Demonstration du théoreme de Bell

[Murmure-du-vent]

Bonjour,
Ce théome est abondemment cité. Il est censé (prut etre à juste cause) invalider les variables locales.
On peut le lire en anglais ici.
https://hal.inria.fr/file/index/doci...198142C202.pdf

Les variables cachées sont regroupées sous le nom de
en deux endroits différents on on effectues des mesures pouvant avoir les valeurs +1 ou -1
d'un coté on mesure a et de l'autre b.
Les mesures effectuees vont permettre de calculer les probabilité P(a,b) et bien sur séparément P(a) et P(b)
La connaissance de etant censée permettre les resultats de mesures de chaque coté,
on s'intéresse à P(a,b,) P(a,) et P(b,)
On dira que ces variables sont locales si P(a,b,) = P(a,) * P(b,)
C est çà que Bell veut invalider
Pour cela il faut fabriquer à partie de cela qqchose qui soit contradictoire avec des resultats de mesure.
Il choisit l'expression (13) page 17. n'y apparait pas bien sur.
Pour cela il va lui falloir le faire disparaitre de son hypothese. Pour celà il ecrit (voir appendice 2) considerns la fonction de distribution f() de ces variables On a por chaque a,b si les variables sont locales

f est ici une fonction positive reelle
En insistant sur cette histoire de factorisation locale on nous vend ainsi le droit dutiliser
pour faire disparaitre les variables cachees.
On sais tres pien qu'en mecanique quantique les probabilités ne sont pas toujours des sommes de probabilité. on utilise soubent des amplitudes complexes qui vont faire que des choses vont s'annuler. Ici on n'ajoute que des nombres positifs.
Bref comme çà ne colle pas avec les resultats de meures on dit bye bye aux variables locales.
Je dirais plutot que ce qui a été exclu ce sont les variables locales ET le coup de l'intégrale.
Qu'en pensez vous?
-----

[Nicophil]

Voici le passage crucial (sans les formules) :

Now of course it would be no surprise to find that the two results
A and B are correlated, i.e., that P does not split into a product of
independent factors :


But we will argue that certain particular correlations, realizable according
to quantum mechanics, are locally inexplicable. They cannot be
explained, that is to say, without action at a distance.
To explain the "inexplicable" we explain "explicable". For example
the statistics of heart attacks in Lille and Lyons show strong correlations.
The probability of M cases in Lyons and N in Lille, on a randomly
chosen day, does not separate :


In fact when M is above average N also tends to be above average.
You might shrug your shoulders and say "coincidences happen all the time",
or "that's life". Such an attitude is indeed sometimes advocated
by otherwise serious people in the context of quantum philosophy. But
outside that peculiar context, such an attitude would be dismissed as
unscientific. The scientific attitude is that correlations cry out for
explanation. And of course in the given example explanations are soon
found. The weather is much the same in the two towns, and hot days are
bad for heart attacks. The day of the week is exactly the same in the
two towns, and Sundays are especially bad becanse of family quarrels
and too much to eat. And so on.

It seems reasonable to expect that if
sufficently many such causal factors can be identified and held fixed,
the residual fluctuations will be independent, i.e. :

where a and b are temperatures in Lyons and Lille respectively, X denotes
any number of other variables that might be relevant, and P(M,NI
a,b,h) is the conditional probability of M cases in Lyons and N in Lille
for given (a,b,X).

Note well that we already incorporate in (10) a hypothesis
of "local causality" or "no action at a distance". For we do
not allow the first factor to depend on a, nor the second on b. That is,
we do not admit the temperature in Lyons as a causal influence in Lille,
and vice versa.

Let us suppose then that the correlations between A and B in the
EPR experiment are likewise "locally explicable". That is to say we
suppose that there are variables X, which, if only we knew them, would
allow decoupling of the fluctuations :

We have to consider then some probability distribution f (X) over these
complementary variables, and it is for the averaged probability :

that we have quantum mechanical predictions.

Vient ensuite la démonstration elle-même :

But not just any function p(A,B/a,b) can be represented in the
form (12).

