Déformation d'une membrane circulaire par une force en son centre

[invitedb9a38e7]

Bonjour,

Dans le cadre de la réalisation d'un projet, voici mon problème :

Soit une membrane circulaire tendue de quelques millimètres de diamètre (disons entre 10 mm à 20 mm de diamètre pour donner un ordre de grandeur) faite avec une feuille de caoutchouc très fine (récupérée d'un gant en latex) placée à l'horizontale et dont on néglige la masse, sur laquelle est collé en son centre une tige de petit diamètre (disons 2 ou 3 mm) qui supporte une petite pièce de 1 gramme à 20 grammes. Donc, dû à cette masse concentrée sur le petit diamètre, une force de x Newtons s'exerce sur la membrane, ce qui la déforme donc la masse descend de y millimètres.

Déjà, si je dois faire fabriquer cet assemblage à un industriel, il va me demander de combien cette membrane doit être tendue. Ben, je me demande bien -déjà- quelle est l'unité de cette tension car exprimée en Newton/mètre pour les ressorts (donc en 1 dimension), là la membrane a 2 dimensions. Est-ce alors quand-même la même unité ??

En vue d'optimiser mon système, qui variera en fonction de la tension de la membrane et de la masse, le diamètre de la tige, celui de la membrane, il me faudrait la formule qui me donne la valeur de y (la masse qui descend dû à son poids).

Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci d'avance.
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[Jaunin]

Bonjour, Lumino62,
Question intéressante.
Le calcul d'un disque retenu sur son pourtour avec une charge centrée, c'est facile.

Maintenant avec une membrane élastique tendue cela se complique.
A t-on une idée des caractéristiques du latex ?

Cordialement.
Jaunin__

[Jaunin]

Quelques première informations.

http://www.mitcalc.com/doc/plates/help/fr/platestxt.htm

[invitedb9a38e7]

Bonsoir Jaunin,

Merci pour votre intérêt porté à ce sujet ainsi que pour vos recherches (même tard). J'ai passé des jours à chercher des réponses en vain sur le net avant de solliciter quelqu'un ici. A chaque fois ça ressemble, mais ce n'est jamais le même.

J'avais déjà consulté ce site et plein d'autres et j'ai vu vos documents. Le problème est que généralement l'étude porte sur des déformations de membranes qui subissent une pression différentielle donc sur toute sa surface. La courbure de la membrane ressemble à un arc de cercle ou une parabole. Je crois que dans le cas d'une force appliqué au centre la courbure de la membrane ressemblerait (sinon serait parfaitement) un "V" ayant un angle fonction de la tension et de la force. L'autre problème est que toutes ces formules sont extrêmement complexes avec tout un tas de symboles mathématiques que je suis bien loin de connaître. Certaines formules sont si ardues qu'il faut avoir un doctorat pour les appréhender.

Concernant votre question : Malheureusement non, je n'ai pas les caractéristiques du latex. Mais pour moi, que le caoutchouc soit facile à étirer ou bien résistant à l'élongation c'est pareil puisque ce qui compte est la valeur de la tension. La différence sera l'élongation qu'il sera nécessaire d'appliquer pour obtenir telle tension.

J'ai imagé cet assemblage en faisant référence à une masse, mais pour moi, en simplifiant un tout petit peu, une formule qui donne la valeur y en fonction de la force appliquée m'irait tout aussi bien, et même si au lieu de la tige avec son petit diamètre j'ai une formule seulement avec une force appliquée juste au point central (sans dimension) cela m'irait aussi (j'extrapolerai, je pense que c'est possible).

Je me dit que le problème est simple à expliquer mais bougrement difficile à résoudre aussi je vous remercie énormément pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter (peut-être un challenge intéressant à relever ?).

Lumino62

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Pour faire avancer un peu le schmilblick.
La solution pour une membrane élastique sans différence de pression entre les deux côtés est le laplacien de la hauteur nul (chaque point se situe à la moyenne des points qui l’entourent).
C'est-à-dire que c’est la même solution que le potentiel électrique de deux cylindres coaxiaux. Autrement dit le potentiel est (de tête) de la forme ln(r2/r1).
Ceci dit, je ne sais pas, (ce n’est pas mon domaine) calculer la tension ni la force sur la membrane.
Au revoir.

