Mécanique Lagrangienne

[invite11926ea9]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre la définition d'un système HOLONOME. Est-ce que quelqu'un pourrait tenter de m'expliquer ce que c'est, avec (et c'est peut-être beaucoup demandé) des exemples de systèmes HOLONOMES et non-HOLONOMES?

Par exemple, un mobile qui se déplace sur une courbe (type parabole, e, etc) en montant et en descendant, est-il HOLONOME? CONSERVATIF? (car la réaction du support est liée à sa vitesse et à la courbure, la vitesse est liée à l'énergie potentielle => toutes les forces dérives d'un potentiel ?)

Merci par avance.
-----

[invite11926ea9]

Bonsoir,

Help svp ... si quelqu'un possède des cours de mécanique Lagrangienne, je suis preneur.

Merci.

[invitec8b46424]

Bonsoir,
j'ai un site pour toi,j'espere que tu vas aimer
http://www.sciences.ch/htmlfr/mecani...ismelagrangien

[invite11926ea9]

Merci, je vais potasser

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite11926ea9]

aaarrrrrrrggggggggg ... il n'y a pas de définition d'une contrainte holonome !!

grrrrr, à l'aide !!!

[invitec8b46424]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Contrainte_holonome

un truc classique: wikipédia
t'as peut être deja vu mais je te l'passe quand mm

[invite11926ea9]

Merci, oui j'avais déjà vu ...

[invite93e0873f]

Salut,

J'imagine que quand tu lis qu'un système est soumis à une contrainte holonome s'il existe une équation de la forme pour l'état du système, tu ne vois pas trop en quoi cela n'est pas satisfait par tous les systèmes.

Ce que la formule précédente dit, c'est que si tu connais les différentes positions des particules de ton systèmes (ainsi que le moment auxquelles les particules occupent ces positions), alors tu connais totalement l'état de ton système. Néanmoins, il existe des situations où se n'est pas le cas.

Imaginons le plan Oxy (de l'espace Oxyz) avec une sphère au repos au-dessus de l'origine. On marque un point sur le dessus de la sphère afin de savoir (partiellement) dans quelle orientation elle se trouve. Tu pourrais étudier la sphère comme un système constitué d'une myriade de particules 'unies' de façon rigide, mais cela serait vraiment trop d'informations à manipuler. À la place, tu considères plutôt uniquement la position du centre de la sphère. Dans plusieurs situations physiques, cela est suffisant pour caractériser l'état du système. Or, pas dans ce qui suit.

Faisons donc rouler, sans glissement, la sphère dans la direction des x positifs d'un tour complet, puis un autre tour complet dans la direction des y positifs, puis revenons à l'origine en ligne droite (toujours en roulant sans glissement). Si la position était suffisante pour caractériser l'état du système, vu que la sphère est de retour à l'origine, elle devrait être exactement pareille à ce qu'elle était initialement. Pourtant, en faisant ces manipulations, on remarque que le point marqué sur la sphère n'est plus sur le dessus. Le voyage de la sphère a changé son orientation. L'état du système est donc différent et la seule connaissance de la position de la sphère n'est pas suffisante. Ce système est non-holonome.

[invite11926ea9]

Bonsoir,

Universus merci beaucoup pour ces infos.

Je vais exposer pas à pas ma démarche, si vos commentaires peuvent m'aider à comprendre et surtout me guider ça me serait très utile.

[invite11926ea9]

Bonjour,

Et merci pour ces réponses qui m’éclairent et m’aident à comprendre la signification de ces termes nouvellement découverts.

En fait, ce que j’essaie de résoudre est le problème suivant :
- Je lance un mobile (un point matériel) horizontalement à une vitesse V₂ (à déterminer)
- La résistance du support R est constante, perpendiculaire à la trajectoire et de norme = 2,5mg
- Arrivée à une certaine hauteur h3 (à déterminer) la vitesse est verticaleV₃ (connue)

J’ai choisi des coordonnées polaires pour repérer le mobile et un repère mobile qui forme un angle avec le vecteur R.