To see this it is useful to introduce the combination :
(13)

Then it is easy to show (Appendix 1) that if (12) holds, with however
many variables X and whatever distribution p(X), then follows the Clauser-Holt-Horne-Shimony inequality :
(14)

According to quantum mechanics, however, for example with some
practical approximation to the EPRB gedanken set-up, we can have approximately :
(15)

Taking for example :
We have :
(16)
(17)
This is in contradiction with (14).

[Murmure-du-vent]

J'ai pris le soin d'éviter l'enrobage pour m'en tenir aux seules formules du théoreme.
Pour voir les formules qui induisent la contradiction. et j'en trouve deux. Il me semble qu'on ne parle pas souvent de la deuxieme.

[Nicophil]

Zeh a caricaturé la posture de la MQ orthodoxe ainsi : “Better no reality at all than a nonlocal one.”

Je crois que c'est plutôt : “Better no explication at all than a nonlocal one.”
La MQ orthodoxe renonce à expliquer les phénomènes : elle se contente d'établir des prédictions statistiques.
En ce sens, c'est une théorie incomplète.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nicophil]

Notez bien qu'il ne s'agit pas d'un problème de maths. Il s'agit d'un problème conceptuel où il faut articuler correctement un jeu de concepts à la frontière de la science et de la logique :
localité, factorisabilité (séparabilité ?), indépendance, corrélation, cause

[Murmure-du-vent]

Non! c'est un théoreme avec des formules. Et l'une au moins d'entre elles ne collent pas avec la réalité. C'est çà que j'aimerais voir aprofondi ici.
Beaucoup de gens pensent à tort que les maths doivent etre difficile à suivre. C'est pourquoi dans le premier post j'ai exreait les deux formules centrales qui on le voit ne font pas peur.

[fregoli]

En français, il y a un article sympa sur le sujet:

https://cours.espci.fr/site.php?id=200&fileid=752

[Murmure-du-vent]

Je pense qu'en utilisant des esperances E(a), E(b) comme dans ce papier l égaluté implicite sur les sommes de probabilités que j'indiquais au début soit encore moins explicite.

[pelkin]

Mais qui donc a pu vous convaincre que les maths n'étaient pas probabilistes ?

[Nicophil]

En français, il y a un article sympa sur le sujet:

https://cours.espci.fr/site.php?id=200&fileid=752

Je connaissais cet article mais il me semble que la conclusion a changé :

En conclusion, l’expérience de Bell n’implique pas l’existence de véritables influences
non-locales, même si nous acceptons l’objectivité du monde microscopique. Elle implique
simplement que l’on peut modifier instantanément la corrélation de deux séquences aléatoires
d’événements survenus aux deux extrémités de la galaxie. Mais la corrélation de deux
ensembles d’événements très éloignés les uns des autres ne constitue pas un objet local et
l’information qu’elle peut contenir ne peut servir à contredire le principe de causalité locale.

[Matmat]

Murmure, la localité c'est une hypothèse dans le théorème de Bell , C'est l'expérimentateur qui invalidera ou pas les variables locales .

On dira que ces variables sont locales si P(a,b,) = P(a,) * P(b,)

Ce n'est pas la définition de la localité .

[invite02232301]

On sais tres pien qu'en mecanique quantique les probabilités ne sont pas toujours des sommes de probabilité. on utilise soubent des amplitudes complexes qui vont faire que des choses vont s'annuler. Ici on n'ajoute que des nombres positifs.

Heu... si, la densité de probabilité d'un état est toujours donnée par l'intégrale contre le module au carré de l'amplitude de probablité. Comment cela pourrait en etre autrement? C'est simplement le formalisme normal des probablités, ou si l'on veut le theoreme de Radon-Nikodym, n'importe quelle mesure de probablité (absolument continue pour la mesure de lebesgue) vérifie cela. Et si l'on s'autorise a avoir des mesures singulières, alors le theoreme des noyaux etend encore le cas de sorte que tout mesure de probablité s'ecrit comme ca.

Le fait que l'on ait des amplitudes de probablités complexes ne change rien au fait que les densités de probablités elles sont toujours réelles positives (presque partout).

