisées sont très fortes: conservation des masses individuelles lors du choc, conservations de la somme des mv², formule de l'énergie indépendante du référentiel (e.g., pourquoi U serait le même dans les deux référentiels?).

Difficile de trier ce qui vient de quoi.

Pour une démo utilisant le lagrangien, voir le Landau. (Dans le Landau, l'invariance par boost et l'isotropie spatiale, (et peut-être plus) sont utilisés pour trouver la forme du lagrangien ; les deux conservations se déduisent alors à partir du lagrangien, "à la Noether".)

[Amanuensis]

le moment cinétique

lapsus, lire quantité de mouvement...

[nash06]

Ah oui, en effet, merci beaucoup.