Je souhaite caractériser la courbe en fonction de ou de .

Suite aux explications qui m’ont été données, j’en déduis que ce système est rhéonome, holonome et conservatif (les frottements sont négligés – peut-on dire que la réaction du support dérive d’un potentiel car la vitesse n’est due qu’à la transformation Ep => Ec ??).

Sans l’utilisation de force généralisée, j’arrive à l’équation n° 1 suivante :



L = T – V , T => énergie cinétique & V => énergie potentiel.

Les coordonnées généralisées sont : , – en fait je souhaite exprimer en fonction de ou de , peu importe.

Ce qui m’étonne, c’est que si j’utilise l’équation n°1, la force R n’entre pas en ligne de compte, or c’est sa valeur qui détermine la trajectoire.

Mes hypothèses sont-elles justes?

Sinon, je pensais utiliser une formule faisant intervenir les forces généralisées, notamment . Dans ce cas on a L = T – V’ , V’ correspond à quoi ?

Merci par avance pour vos réponses éclairées.

PS : j'ai joins un PDF qui explicite, je l'espère le contexte.

[invite11926ea9]

Correctif : R forme un angle avec le repère mobile et non

Merci.

[invite93e0873f]

Salut,

J'aimerais avant de répondre à ton dernier message préciser qu'il existe différentes définitions d'un système holonome qui ne sont pas toutes exactement équivalentes. Dans mon livre de mécanique par exemple, la définition est différente de celle donnée dans le lien wikipédia proposé par samil plus tôt.

Je comprends ton problème de la façon suivante : tu te demandes s'il existe une forme (ou une famille de formes) à donner à un support afin qu'un mobile ponctuel contraint de se déplacer sans friction sur ce support (et sous l'effet de la gravité seulement) subira une réaction constante du support. Si une telle famille de formes existe, pour une valeur donnée de la réaction, quelle est la forme qu'il faut?

Je préfère le terme réaction du support au terme résistance du support, car résistance laisse penser davantage à des forces de friction par exemple, alors que réaction, dans son usage habituel en mécanique, fait plus allusion à une force normale.

Il y a plusieurs choses à dire. Déjà, la méthode lagrangienne n'est pas appropriée pour des systèmes soumis à des forces dissipatives (c'est-à-dire pour (certaines) forces non-conservatives telles que les frottements ou la résistance de l'air). On peut modifier la méthode lagrangienne pour la généraliser dans une certaine mesure à ces situations, mais cela n'est pas aussi naturel. Ça tombe bien, dans ton problème nous n'avons pas à nous préoccuper de ça.

J'ai par contre précisé 'certaines forces non-conservatives' et pas toutes. La réaction d'un support n'est pas une force conservative et pourtant la méthode lagrangienne ne demande pas de modifications afin de s'appliquer à des situations où une réaction est présente. La raison étant que les travaux faits par des réactions d'un support (étant des forces normales appliquées) sur un mobile se déplaçant sur le support sont nulles. Ainsi, la présence d'une réaction du support sur le mobile n'influence en rien l'énergie du mobile. Cela nous permet de démontrer que les équations d'Euler-Lagrange du mouvements restent les mêmes en présence ou non de réaction du support.

Néanmoins, comme tu le fais remarqué, la présence d'une réaction modifie la trajectoire d'un mobile par rapport à une trajectoire «plus libre». C'est que bien qu'on puisse utiliser la méthode lagrangienne (sans modifications explicites de la méthode) dans des situations où il y a une contrainte de se déplacer sur un support (donc avec réactions), les modifications sont implicites.

Tu peux appliquer les équations d'Euler-Lagrange (où q est une variable généralisée). Dans ton cas, tu as deux variables généralisées. Néanmoins, elles sont inter-reliées dans ton problème via la courbe, la forme du support. Ainsi tu peux peut-être écrire pour ta courbe et tous les p apparaissant dans tes équations d'E-L, tu pourrais les remplacer par cette expression . Or, non seulement il faut connaître la fonction f, mais cette façon de faire est trop générale (la réaction du support n'a pas à être constante). Néanmoins, dans certaine situation, cette particularité de la méthode de Lagrange est très intéressante (car la connaissance de la réaction est finalement obsolète).