Dans le cas des fentes d'young (monodimensionnelle), on a bien sur P(b<electron<a)=P(b<electron<c )+P(c<electron<a) (ou electron designe la position de l'impact avec l'ecran) pour tout a,b,c.

[Nicophil]

Mais qui donc a pu vous convaincre que les maths n'étaient pas probabilistes ?

Moi ? Ce que je veux dire, c'est que des concepts comme "localité" ou "influence causale" sont inconnus du mathématicien.

Or

Ce n'est pas la définition de la localité.

est l'enjeu primordial ici.

Murmure, la localité c'est une hypothèse dans le théorème de Bell, C'est l'expérimentateur qui invalidera ou pas les variables locales.

La conclusion de Bell, c'est que la violation des inégalités (ne) peut s'expliquer (que) par des paramètres supplémentaires lambda non locaux.
Bell adhérait à la théorie de Bohm, qui est une théorie (à variables cachées) non locale.

Mais RR oblige, il privilégiait une non-localité non supraluminique. Mais Aspect le premier a montré que la non-localité ne se heurte pas au mur de la vitesse de la lumière.

[Matmat]

des concepts comme "localité" ou "influence causale" sont inconnus du mathématicien.

Complétement d'accord et quand on distingue :

Les mathématiques ( la démonstration du théorème de Bell )
La physique théorique ( la notion physique de causalité locale doit/peut elle être traduite par la notion mathématique d'indépendance )
La physique expérimentale ( ce que Aspect a mesuré )
La métaphysique ( les convictions de Bell ).

la validité de la démonstration du théorème de Bell concerne les mathématiques uniquement , elle ne dépend pas des autres disciplines .

[Nicophil]

Ce théome est abondemment cité. Il est censé (peut etre à juste cause) invalider les variables locales.
Les variables cachées sont regroupées sous le nom de .

On dira que ces variables sont locales si P(a,b,) = P(a,) * P(b,)
C est ça que Bell veut invalider.

Bell pensait manifestement au vecteur d'état comme variable :

It is notable that in this argument nothing is said about the locality,
or even localizability, of the variable . These variables
could well include, for example, quantum mechanical state vectors,
which have no particular localization in ordinary space time.

A comparer à la façon dont Aspect présente ces variables :

Il est tentant d’utiliser une telle image classique pour rendre compte des corrélations EPR, en terme de propriété commune aux deux systèmes.
Nous sommes alors conduits à admettre qu’il existe une propriété (Einstein parlait d’« élément de réalité physique ») appartenant à cette paire avant les mesures, et déterminant le résultat ++.

Il faut remarquer ici que de telles propriétés, différentes d’une paire à l’autre, ne sont pas prises en compte par le vecteur d’état quantique, qui est le même pour toutes les paires. C’est pour cette raison, qu’Einstein en tira la conclusion que la Mécanique Quantique n’est pas complète. Et c’est pourquoi de telles propriétés supplémentaires sont désignées par le terme de « paramètres supplémentaires », ou encore « variables cachées ».
En conclusion, il semble possible de «comprendre» les corrélations EPR par une image de type classique, impliquant des paramètres supplémentaires différents d’une paire à l’autre. On peut espérer retrouver les prédictions statistiques de la mécanique quantique, lorsqu’on moyenne sur les paramètres supplémentaires. Il semble que telle était la position d’Einstein.

https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j...NeNynQKIMYCPPg

[Murmure-du-vent]

Heu... si, la densité de probabilité d'un état est toujours donnée par l'intégrale contre le module au carré de l'amplitude de probablité. Comment cela pourrait en etre autrement?.