[Jaunin]

Bonjour, Lumino62,
Avez-vous regardé dans le Roark's page 457 et 492

Cordialement.
Jaunin__

http://materiales.azc.uam.mx/gjl/Clases/MA10_I/Roark's%20formulas%20for%20str ess%20and%20strain.pdf
http://materiales.azc.uam.mx/gjl/Cla...d%20strain.pdf

[invitedb9a38e7]

Bonsoir Jaunin et LPFR,

Merci pour vos recherches. J'ai commencé à regarder tout ça (pas fini, c'est assez ardu). Je crois comprendre que ces études portent sur des matériaux "durs", pas des membranes en caoutchouc. Je maîtrise l'anglais mais sur des études scientifiques complexes j'avoue me sentir vite dépassé. Il y a des formules à rallonge. Je ne suis pas trop mauvais en math mais là ça me dépasse. L'énoncé de mon problème est très simple mais sa résolution l'est bien moins.

Ce soir j'ai fait 2 expérimentations faciles à faire. Avec un élastique, quelque soit la tension, l'application d'une force fait que l'élastique forme un V, ce qui est assez facile à deviner. Par contre, surprise avec la membrane tendue. J'ai pris un gant (pas besoin de le couper ça marche très bien) que j'ai appliqué à l'extrémité d'un verre. J'ai fait cela avec 2 types de gants : bleu clair en nitrile et bleu foncé en latex qui est plus facile à étirer. Alors que j'étais quasi persuadé voir une forme en V mais à 360 ° comme un chapeau chinois, là c'est une forme de trompette qui apparaît. Grrr ! Cela complique mon affaire.

Je vais continuer mes consultations, recherches et expérimentations. Si je trouve quelque chose d'abordable pour le néophyte je ne manquerais pas de donner l'info. En attendant j'ai trouvé des études avec des membranes caoutchouc, mais pour des comportements oscillatoires où il est question de lignes nodales. Tien, cela parle de laplacien !

A bientôt

[Flyingbike]

Vous aurez peut être plus un V qu'une trompette si les pressions de part et d'autre sont égales. Votre verre est fermé, vous n'aurez donc pas le même profil selon que vous tirez ou poussez dans le verre

[Jaunin]

Avez-vous mesuré l'épaisseur de la matière de vos gants.

[LPFR]

Bonjour.
Comment pensez-vous que j’ai été capable de vous donner l’équation et la forme de la surface
Parce que j’ai une ligne directe avec l’Olympe ?
Non. Simplement parce que vous êtes en train de ré-découvrir l’Amérique.

Votre problème est un problème de tension superficielle : forme et force d’une membrane savonneuse ou de la surface libre d’un liquide en absence de gravité.

Maintenant que j’ai réfléchi un peu, je peux même vous dire comment on calcule la force. On calcule la forme précise (avec les coefficients) ln(r2/r1). La force verticale sera donne par la composante axiale de la « force de tension superficielle » gamma.2pi.r. Où gamma st la « tension superficielle de votre membrane, en N/m
Au revoir.

[LPFR]

Re.
Je retire ce que j’ai dit pour le calcul de la force. Le problème, côté forme de la surface, est celui que j’avais dit, mais non pour la force, car la « tension superficielle » de la membrane dépend de son état de tension. Alors que pour un liquide elle est constante.
A+

[invitedb9a38e7]

Bonsoir LPFR,

Lorsqu'une science n'est pas notre domaine de prédilection nous cherchons toujours à trouver une analogie avec ce que nous connaissons mieux et/ou cherchons ce à quoi cela pourrait être analogue. J'ai appris à me méfier des choses qui ressemblent comme deux gouttes d'eau à ce que l'on cherche à étudier car tôt ou tard l'on se rend compte que tel comportement n'est pas comparable à 100 % car les interactions ne sont pas régies par les mêmes lois. Ce qui peut être partiellement vrai ne peux pas être parfaitement identique. C'est un peu comme comparer les circuits hydrauliques aux circuits électriques. Il y a certes des similitudes, on peux modéliser les grandes lignes, mais pas les détails. Alors oui, on peux souvent calculer des choses en calquant sur ce qui a déjà été étudié dans un autre domaine, mais avec réserve. Si je fais ce préambule, c'est parce que j'avais aussi pensé à l'analogie avec -par exemple- la tension superficielle à la surface des liquides. Mais j'émet un doute car comparer les comportements d'une matière non compressible à ceux des polymères, je préfère associer ma membrane tendue à d'autres milieux plus comparables ou plus ressemblants.