Une autre façon est de modifier les équations d'E-L de façon explicite (ou non plus implicite). On chercher une fonction qui est constante et qui caractérise la contrainte de la situation (soit celle de rester sur la surface du support). Si est la norme de la force de contrainte, alors pour une des deux variables (notée, pour garder une généralité, q), on a :



Cela est intéressant pour toi, car tu connais et tu peux calculer le membre de droite. Tu obtiens donc une certaine connaissance de la contrainte f. Il est par contre dans ton cas plus approprié d'utiliser des coordonnées cartésiennes je pense. Néanmoins, étant donné les dérivées temporelles qui proviennent des équations d'E-L, le résultat peut-être difficile à résoudre.

[invite93e0873f]

Je comprends ton problème de la façon suivante : tu te demandes s'il existe une forme (ou une famille de formes) à donner à un support afin qu'un mobile ponctuel contraint de se déplacer sans friction sur ce support (et sous l'effet de la gravité seulement) subira une réaction constante du support. Si une telle famille de formes existe, pour une valeur donnée de la réaction, quelle est la forme qu'il faut?

Si ceci est bien le problème que tu cherches à résoudre, je pense que la réponse n'est pas unique du fait du manque de données connues de ton problème.

Déjà, via des considérations énergétiques, on a que et donc en particulier . Il y a bien sûr une infinité de couple qui satisfont cette relation. On peut donc penser que d'autres considérations réduiraient le nombre de solutions à ton problème.

Caractérisons la courbe du support (que doit suivre le mobile) comme une fonction . Cette fonction ne caractérise pas totalement la forme du support, mais seulement celle d'une portion du support. Au lieu de parler de la forme du support à présent, vu que le mobile effectue une trajectoire sur le support, je parlerai de la fonction y comme étant la courbe suivie par le mobile.

En reprenant les notations de mon message précédent et en introduisant la courbure du chemin suivi par le mobile, on peut montrer par application du formalisme newtonien (bref le 2e principe de la dynamique) que :



D'après ce que tu nous as dit, lorsque , (une valeur connue) et est verticale (soit ), ce qui signifie vu la relation précédente :

(techniquement la courbure n'est pas rigoureusement définie en ce point vu comment j'ai abordé le problème, mais ça s'arrange avec un peu de précisions que je peux abordé si tu veux).

Nous avons utilisé toutes les données que tu as données et nous sommes encore loin de connaître la fonction y(x), bien que nous ayons certaines connaissances sur ce qu'elle doit respecter.

[invite11926ea9]

Bonjour et merci Universus,

Je vais tenter de synthétiser tout ça et de reprendre par étape, il est important que je comprenne bien toute cette approche.

Dans un post prochain, je reprends ma démarche en coordonnées cartésiennes (pour les dérivées temporelles, j'aurais peut-être accès à un pc équipé de mathematica).

Merci et à bientôt.

[invite11926ea9]

Bonjour,

En fichier joint j'ai inclus ma réflexion en coordonnées cartésiennes (x(t), y(t) et f(x)).

Cependant :
1) dans le dernier post d'UNIVERSUS, je ne comprends pas qu'il existe une courbure au point d'ordonnée x3, puisque qu'en ce point la courbe est verticale?
2) dans le PDF que j'ai joint :
a) les considérations sur l'énergie mécanique (qui est cte => dEm/dt =0) me conduit à une solution pour f(x) (équation du mouvement) qui est une droite, ce qui n'est pas possible
b) en fin de document je parviens à une système d'équations faisant intervenir les dérivées partielles de f par rapport à x et y, et je dois bien avouer que mathématiquement, je ne sais pas aller plus loin
c) d'après laide précieuse donnée par UNIVERSUS, j'en déduis que le système étudié est holonome (dans le cas d'un déplacement d'une masse ponctuelle), pourquoi ne peut-on pas utiliser le formalisme Lagrangien :

[invite11926ea9]

mieux avec le fichier ....

