bispineur de Dirac et gravitation

[chaverondier]

En essayant de me représenter physiquement un bispineur de Dirac, j'ai remarqué (ou cru remarquer) un certain nombre de choses amusantes. Peut-être sont elles bien connues ou encore considérées comme sans intérêt pratique. Je n'en sais rien.

En espérant ne pas dire trop de bêtises, un bispineur de Dirac vit (il me semble) dans un espace de représentation de dimension finie du groupe de Lorentz (représentation non unitaire d’ailleurs puisque le groupe de Lorentz n’est pas compact). Comme le champ électronique est représenté par un champ de bispineurs de Dirac, voilà qui permet de le voir (je suppose encore)

1/ mathématiquement : comme un champ de jauge, de groupe de jauge SU(2)xSU(2), c'est à dire comme une section du fibré principal de base l'espace-temps de Minkowski et de fibre SU(2)xSU(2). Via la représentation canonique du groupe de Lorentz dans SU(2)xSU(2), on peut donc associer au champ électronique (je suppose toujours) une section du fibré principal de base l'espace-temps de Minkowski et de fibre le groupe de Lorentz (ce fibré est isomorphe au groupe de Poincaré d'ailleurs).

2/ Physiquement : on peut donc voir un champ électronique comme la donnée d'un boost de vitesse v et d'un moment cinétique J en chaque évènement de l'espace-temps, c'est à dire encore comme la donnée d'un champ de vitesses v et de moments cinétiques J. Voilà qui permet de voir un champ électronique comme une sorte de champ de vitesses et de moments cinétiques de particules élémentaires (ou de vortex élémentaires) d'une sorte de fluide.

Maintenant, si on s'intéresse à la gravitation dans l'espace-temps modélisée par une variété pseudo-Riemanienne, le champ gravitationnel se représente par la connexion affine de Weyl (ie, numériquement, le champ des symboles de Christoffel). Il s'agit en fait (je suppose) d'une connexion dans un fibré principal dont le groupe de structure est le groupe de Lorentz (et dont la base est l'espace-temps). C'est donc (à une invariance de jauge près) une section de ce fibré. Elle permet donc (je suppose encore) d'associer un élément du groupe de Lorentz à chaque événement de l'espace temps.

Le champ gravitationnel apparaît donc lui aussi (me semble-t-il) comme très voisin de la donnée d'un champ de vitesses et de moments cinétiques de particules élémentaires d'une sorte de fluide. Ca surprend un peu de constater que deux notions en apparence aussi distinctes qu'un champ électronique et un champ gravitationnel puissent avoir (semble-t-il) une représentation mathématique et une analogie physique aussi proche.

Dans le cas d'un corps à symétrie sphérique, je suppose que le champ de vitesses ainsi associé à la connexion affine modélisant la gravitation autour de ce corps est le champ de vitesses des observateurs de Lemaître (les observateur en chute libre radiale lâchés loin de ce corps avec une vitesse initiale voisine de zéro) et que le champ des moments cinétiques associé à cette connexion est nul ?

Une autre remarque amusante est la suivante : quand on souhaite marier l'interprétation explicitement non locale de la mesure quantique avec le principe de causalité (en violation de l’invariance de Lorentz si on interprète cette invariance comme un principe fondamental et non comme une émergence statistique), on tombe sur la nécessité que l'espace-temps possède un feuilletage intégral en feuillets de simultanéité quantique universelle.

Cette condition exige, il me semble, d'avoir un champ de vecteurs temps irrotationnel (champ des vecteurs unitaires tangents aux feuillets d'un feuilletage de l'espace-temps par une famille d'observateurs en chute libre). Selon certains, un champ de vecteurs température (unité physique en 1/Kelvin et non en Kelvin), gradient de la densité d’entropie par la densité de quadri-impulsion (il me semble) donnerait la flèche du temps en chaque évènement de l'espace-temps.

Il est alors tentant d'interpréter le présent quantique universel associé à un tel feuilletage supposé de l’espace-temps comme une sorte d’état d'équilibre de l'ensemble de l'univers atteint à l'insu de l'observateur (donc en un temps macroscopique observable nul). La dissipation d'information nécessaire à l'enregistrement irréversible d'information par un appareil de mesure quantique s'obtiendrait-elle par le stockage de cette information dans un champ de vecteurs température presque complètement désordonné à l'échelle microscopique (mais possédant une moyenne macroscopique pas tout à fait nulle et irrotationnelle) jouant le rôle de bain thermique dissipatif ?

