Avantage notation indicielle pour les tenseurs

[invite9c7554e3]

Salut tous,

j'avais cru comprendre que l'avantage de la notation indicielle lorsqu'on manipule les teneurs c'est d'être indépendant de la base...
Le truc c'est que je n'arrive pas à m'en persuader.

Prenons par exemple , en notation indicielle ça donne mais si je me mets dans un repère cylindrique la divergence ne se notera plus , il y aura des 1/r ...etc qui vont trainer.

Du coup je ne comprends plus trop l'avantage de cette notation, j'espère que vous pourrez m'éclairer (et dans le meilleur des cas me donner un exemple concret)

merci
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[invite47ecce17]

Bonjour,
La notation indicielle est locale (ponctuelle meme je dirai) ca ne veut pas dire que les objets en questions sont donnés par la meme formule dans un petit voisinage du point considéré. Elle dit juste que ponctuellement tu peux la décomposer sur une base suivant toujours la meme formule.
Ensuite, quel est l'interet de la notation indicielle? Personnellement je trouve qu'il est nul. J'imagine qu'il permet de manipuler mecaniquement les choses (un peu comme la règle "on fait passer d'un membre à l'autre en changeant le signe") du coup il peut etre pratique pour gagner en vitesse de calcul, mais finalement quand on fait simplement attention aux objets qu'on manipule et a leurs types, au final on developpe ses propres "astuces" et on finit par etre aussi rapide, meme si au debut on est forcement plus lent.

[invite9c7554e3]

moi ce que j'avais compris c'est que le grand avantage c'est que les relations que l'on manipule sont valables pour n'importes quelle base ce qui est déjà pas mal. Mais c'est vrai que ça perd de son avantage si lorsqu'on change de type de description les équations doivent etre écris sous une autre forme...

par contre un truc que je n'ai jamais compris avec les tenseurs d'ordre 2 : on dit que c'est des formes bilinéaires (notion que je ne comprend pas trop) et que ça peut se représenter sous forme de matrice (donc une application linéaire), il n'y a pas contradiction là ? comment un objet peut être soit linéaire soit bilinéaire ?

Ensuite si je prend un tenseur on me dit que je dois faire le changement de base comme suit mais si je manipule la matrice associée au tenseur on me dit qu'il faut changer de base cette matrice grace à la relation

il y a de quoi être perdu non ? pouvez vous m'aider à retrouver mon chemin ?

[invite47ecce17]

Une matrice ca n'est PAS une application linéaire. Une matrice c'est un tableau de nombre, on peut s'en servir pour représenter des applications linéaires, des formes bilinéaires, ou encore mille autre choses.
Donc non, y a pas de contradiction.

Pour le reste, je ne comprend pas tes notations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c7554e3]

OK pour la matrice, mais parfois on identifie pas un tenseur à une application linéaire ? c'est pour ce simplifier la vie ?

désolé pour la notation, je refais, je parlais de changement de base :
Ensuite si je prend un tenseur on me dit que je dois faire le changement de base comme suit mais si je manipule la matrice associée au tenseur on me dit qu'il faut changer de base cette matrice grace à la relation

il y a de quoi être perdu non ? pouvez vous m'aider à retrouver mon chemin ?

[invite47ecce17]

De quel type est ton tenseur A?

Les tenseurs qui s'identifient à des applications linéaires sont les tenseurs de type (1,1). Ceux là oui on les identifie en general a des endomorphismes.
Plus generalement V\otimes W^* est canoniquement identifé à Hom(W,V) (si V et W sont de dimensions finies).

[invite9c7554e3]

je réponds ci dessous à ton message. As tu une explication à me fournir concernant le pour un tenseur et le concernant une application linéaire ? en fait c'est l'un des principales question que je me pose sur la différence tenseur/application linéaire : pourquoi les opérations de changement de base ne sont pas similaires ? surtout si dans certain car on identifie un tenseur à une application linéaire, quelle formule de changement de base doit on utiliser ?

De quel type est ton tenseur A?

un tenseur d'ordre 2 ? faut il quelque chose de plus pour le caractériser ?

Les tenseurs qui s'identifient à des applications linéaires sont les tenseurs de type (1,1).

je ne comprends pas ce que ceci veut dire...

est canoniquement identifé à Hom(W,V) (si V et W sont de dimensions finies).

là je comprends encore moins, ça veut dire quoi Hom ?

[invite47ecce17]

Ben oui, bien sur il y a different tenseur d'ordre 2!
Il y en a de type (1,1) de type (2,0) et de type (0,2) et en general on ne peut les identifier (ou si tu preferes, 1 fois covariant 1 fois contravariant, 2 fois covariant, 2 fois contravariants). Et justement leurs coords se transforme differement sous l'action d'un changement de base de l'espace de base.

Hom(V,W) c'est l'espace des applications linéaires de V dans W.

[invite9c7554e3]

ah oui OK. Moi je suis toujours dans des repères orthogonaux et toutes ces choses sont équivalentes non ?

[invite47ecce17]

Si tu as des "reperes orthogonnaux" c'est dire que tu as choisi une metrique, tu as alors un isomorphisme canonique entre V et V^*, qui identifie alors tenseur d'ordre (1,1), (0,2) ou (2,0). Du coup pour faire des changement de base, tu dois alors faire des changement de base qui preserve l'identification de e_i^* avec g(e_i,.), c'est a dire uniquement des isométries. Mais dans ce cas, alors si P est le changement de base, P est orthogonale et P^T=P^-1 et tout s'identifie.

[invite9c7554e3]

Merci pour ton aide. Je vais essayer d'approfondir tout ça.