[invite93e0873f]

Salut,

Pour répondre au point 1, imagine par exemple que ton support soit un cylindre. Clairement qu'il y a des points où le plan tangent au cylindre est vertical, i.e. pour tout système d'axe Oxyz, il y a toujours des endroits du cylindre où les plans tangents ont des vecteurs normaux n'ayant aucune composante selon l'axe z. Par ailleurs, la courbure du cylindre est définie partout. Néanmoins, en projetant un point P(x,y,z) du cylindre sur le plan Oxy et en mesurant la distance h entre le point et son image sur le plan, on ne peut obtenir une unique fonction (dont le domaine est la projection du cylindre sur Oxy) donnant la distance h associée au point P pour représenter tout le cylindre, car pour le même point (x,y) de Oxy correspond généralement deux points du cylindre.

Autrement dit, la fonction h ne nous permet de représenter qu'une portion du cylindre. Sur cette portion, on peut utiliser la fonction h pour calculer la courbure du cylindre, même si la fonction n'est plus à propos pour calculer la courbure en-dehors de cette portion. Par contre, si nous sommes intéressés à la courbure du cylindre sur le bord de la portion où nous pouvons utiliser h, on peut calculer la courbure à un point proche du bord de la portion, mais toujours à l'intérieur. En considérant des points de plus en plus proches du bord, on obtiendra à la limite la courbure au bord de la portion. C'est en ce sens que j'ai défini la courbure là où la courbe de ton problème devient verticale, par un processus de limite.

Pour information, en terme de la fonction f de nos précédents message, la courbure s'écrit . En mettant cela dans l'équation que j'ai donnée dans mon dernier message, l'équation différentielle à résoudre est plutôt moche...

Pour le 2a, ce n'est pas parce que les normes des (vecteurs associés aux) forces en jeu (force normale de réaction du support et force de gravité) sont constantes que les forces le sont elles. En procédant comme tu l'as fait, tu as aussi fixé une direction à la force normale et ainsi, sans considération énergétique, il est clair que ton support est plan.

Pour le 2c), comme je l'ai déjà mentionné un avantage en général du formalisme lagrangien est de permettre ne de pas se préoccuper des forces normales. Seulement, pour obtenir les équations du mouvement dans ce cas, il faut avoir une certaine connaissance des contraintes appliquées au mouvement du mobile, telle que la forme du support. Cela est néanmoins ce qui nous est inconnu et l'information que nous possédons pour tenter de la déterminer comprend la norme de la force de réaction, force que nous ne regardons justement pas dans le formalisme lagrangien habituel. Clairement alors que cette approche n'est pas pratique.

On peut utiliser une variante du formalisme lagrangien où on considère explicitement les forces de réactions. L'ennui est qu'on fait aussi appel à des dérivées temporelles qui complique en premier lieu le problème. Il est probablement possible d'avoir recours à des considérations énergétiques pour transformer certaines de ces dérivées temporelles en dérivées spatiales (utiles si on veut la forme du support), mais le résultat demeure fort probablement très peu maniable et il y a aussi des raisons de penser que ça ne redonnera que l'équation que j'aie donnée plus haut (après tout le formalisme lagrangien est une recette pour obtenir les équations du mouvement d'une situation physique, chose qu'on peut en principe aussi réussir à faire par l'approche newtonienne).

[invite24327a4e]

Bonjour,
Une contrainte holonome est une contrainte qui ne dépend pas des vitesses, ou autrement dit qui est invariante par changement de référentiel galiléen.
Tu comprends bien que ce n'est pas le cas des forces de frottements par exemple, qui sont en général représentatives de l'existence d'un référentiel particulier dans lequel elles sont nulles.