Bon, Il ne s'agit nullement d'une théorie (je n'en ai pas en rayon), mais juste d'un certain nombre de questions qui m'intriguent et que je vous soumets.

Bernard Chaverondier
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[invitefa5fd80c]

En essayant de me représenter physiquement un bispineur de Dirac, j'ai remarqué (ou cru remarquer) un certain nombre de choses amusantes. Peut-être sont elles bien connues ou encore considérées comme sans intérêt pratique. Je n'en sais rien.

Ne t'en fais pas avec çà, moi non plus je n'en sais rien
Bon, d'accord

[chaverondier]

En essayant de me représenter physiquement un bispineur de Dirac, j'ai remarqué (ou cru remarquer) un certain nombre de choses amusantes. Peut-être sont elles bien connues ou considérées comme sans intérêt pratique

ou encore ces remarques sont fausses. Pour l'instant, je n'en sais rien.

En espérant ne pas dire trop de bêtises, un bispineur de Dirac vit (il me semble) dans un espace de représentation de dimension finie du groupe de Lorentz (représentation non unitaire d’ailleurs puisque le groupe de Lorentz n’est pas compact). Comme le champ électronique est représenté par un champ de bispineurs de Dirac, voilà qui permet de le voir (je suppose encore)

1/ mathématiquement : comme un champ de jauge, de groupe de jauge SU(2)xSU(2), c'est à dire comme une section du fibré principal de base l'espace-temps de Minkowski et de fibre SU(2)xSU(2). Via la représentation canonique du groupe de Lorentz dans SU(2)xSU(2), on peut donc associer au champ électronique (je suppose toujours) une section du fibré principal de base l'espace-temps de Minkowski et de fibre le groupe de Lorentz (ce fibré est isomorphe au groupe de Poincaré d'ailleurs).

2/ Physiquement : on peut donc voir

Je suppose encore, mais je n'en suis pas sûr du tout non plus

un champ électronique comme la donnée d'un boost de vitesse v et d'un moment cinétique J en chaque évènement de l'espace-temps, c'est à dire encore comme la donnée d'un champ de vitesses v et de moments cinétiques J.

Les mêmes réserves s'appliquent à tout ce qui suit dans mon post initial (il s'agit de questions). Si c'est faux, j'aimerais toutefois savoir s'il est possible de trouver une analogie correcte qui serait un peu dans cet esprit. Peut-être que d'ici quelques jours (ou quelques semaines) je pourrai corriger et/ou compléter ce que j'ai écrit complètement au pif (si les réponses apportées à ce fil n'y suffisent pas tout à fait).

Bernard Chaverondier

[mariposa]

En essayant de me représenter physiquement un bispineur de Dirac, j'ai remarqué (ou cru remarquer) un certain nombre de choses amusantes. Peut-être sont elles bien connues ou encore considérées comme sans intérêt pratique. Je n'en sais rien.

En espérant ne pas dire trop de bêtises, un bispineur de Dirac vit (il me semble) dans un espace de représentation de dimension finie du groupe de Lorentz (représentation non unitaire d’ailleurs puisque le groupe de Lorentz n’est pas compact). Comme le champ électronique est représenté par un champ de bispineurs de Dirac, voilà qui permet de le voir (je suppose encore)

1/ mathématiquement : comme un champ de jauge, de groupe de jauge SU(2)xSU(2), c'est à dire comme une section du fibré principal de base l'espace-temps de Minkowski et de fibre SU(2)xSU(2). Via la représentation canonique du groupe de Lorentz dans SU(2)xSU(2), on peut donc associer au champ électronique (je suppose toujours) une section du fibré principal de base l'espace-temps de Minkowski et de fibre le groupe de Lorentz (ce fibré est isomorphe au groupe de Poincaré d'ailleurs)