Bonjour MiPaMa,
Je suis ravi de vous voir de passage ici.
Effectivement en MQ quand on a une probabilité on peut toujours l'exprimer comme une somme de sous probalilites comme vous l'écrivez en utilisant des vecteurs orthogonaux (par exemple les points sur l'ecran de Young)
En MQ quand on on a un projecteur P et une matrice densité on peut calculer la probabilité que se realise l'evenement lié au projecteur. On calcule pour cela la moyenne de P dans l'état C'est
Supposons maintenant que puisse s'écrire
avec des positifs et de somme egale à 1, Alors oui parlinéarité de la trace on aura

Si aux variables cachées correspondent des "sous" matrices densité , qui dit que la décomposition vérifie tous les criteres demandés plus haut en particulier que les coefficients soient positifs?
c'est pourtant ce qui est affirmé: dans "tous" les cas on ajoute les probabilités.
Cest le cas avec des melanges statistique du type à chaque fois une fente sur deux est bouchée pais pas quand les deux fentes sont ouvertes. C'est ultra basique mais c'est pourtant glissé ainsi dans la demonstration pas etonnant qu'on arrive à une inégalité parfois violée parfois pas. Parfois en effet tous les p sont positifs.
Ce qui apparait une demonstration logique impeccable de point de vue de la logique classique apparait tordu du point de vue de la logique quantique. De ce point de vue (mais j'ai pu me tromper) les variables locales ne sont pas réfutées (ni démontrées bien sur)
A vous lire.

[Nicophil]

En conclusion, il semble possible de «comprendre» les corrélations EPR par une image de type classique, impliquant des paramètres supplémentaires différents d’une paire à l’autre. On peut espérer retrouver les prédictions statistiques de la mécanique quantique, lorsqu’on moyenne sur les paramètres supplémentaires. Il semble que telle était la position d’Einstein.

Alors qu'Aspect aurait dû écrire :

En conclusion, il semble nécessaire d' «expliquer» les corrélations EPR par une image de type classique, impliquant des paramètres supplémentaires différents d’une paire à l’autre. On peut espérer retrouver les prédictions statistiques de la mécanique quantique, lorsqu’on moyenne sur les paramètres supplémentaires. Il semble que telle était la position de Bell.

Aspect écrit :

4. CONFLIT AVEC LA MECANIQUE QUANTIQUE
4.1. Mise en évidence

Cette prédiction de la mécanique quantique est clairement en conflit avec les inégalités de Bell (20) qui sont valables pour n’importe quelle Théorie à Paramètre Supplémentaire de la forme générale définie au §3.1. Nous avons donc trouvé une situation où les prédictions de la mécanique quantique ne peuvent pas être reproduites (simulées) par des Théories à Paramètres Supplémentaires. Ceci constitue l’essence du théorème de Bell : il est impossible de trouver une Théorie à Paramètres Supplémentaires, de la forme générale définie au § 3.1 qui reproduise toutes les prédictions de la mécanique quantique. Cette affirmation est la généralisation de ce que l’on voit sur la Figure 4 dans le cas particulier du modèle à paramètre supplémentaire présenté au § 3.2 : le modèle reproduit exactement les prédictions de la mécanique quantique pour certains angles (0, π/4 , π/2), mais il en diffère à d’autres angles. L’importance du théorème de Bell est qu’il n’est pas restreint à un modèle particulier mais qu’il est général.

C'est un contre-sens total !
Le théorème de Bell, c'est la démonstration de la nécessité de variables supplémentaires, à influence causale non locale, si on veut expliquer la violation des inégalités.

[chaverondier]

Le théorème de Bell, c'est la démonstration de la nécessité de variables supplémentaires, à influence causale non locale,

ou à influence locale mais rétrocausale du deuxième vecteur d'état de la formulation time symmetric de la physique quantique (Yakir Aharonov, Sandu Popescu, and Jeff Tollaksen, Physics Today 2 novembre 2010) à deux vecteurs d'état (Yakir Aharonov, Lev Vaidman, 10 juin 2007) cf. Can a Future Choice Affect a Past Measurement's Outcome? 6.Summary, (20 Juin 2015, Yakir Aharonov, Eliahu Cohen, Avshalom C. Elitzur)

si on veut expliquer la violation des inégalités

tout en conservant, cependant, une interprétation réaliste (Lev Vaidman, 8 janvier 1996) des propriétés physiques observées. Plus précisément, il s'agit de l'interprétation défendant l'hypothèse d'éléments de réalité chers à Einstein supposés manquer (dans la formulation standard de la physique quantique) à une description complète de la réalité physique.

