Question concernant la mécanique lagrangienne

[invite7d3ae0ba]

bonsoir,

je suis en première année post-bac, et pour un projet personnel, j'ai besoin de comprendre le fonctionnement de la mécanique lagrangienne, car cela permet d'obtenir les équations d'un pendule double de manière assez simple.

en faite, ce dont je voudrais être sûr, c'est l'origine des équation d'Euler-Lagrange, qui de ce que j'ai compris, sont la base de cette mécanique, au même titre que la seconde loi de Newton pour la mécanique newtonienne.

Justement là où la mécanique newtonienne repose sur cette seconde loi, il me semble que la mécanique lagrangienne repose sur le principe de moindre action, qui permet de trouver les équations d'Euler-Lagrange. Mais j'aimerai être certain que ce dit principe ne soit pas basé sur une autre règle, ou principe qui m'aurait échappé, et qui serait donc réellement le point de départ de la mécanique lagrangienne.

Merci d'avance pour vos réponses !
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[invite93279690]

bonsoir,

je suis en première année post-bac, et pour un projet personnel, j'ai besoin de comprendre le fonctionnement de la mécanique lagrangienne, car cela permet d'obtenir les équations d'un pendule double de manière assez simple.

en faite, ce dont je voudrais être sûr, c'est l'origine des équation d'Euler-Lagrange, qui de ce que j'ai compris, sont la base de cette mécanique, au même titre que la seconde loi de Newton pour la mécanique newtonienne.

Justement là où la mécanique newtonienne repose sur cette seconde loi, il me semble que la mécanique lagrangienne repose sur le principe de moindre action, qui permet de trouver les équations d'Euler-Lagrange. Mais j'aimerai être certain que ce dit principe ne soit pas basé sur une autre règle, ou principe qui m'aurait échappé, et qui serait donc réellement le point de départ de la mécanique lagrangienne.

Merci d'avance pour vos réponses !

Salut,

Dans les cours modernes, les equations d'Euler-Lagrange proviennent en effet du principe de moindre action. Dans ce contexte, le principe de moindre action est considéré comme fondamental et on peut en deriver les equations du mouvement de tout système (conservatif ou avec contraintes holonomiques).

Cela étant, les equations d'Euler-Lagrange peuvent également s'obtenir en utilisant un principe different qui s'appelle le principe de d'Alembert ou principe des déplacements virtuels qui est un principe se basant au depart sur la statique et considéré comme étant aussi fondamental que les equations de la dynamique de Newton (+ leur extension a la mécanique des solides) et qui peut ainsi s'appliquer également aux systèmes non conservatifs.

Pour la petite histoire, les deux principes, celui de d'Alembert et de moindre action different philosophiquement en ce que le second apporte une notion de "cause finale" (il faut minimiser l'action qui depend a la fois du point de depart et du point d'arrivée) alors que le premier non; ce qui a été considéré pendant longtemps comme un défaut du principe de moindre action. Toutefois, la formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin de Feynman et les approximations semi-classique de type WKB viennent conforter l'idée qu'au final le principe de moindre action est bel et bien un principe important pour comprendre ce que veut dire la mécanique classique a la lumière de notre comprehension moderne du monde.

[invite7d3ae0ba]

Merci pour votre réponse.
je vois un peu mieux d'où tout cela vient.
j'avoue que je n'ai pas tout compris votre dernier paragraphe, car vous parlez de choses qui ne me disent absolument rien, mais merci pour la réponse claire à ma question !

[invite93279690]

Merci pour votre réponse.
je vois un peu mieux d'où tout cela vient.
j'avoue que je n'ai pas tout compris votre dernier paragraphe, car vous parlez de choses qui ne me disent absolument rien, mais merci pour la réponse claire à ma question !

Si le dernier paragraphe vous apporte plus de confusion qu'autre chose pour le moment, ce n'est pas grave, faites comme si il n'existait pas.

[A voir en vidéo sur Futura]