.Un bispineur de Dirac est la solution de l'equation de Dirac. Comme l'equation de Dirac est construite invariante de Lorentz le premier réflexe serait de dire que la solution est un quadrivecteurs de Lorentz (covariant ou contravariant).
.
Ce serait une erreur mathématique car les solutions d'une équation différentielle ne possèdent pas en géneral
les mêmes propriétés invariantes que l'équation de départ.
;
il faut donc étudier comment se comporte les solutions dans une transformation de Lorentz. Cela revient à expliciter les générateurs des transformations (parce que le groupe est continu).
.
La réponse est que vis à vis rotations pures les matrices des générateurs possèdent une composante diagonale par blocs ou chaque bloc est la même matrice de Pauli.
Cela signifie que le quadrivecteur est fait de 2 morceaux. Chaque morceau engendre les representation de SU(2) de dimension 2. pour cette raison on dit que c'est un bispineur. Des conditions externes en termes d'énergie montrent que ces 2 morceaux representent 2 particules conjugées de charges (par exemple électron et positon).
.
bien entendu tout ceci n'a rien à voir avec toute considération de transformation de jauge et donc de connexion sur un fibré..

[A voir en vidéo sur Futura]

[Floris]

Bonjour, je me permet de poser cette question très modestement, mais qu'apelez vous un champ de vitesse? Faites vous références à un tenseur ou quelque chose du genre?

merci bien
Flo

[chaverondier]

Qu'appelez vous un champ de vitesses ?

Un champ de vecteurs vitesse (un vecteur en chaque point de l'espace ou un quadri-vecteur en chaque point de l'espace-temps).

Bernard Chaverondier

[Floris]

Bonc cela resemble à un tenseur si je n'mabuse?
merci bien

[chaverondier]

Bonc cela ressemble à un tenseur si je ne m'abuse?

Ma foi, un vecteur est effectivement un tenseur d'ordre 1.

[invite6de5f0ac]

Bonjour, je me permet de poser cette question très modestement, mais qu'apelez vous un champ de vitesse? Faites vous références à un tenseur ou quelque chose du genre?

merci bien
Flo

Bonjour,

Tant qu'à ajouter à la confusion...

Un champ de vitesse est une section du fibré tangent à l'espace des mouvements, qui est doté d'une structure naturelle de variété symplectique. En identifiant le crochet de Lie (i.e. la dérivée directionnelle,) au crochet de Poisson, on arrive aux équations du mouvement Lorentz-invariantes.

J'espère que j'ai été assez obscur?

-- françois

[Floris]

LoL on peut dire que tu na pas raté ton coup françois Cela dit, puisque l'on établit un vecteur en chaque points de l'espace temps, cela ressemble à un tenseur non? Enfin je confond peut étre. Une question que je me pose, à propos de la RG, cert à ma conaissance c'est la symétrie de la source du champ qui définit en partie la forme du tenseur, néamoin, j'imagine qu'il y à une fonction qui décris la courbure en fonction de la distance par rapport à la surce?

De plus à propos de cette dernière question, une autre question qui me perturbe, c'est que si j'imagine deux expérience de pensée. -Un observateur distant d'un point A dans un espace temps plat, alors la mesure des distances est usuelle enfin si je peut dire sa comme sa.

Mais maintenant un autre observateur du même type, distant d'un point B don't ce dernier est source d'un champ gravitationel, donc un espace courbé. Comment dans ce derniers cas, je peut prendre conaissance de la distance qui nous sépare vu qu'il me semble que l'on décrit l'évolution de la courbure avec la distance!!! Enfin en gros ma question est de savoir comment esque l'on décris l'évolution de la courbure quoi? Enfin c'est le comentaire presque insaisisable (à mon niveau) de françois qui ma fais poser cette question.

J'aispaire que j'ai été claire

Merci bien
Flo

[invite6de5f0ac]

Enfin en gros ma question est de savoir comment esque l'on décris l'évolution de la courbure quoi? Enfin c'est le comentaire presque insaisisable (à mon niveau) de françois qui ma fais poser cette question.

Bonjour,

C'était fait exprès... Ce qui te tracasse, ça s'appelle les coefficcients de Christoffel, ou la connexion de Lévi-Cività. Là je dois sortir faire des courses avant que ça ferme, mais je reprendrai le fil ce soir pour essayer de trouver une explication pas trop fumeuse.
Cela dit, ta question est excellente: c'est en se posant ce genre de problèmes que le jeune Albert E. n'a pas eu le prix Nobel! (enfin si, il l'a eu, mais pas pour ça).

-- françois

[chaverondier]

Un champ de vitesse est une section du fibré tangent à l'espace des mouvements, qui est doté ...