Selon le point de vue de Aharonov et Vaidman. Ces propriétés cachées sont celles que révèlent (après post-sélection) les résultats de mesure faible. Ces résultats de mesure faible anticipent les résultats futurs inconnus de mesures fortes ultérieures. Bref, la "variable" cachée d'Einstein est, selon Aharonov et Vaidman, cachée dans le futur, dans le deuxième vecteur d'état évoluant à rebrousse-temps et agissant rétrocausalement sur les mesures faibles.

Ce ne sont alors ni l'interprétation réaliste du (bi)vecteur d'état, ni l'invariance de Lorentz qui sont remises en cause par la violation des inégalités de Bell. Ce qui est remis en cause (dans l'interprétation time-symmetric de la physique quantique) c'est l'hypothèse selon laquelle principe de causalité et écoulement irréversible du temps seraient indépendants de la notion intersubjective d'entropie modélisant les limitations d'accès à l'information de l'observateur macroscopique.

Au contraire, pour A. Connes, C. Rovelli et P. Martinetti, l'écoulement irréversible du temps, et donc le principe de causalité qui lui est associé, sont une émergence de nature thermodynamique statistique, indissociablement liée aux limitations d'accès à l'information d'une famille d'observateurs. L'hypothèse du temps thermique et l'interprétation time-symmetric de la physique quantique permettent donc de réconcilier la violation des inégalités de Bell avec une interprétation réaliste du (bi)vecteur d'état, avec l'invariance de Lorentz et (bien sûr) avec la symétrie T au prix d'une interprétation thermodynamique statistique (et non fondamentale) de l'écoulement irréversible du temps et du principe de causalité.

[Murmure-du-vent]

Pouriez vous recentrer votre débat sur la démonstration du théoreme?
Dans le post 11 Marmat répond que la formule que j'ai indiquér ne correspond pas à la notion de localité de Bell
Quelle est la formule utilisée par Bell impliquant qu'une variable est locale?
A quoi servirait d'en parler sans les definir mathematiquement?

[chaverondier]

Si aux variables cachées correspondent des "sous" matrices densité , qui dit que la décomposition vérifie tous les critères demandés plus haut en particulier que les coefficients soient positifs?

Le principe de causalité. Des probabilités négatives correspondent à des évolutions à rebrousse-temps (cf le paradoxe des 3 boîtes).

De ce point de vue (mais j'ai pu me tromper) les variables locales ne sont pas réfutées (ni démontrées bien sur).

C'est exact pour les raisons déjà données, cf. le deuxième vecteur d'état évoluant à rebrousse-temps. Ce qui est réfuté par la violation des inégalités de Bell, ce sont des variables locales ET respectueuses du principe de causalité.

[Murmure-du-vent]

Bonjour Chaverondier
Si j'ai des matrices densité et que j'en forme une combinaison linéaire avec des coefficients
obtenant ainsi une matrice densité
les c doivent ils etre positifs?
Effectivement si je les nomme p comme Bell je sous entend que ce sont des probabilité et on va me repodre qu'une probabilité se doit d'etre positive.

[Murmure-du-vent]

L'hypothese cachée (et fausse) de Bell est que tout etat physique (une matrice densité) est une moyenne pondérée par des "masses" positives <= 1
des matrices densité associées aux variables cachées. C'est cette hypothèse PLUS le coté local de ces variables qui est infirm" par les expériences d'Aspect.

[Nicophil]

Quelle est la formule utilisée par Bell impliquant qu'une variable est locale ?

Bell :
Le nombre de cas mesuré à Lille ne dépend pas de la température qu'il fait à Lyons : la température est une variable locale.

Aspect, p.13 :

Finalement, une troisième hypothèse implicite a été faite, comme l’a soulignée J. Bell dans tous ses articles : il s’agit de l’hypothèse de localité. Remarquons en effet que, dans le formalisme de la partie 3.1, nous avons supposé implicitement que le résultat A(λ,a) de la mesure par le polariseur I ne dépend pas de l’orientation b du polariseur éloigné II, et vice-versa.
Cette condition de localité est cruciale : les inégalités de Bell ne s’appliqueraient pas à un formalisme ne la respectant pas.