Ensuite : Je n'ai jamais commenté -d'aucune manière que ce soit- la façon dont vous avez été capable de me donner l'équation et la forme de la surface. Je n'ai jamais montré un quelconque étonnement vous faisant penser que je suppose que vous aviez une ligne directe avec l'Olympe. Et si je ré-découvre l'Amérique parce que je ne me suis pas rendu compte que mon problème était un problème de tension superficielle d'un liquide (ah bon ? Ben oui, si vous le dîtes) et bien certes, mais l'Amérique, c'est grand. Enfin, je me demande ce que j'ai pu faire pour vous faire sortir de vos gongs. Personne ne peut tout connaître dans tous les domaines, parfois, souvent l'on a besoin d'être aidé sans se sentir diminué. Moi je suis expert en électronique et quand je donnais ma science à des stagiaires bourrés de diplômes (dont certains de physique), jamais je ne leur ai dit qu'ils ré-découvraient l'Amérique lorsque je leur entretenais de quelques circuits qui pour tout électronicien sont des bases connues depuis dizaines d'années. Je suis en train de mettre au point un projet qui m'a obligé 25 ans après l'école à me pencher sur des tas de domaines jamais explorés et aujourd'hui je souhaite "mathématiser" un peu tout ça pour donner des chiffres en vue d'une fabrication industrielle, avec les bonnes unités, et après avoir utilisé des formules pour en optimiser le fonctionnement. Et ce que je cherche à calculer, ce n'est pas une force, c'est la valeur de la déflexion en fonction de la tension de la membrane, de son diamètre, et de la force appliquée en son centre : 3 paramètres dans la formule. L'épaisseur du film n'est pas importante car d'abord négligeable ensuite voir ci-dessous.

Pour revenir sur le sujet et pour répondre aux questions : Les gants en latex utilisés ont une épaisseur de 0.25 mm. J'ai aussi fabriqué 2 membranes circulaires tendues faites avec des anneaux d'environ 20 et 25 mm de diamètre intérieur, donc pour voir la différence avec le verre fermé (même s'il est je pense assez grand) et j'ai également expérimenté avec des épaisseurs allant de 0.25 mm à environ 1,5 mm d'épaisseur. Résultat : toujours cette forme de trompette que je comprends mieux à présent. La courbure ressemble vraiment à celle d'une courbe logarithmique, donc la formule est peut-être bonne, mais je dois en être sûr et certain. Puis avec plus d'attention j'ai revu le document en anglais "Roark's" que Jaunin m'a si gentiment fourni (encore merci Jaunin !) et constaté que cette forme se retrouve bien dans ses pages, sauf que les formules me paraissent étonnamment plus complexes, mais je m'y accrocherais quand-même.

Quoiqu’il en soit l' "objet" sur lequel porte mon étude fonctionne bel et bien. Je ne suis pas forcément obligé de savoir le calculer parfaitement pour le rendre industrialisable, mais pour moi c'est mieux pour faciliter son futur perfectionnement, et plus sérieux d'annoncer des chiffres et des unités.

Au revoir

[Jaunin]

là c'est une forme de trompette qui apparaît

Un peu comme l'image ci-jointe.

J'ai un peu inventé un Latex orthotrope.

Avez vous essayé avec des logiciels plus physique comme ANSYS ou COMSOL Multiphysique

[invitedb9a38e7]

Bonsoir Jaunin,

Non, je n'ai pas ces logiciels. La forme sur votre image est assez ressemblante. La différence avec ma membrane se situe au centre. Pour obtenir votre forme il faut appliquer la tension sur la membrane avec un objet à bout arrondi d'un diamètre bien supérieur à la tige que j'utilise qui en plus est plate à son extrémité. Cette forme (avec mon système) ressemble beaucoup à la représentation en 3D des lignes courbée de l'espace au voisinage d'un trou noir ! Un puits profond. Pour ceux qui n'ont pas de membrane en caoutchouc à portée de main ils peuvent voir cette courbure en se pinçant un petit bout de peau du bout des doigts là où s'est mou et en tirant dessus !

Il y a du -sacré- nouveau ce jour car j'ai découvert qu'un type de capteur de distance que j'avais imaginé existe déjà tout fait et miniaturisé. J'ai déjà pu en tester un ce jour et c'est très sensible (et abordable). Il s'agit des capteurs optiques réflectifs. Exemples : QRE1113, GP2S60, SFH 9206, EE-SY1200. Leur courbe de réponse est pour mon application très intéressante sur la portion qui part de zéro, là où la variation est la plus franche. Grâce à ce type de capteur je n'ai plus besoin d'une grande déformation de ma membrane et sa forme précise n'est plus d'importance cruciale, ce qui remet en cause l'utilité d'une résolution analytique de mon système. Mais cela ne remet évidemment pas en cause l'intérêt de cette étude -peu commune- pour son aspect approfondissement des connaissances ainsi que pour le défit mathématique qu'il propose de relever.

Merci à tous