Ouais, bon d'accord. M'enfin, un champ de vitesses, quand je regarde l'eau s'écouler au fond de ma baignoire, j'en vois un. Un champ de blé j'en ai vu aussi, mais un champ de bispineurs de Dirac...Hum! C'est plus dur à trouver.

Quand on lit ce qui se dit sur la façon d'obtenir l'équation de Dirac, on nous donne comme point de départ, le souhait de trouver une équation du mouvement invariante de Lorentz. On considère donc l'opérateur Hamiltonien de l'électron bâti grâce à la correspondance de l'Hamiltonien relativiste de l'électron avec sa masse et son impulsion. Toutefois, pour ne pas avoir de racine dans ce qui remplace l'équation de Schrödinger, on élève cette équation au carré.

Hélas, se faisant on tombe sur l'équation de Klein Gordon du deuxième ordre. Là Dirac nous dit qu'il tient coûte que coûte à avoir une équation du premier ordre pour que l'évolution puisse dépendre uniquement de l'état initial. Une équation du deuxième ordre ça ne lui plait pas du tout. Il cherche donc une solution algébrique pour mettre l'équation d'évolution de Klein Gordon du deuxième ordre sous la forme d'un carré parfait d'équations d'évolution du premier ordre. Par un calcul algébrique, il trouve que ça marche à condition d'introduire des matrices 4x4 : les matrices de Dirac.

Pas troublé pour 2 sous, il poursuit donc avec une équation d'évolution qui fait apparaître 4 champs complexes. En s'intéressant aux solutions stationnaires de l'équations de Schrödinger (avec Hamiltonien relativiste), on trouve
* un espace propre de l'Hamiltonien de Dirac (de dimension deux) d'énergie positive
* un espace propre de l'Hamiltonien de Dirac (de dimension deux aussi) d'énergie négative.

Là, on nous dit que les quatres champs complexes de l'équation de Dirac se regroupent donc par deux.
* le premier couple de champs représente un spineur donnant l'amplitude de probabilité d'un électron (énergie positive)
* le deuxième couple de champs forme un spineur qui représente l'amplitude de probabilité d'un anti-électron (énergie négative)

On était pourtant parti pour représenter l'équation d'évolution d'un élecron et à la fin, faisant confiance à Dirac (on a quand même quelques bonnes raisons de le faire), on se retrouve avec deux électrons dont l'un d'énergie négative (ou qui remonte le temps, on ne sait pas trop). D'où il sort-il ce deuxième électron ? On ne lui avait rien demandé à celui-là ?

Là dessus, on nous dit
* que ça ressemble aussi à une sorte de marche au hasard à vitesse c avec des sortes d'allers-retour temporels,
* que ça explique le zitterbewegung de l'électron et sa fréquence Broglienne d'agitation
* que l'équation de Dirac se comprendrait bien mieux dans le contexte des algèbres de Clifford comme présenté par David Hestenes (Urs Schreiber de fr.sci.physique est un fan de ce point de vue. Il dit qu'on comprend bien mieux l'interprétation physique de l'équation de Dirac dans ce cadre).

On constate aussi que l'équation de Dirac marche bien
* pour prédire le moment magnétique de l'électron,
* pour prédire la structure fine du spectre atomique
* qu'elle explique aussi le spin de l'électron. Bon...

Il n'y aurait pas moyen, en tirant au besoin parti de tout ce qu'on a découvert après coup
* de mieux justifier physiquement la méthode d'obtention de cette équation ?
* de mieux expliquer d'où sort cet anti-électron ?
* d'expliquer aussi comment ça se relie (si c'est bien le cas) au zitterbewegung et à une sorte de marche au hazard à vitesse c dans l'espace-temps ?

Bernard Chaverondier

[invite09c180f9]

LoL on peut dire que tu na pas raté ton coup françois Cela dit, puisque l'on établit un vecteur en chaque points de l'espace temps, cela ressemble à un tenseur non? Enfin je confond peut étre.

En effet, comme te le dit Chaverondier, un vecteur est un tenseur d'ordre 1, donc ton affirmation n'est pas fausse...