Si localité de la variable, indépendance.
Si dépendance, non-localité de la variable.

[chaverondier]

Une probabilité se doit d'être positive...

... Or (comme détaillé dans les références de mes deux précédents messages) ce n'est pas le cas des probabilités dites faibles intervenant dans la formulation time symmetric de la physique quantique, cf. le paradoxes des 3 boîtes.

Les variables cachées du théorème de Bell peuvent effectivement violer les inégalités de Bell ET êtres locales SI toutefois les probabilités peuvent être négatives. On peut donc avoir variables cachées locales si on considère la possibilité de probabilités négatives, signe négatif associé à une interprétation rétrocausale de l'effet EPR. cf. Can a Future Choice Affect a Past Measurement's Outcome?

[Murmure-du-vent]

Et par rapport à la formule que j'avais indiquée et que n'accepte pas matmat?

[Murmure-du-vent]

... Or (comme détaillé dans les références de mes deux précédents messages) ce n'est pas le cas des probabilités dites faibles intervenant dans la formulation time symmetric de la physique quantique, cf. le paradoxes des 3 boîtes.

Les variables cachées du théorème de Bell peuvent effectivement violer les inégalités de Bell ET êtres locales SI toutefois les probabilités peuvent être négatives. On peut donc avoir variables cachées locales si on considère la possibilité de probabilités négatives, signe négatif associé à une interprétation rétrocausale de l'effet EPR. cf. Can a Future Choice Affect a Past Measurement's Outcome?

Bell ecrit bien comme hypothese que ses p sont positifs.
que

[chaverondier]

Bell ecrit bien comme hypothese que ses p sont positifs.

Ce qui signifie qu'il a bien démontré, via la violation des inégalités de Bell, l'impossibilité de variables cachées qui soient à la fois locales ET (implicitement, via l'hypothèse de probabilités positives) respectueuses du principe de causalité. Comme vous le faites remarquer, malgré la violation des inégalités de Bell, l'hypothèse de variables cachées locales est possible dans le cadre d'une interprétation rétrocausale de l'effet EPR (autorisant des probabilités, dites faibles, négatives).

[Matmat]

Et par rapport à la formule que j'avais indiquée et que n'accepte pas matmat?

La localité a une définition physique et vous faites comme si elle avait une définition mathématique ...
Ce que Bell traduit en variables indépendantes ( qui a un sens mathématique ) n'est pas la localité mais la conjonction d'une certaine idée de la causalité et d'une certaine idée de la localité . D'autres part il ne faut pas oublier que la physique n'a pas fixé dans le marbres tous ses concepts dans les années 60 et heureusement .
Vous ne pouvez pas invoquer des raisons qui ne sont extra-mathématiques pour essayer de trouver une erreur dans une démonstration d'un théorème .
S'il y a une chose dont on est sur dans le théorème de Bell , c'est bien la démonstration mathématique justement , on est sur que si on part des hypothèses qu'il dit alors on aboutit aux inégalités qu'il dit .
Si vraiment vous voulez contester la démonstration alors faites comme si vous vous adressez à un mathématicien pur n'y connaissant absolument rien à la physique du XXème siècle , si cette attitude vous parait absurde concernant le théorème de Bell , c'est que vous n'avez pas encore bien distingué la différence entre les mathématiques et la physique dans le discours de Bell .

[Murmure-du-vent]

Je n'aurais aucune confiance en une notion physique qui ne pourrait s'exprimer par une loi, par une formule.
En physique on mesure des choses et on voit si les resultats verifient telle ou telle loi.
La localité ce nn'est pas que des mots dans le Larousse.

[stefjm]

La localité a une définition physique et vous faites comme si elle avait une définition mathématique ... [...]

La localité doit bien avoir une traduction mathématique dans les différentes modélisations possibles, tout comme la causalité.