[Lévesque]

Il n'y aurait pas moyen, en tirant au besoin parti de tout ce qu'on a découvert après coup
* de mieux justifier physiquement la méthode d'obtention de cette équation ?
* de mieux expliquer d'où sort cet anti-électron ?
* d'expliquer aussi comment ça se relie (si c'est bien le cas) au zitterbewegung et à une sorte de marche au hazard à vitesse c dans l'espace-temps ?

Au sujet du zitterbewegung, regarde dans Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, Springer (2000).

Pour le reste, il ne faut pas oublier qu'un groupe de Lie est un groupe qui est aussi un variété différentiable. Sa structure différentiable est compatible avec la structure du groupe, c'est-à-dire que l'opération GxG->G par (x,y)->xy^(-1) est une application différentiable.

Sachant qu'un groupe de Lie (par exemple le groupe de Lorentz) est une variété différentiable, tout comme l'espace-temps de la RG, il est normal de retrouver beaucoup de liens mathématiques entre les deux. (on défini facilement dans les deux cas des champs de vecteurs, de tenseurs...).

En ce qui concerne le champ de Dirac, c'est la façon la plus simple d'obtenir un champ qui représente une transformation de Lorentz ET de la parité.
Je pense que le plus simple, c'est de faire une liste des représentations possible des groupes qu'on aime bien (chaque représentation pourrait éventuellement être associée à un objet dans la nature). Ensuite, on construit des théories en regroupant des objets, au hasard (mais en essayant de respecter certain principes), sous forme de Lagrangien. Par exemple le Lagrangien de Dirac est construit à partir d'un spineur droit et un gauche de Weyl, avec lesquels on construit des scalaires de Lorentz. En combinant ces scalaires pour obtenir une expression qui est invariante sous la trans. de parité, on trouve le Lagrangien de Dirac. L'équation de Dirac en découle des équations d'Euler-Lagrange.

Salutations,

Simon

[mariposa]

On constate aussi que l'équation de Dirac marche bien
* pour prédire le moment magnétique de l'électron,
* pour prédire la structure fine du spectre atomique
* qu'elle explique aussi le spin de l'électron. Bon...

Il n'y aurait pas moyen, en tirant au besoin parti de tout ce qu'on a découvert après coup
* de mieux justifier physiquement la méthode d'obtention de cette équation ?
* de mieux expliquer d'où sort cet anti-électron ?
* d'expliquer aussi comment ça se relie (si c'est bien le cas) au zitterbewegung et à une sorte de marche au hazard à vitesse c dans l'espace-temps ?

Bernard Chaverondier

Bonjour Bernard, je pensais avoir répondu à l'explication de ce qu'est un bi-spineur ce qui suppose effectivement la compréhension du mode d'établissement de l'équation de Dirac. Je reviens donc sur l'établissement de l'équation de Dirac.
.
Beaucoup de livres reprennent la démonstration originale de Dirac et c'est la raison pourlaquelle les choses ne sont pas bien comprises. il y a beaucoup plus simple.
.
1- la question

Il s'agit de fabriquer une équation de Shrodinger pour l'électron qui prenne en compte la relativité restreinte.
.
Ca veut dire écrire une équation O (x,t).Fi (t,x) = M.Fi (t,x)

ou x represente les 3 coordonnées spatiales. O est un opérateur

On veut que cette équation soit identique après toute transformation de Lorentz ( equation invariante sous SO(3,1)).

2- le premier réflexe.

Comme on doit introduire la dérivée partielle par rapport au temps dans l'opérateur (car il s'agit d'écrire une équation d'évolution) on est obligé de prendre les dérivées spatiales sur le même pied. En effet l'ensemble des ' dérivées forme un vecteur à 4 dimensions qui se transforment comme les changements de coordonnées.

Nota: par la suite je ne préciserais pas si les vecteurs sont covariants ou contravariants car cela ne joue aucun role dans la compréhension de l'établissement de l'équation de Dirac.

On a donc comme opérateur un vecteur colonne. Et là catastrophe car au second membre on a le scalaire M. On ne pas mélanger des scalaires et des quadivecteurs de Lorentz (la forme ne serait pas conservée par changement de base)

3- remède à la catastrophe.

L'idée est de former un produit scalaire de Lorentz à partir du vecteur colonne. On pourrait multiplier le vecteur par lui-même, mais là c'est une mauvaise idée car on obtiendrait une double dérivation par rapport au temps ce qui n'est pas une équation de Schrodinger.
Il faut donc multiplier scalaire le vecteur par un vecteur composé de 4 "nombres" qui se transforment comme un scalaire de lorentz!!!!.
.
Et bien la solution simple il suffit de prendre un jeu 4 matrices de dimension quelconque (par exemple 17) qui se transforment comme un quadrivecteur de Lorentz. Et là le tour est joué, notre équation est toalement invariante de lorentz;

4-Drôle de conséquences!!!

En effet une matrice de dimension 17 ne peut s'appliquer qu'a 1 vecteur colonne de dimansion 17. Autrement dit la fonction d'onde est un vecteur à 17 composantes cad qu'il y a en fait 17 fonctions d'ondes. En voulant écrire une équation de Schrodinger invariante relativiste on a été contraint à trouver 17 équations de Shrodinger couplées (en effet les matrices de dimension 17 ne sont pas apriori diagonales).

5- Un peu de simplicité.

Il n'y a aucune raison de prendre la dimension 17. Le plus raisonnable est de prendre la dimension 4. On a ainsi un cecteur colonne qui comprend 4 composantes de FI.
.
6- comment déterminé les matrices.
.
Cette question est secondaire pour la compréhension. toutefois on montre qu'elles obéissent à une structure d'algébre que l'on appelle algébre de Clifford dont la compréhension est enraciné dans la théorie des groupes.
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[Floris]

Bonjour,

C'était fait exprès... Ce qui te tracasse, ça s'appelle les coefficcients de Christoffel, ou la connexion de Lévi-Cività. Là je dois sortir faire des courses avant que ça ferme, mais je reprendrai le fil ce soir pour essayer de trouver une explication pas trop fumeuse.
Cela dit, ta question est excellente: c'est en se posant ce genre de problèmes que le jeune Albert E. n'a pas eu le prix Nobel! (enfin si, il l'a eu, mais pas pour ça).

-- françois

Si quelqu'un peut m'en dire plus à ce sujet je suis demandeur. Aussi, si ma chompréhension des choses est corecte, l'équation de Dirac est une équation d'onde non? Si je n'mabuse, un peut comme l'équation d'onde clasique quoi, non? on définit en touts points de l'espace des propriétées ou quelque chose comme sa non?
merci
Flo

[mariposa]

Si quelqu'un peut m'en dire plus à ce sujet je suis demandeur. Aussi, si ma chompréhension des choses est corecte, l'équation de Dirac est une équation d'onde non? Si je n'mabuse, un peut comme l'équation d'onde clasique quoi, non? on définit en touts points de l'espace des propriétées ou quelque chose comme sa non?
merci
Flo

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Comme expliqué dans mon post précédent l'équation de dirac c'est en fait 4 équations différentielles linéaires couplées.Si tu veux cela fait 4 équations de Shrodinger à la fois

[mtheory]

Bonjour,les bispineurs de Dirac sont en fait étroitement liés aux quaternions.
On sait que pour produire la racine carré d'un vecteur dans le plan on peut introduire les nombres complexes.L'idée de Hamilton est de voir si l'on ne pourrait pas introduire une généralisation des nombres complexes dans l'espace.
On trouve que cela n'est vraiment possible qu'avec une généralisation quadridimentionnelle des nombres complexes ,les quaternions.
On a alors q=x₀1+x₁i+x₂j+x₃k
et
q^*=x₀1-x₁i-x₂j-x₃k et i²=j²=k²=-1

Enfin qq^*=x₀²+x₁²+x₂²+x₀³.

Ceci est généralisable de différentes façons ,avec le nombres de dimensions et la signature!
C'est le début des algèbres/nombres hypercomplexes.
Le point important est qu'un quaternion peut se mettre sous la forme de DEUX NOMBRES COMPLEXES.

q=₀1+x₁i+(x₂+x₃i)j étant donné que ij=k.
Maintenant pour l'espace-temps on voudrait bien une généralisation des quaternions qui donne le caré d'un quadrivecteur et donc avec un signature -+++ et pas ++++.
Les spineurs,qui s'écrivent comme un couple de deux nombres complexes en représentation de Weyl c'est tout simplement ça,cela permet de prendre des racines carrées de quadrivecteurs.
Les spineurs sont en 4d relativistes ce que les nombres complexes sont en 2d euclidiens.
L'équation de Dirac est donc l'analogue étroit d'un gradient d'espace-temps appliqué à la construction de l'équation avec eikonal pour l'optique géométrique/ondulatoire.
Par extension les calculs avec des spineurs en 4d donnent trés naturellement des renseignement sur la topologie des variétés tout comme les nombres complexes en donnent sur la topologie des surfaces de Riemann.
En fait les spineurs sont liés trés étroitement à une base de quadrivecteurs de carrés zéro,les tétrades nulles,et orthogonaux.
Tout comme l'analyse complexe simplifie les calculs en physique/mathématique classique,les spineurs en liaisons étroites avec les rayons lumineux sont des objets trés puissants pour les calculs en relativité générale et en théorie de jauge.
Mieux, comme on a ainsi une liaison profonde entre l'espace-temps et les nombres complexes ,on peut espérer trouver une connexion naturelle avec la MQ tout comme Hamilton avait trouvé une connexion entre les rayons lumineux et la mécanique des points matériels en adoptant des variables appropriées dans le bon espace de configuration.
Voila pourquoi Penrose ,en notant le lien entre spin en MQ et les nombres complexes et les spineurs pour les tenseurs en RG, espère pouvoir batir un pont entre espace-temps et MQ.
Je rappelle que pour un fermion de masse nulle la quadrivecteur impulsion est colinéaire avec son vecteur de spin(si je ne me trompe pas).
C'est aussi le début d'un lien avec les réseaux de spins.

[mtheory]

Localement une modification d'une trajectoire correspond à une courbure de cette trajectoire dans l'espace-temps.
La relation entre rotation et définition d'une force est ainsi beaucoup plus profonde en espace-temps qu'en physique classique.Pensez d'aileurs au théorème de Larmor pour le champ magnétique mais ici transposer à l'espace-temps et vous aurez la vision d'une connexion avec les tenseurs de courbures en théorié de gauge,les connexion avec rotation des repères orthogonaux locaux,l'invariance de jauge et le principe d'équivalence.

F est antisymétrique tout comme un tenseur de rotation!
Combiné aux spineurs ça ouvre des perspectives

[mariposa]

Les spineurs,qui s'écrivent comme un couple de deux nombres complexes en représentation de Weyl c'est tout simplement ça,cela permet de prendre des racines carrées de quadrivecteurs.

Comment définit-on la représentation de Weyl? (a moins que ce que tu as écrit, c'est la définition de la représentation de Weyl!)

Voila pourquoi Penrose ,en notant le lien entre spin en MQ et les nombres complexes et les spineurs pour les tenseurs en RG, espère pouvoir batir un pont entre espace-temps et MQ.

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Là je suis très étonné puisque le spin apparait quand on manipule le comportement du bispineur comme une propriété classique cad non relativiste et non quantique

[Floris]

Bonjour,

C'était fait exprès... Ce qui te tracasse, ça s'appelle les coefficcients de Christoffel, ou la connexion de Lévi-Cività. Là je dois sortir faire des courses avant que ça ferme, mais je reprendrai le fil ce soir pour essayer de trouver une explication pas trop fumeuse.
Cela dit, ta question est excellente: c'est en se posant ce genre de problèmes que le jeune Albert E. n'a pas eu le prix Nobel! (enfin si, il l'a eu, mais pas pour ça).

-- françois

Personne veux me parler des coef de Christoffel?

[invite09c180f9]

Personne veux me parler des coef de Christoffel?

En fait c'est que c'est quelque chose d'assez compliqué, en gros, ces coefficients sont utilisés en RG (géométrie riemanienne) pour exprimer l'effet d'une masse ou/et une énergie sur la courbure de la géométrie de l'espace-temps

[invité576543]

Personne veux me parler des coef de Christoffel?

Crée un nouveau fil, ça évitera deux discussions indépendantes dans le même fil...

Cordialement,

[mtheory]

Là je suis très étonné puisque le spin apparait quand on manipule le comportement du bispineur comme une propriété classique cad non relativiste et non quantique

Si j'ai bien compris ,c'est justement tout l'intérêt de la remarque,trouver des ponts entre les structures de la MQ et la RG classique.C'est ce qu'essaye de faire Penrose avec sa théorie des 'twistors'.
De même dans mes posts précédents j'ai essayé de montrer que les spineurs sont des objets relativistes qu'on peut faire émerger sans la MQ.