Problème de mécanique : une bille sur un ballon

[prgasp77]

Bonjour à tous,
je me suis lacé dans la résolution d'un exercice de mécanique. Je tiens tout d'abord à préciser que ce n'est pas un exercice qui m'est imposé, et que je cherche la solution la plus élégante (qui pourra m'apprendre le plus de choses).

• L'intitulé du problème pourrait être :
  On place à une distance infiniment proche du sommet d'un balon parfaitement shpérique (de rayon et de centre ) une bille (de rayon et de centre ). On se demande quel angle formera le vecteur avec la verticale lorsque la bille "décolera" du balon ?
  
  
  
  
• Voici comment j'y ai travaillé
  On cherche en premier lieu le vecteur accélération du centre de la bille en fonction de :
  
  Selon le principe de dynamique, nous avons la relation ou est la masse de la bille.
  On cherche donc à déterminer :
  
  
  avec
  
  
  et
  
  (c'est sur ce point que j'ai un doute)
  
  
  Ainsi,
  
  
  
• On détermine alors le vecteur tel que :
  
  
  
• Nous arrivons donc au terme du problème : lorsque le vecteur ne formera plus avec la verticale un angle de , la bille ne se déplacera plus selon la surface du balon, donc il n'y aura plus de contact entre les deux.
  
  où est l'affixe du vecteur .
  
  Ainsi,
  
  
  On résout donc l'équation
  
  
  Et je bloque en ce point. Je me demande même s'il n'y a pas erreur de raisonnement, étant donné que l'égalité doit être vraie pour où
  est l'angle critique auquel la bille, poussée par son élan, décole du balon. Or il me semble que l'équation précédente est vraie pour un nombre distincs de valeurs ...

Pouvez-vous m'aider à résoudre ce problème ? Pouvez-vous me dire où ai-je fais une erreur (pas au début svp ) ?
Je vous remercie d'avoir pris le temps de me lire.
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[invite578a92be]

euh désolé mais j'ai pas eu le courage de lire jusqu'au bout, la méthode est a priori bonne mais tes calculs seront allegés si tu travailles dans la base polaire plutôt qu'en coordonnées cartésiennes

[rapporteur]

Le schéma que tu fais est bon
Tu projette cette égalité vectorielle sur les axes normal et tangentiel.
Tu auras quelque chose du genre
ma=R-mg cos alpha
lorsque le corps décollera r sera nul
alors ma=mgcosalpha
a=v*v/r
d'autre part tu ecris la conservation de l'énergie
mgr=1/2 m v*v+mgr.sin(alpha)
tu remplace v dans la première équation. Le calcul est très simple.
J'écris ces calculs en direct je n'ai fait aucune vérification des équations mais c'est la bonne démarche. J'ai déja fait ce problème il y a très longtemps
A bientot

[rapporteur]

Le schéma que tu fais est bon
ma=R-mg cos alpha
A bientot

en fait cette équation s'écrit:
ma=R-mg sin(alpha)
Ce qui donnera un resultat final
alpha=arcsin(2/3)
A bientot

[A voir en vidéo sur Futura]

[prgasp77]

Up ! J'avais laissé tombé à l'époque et je reviens dessus aujourd'hui. J'ai appliqué la méthode de rapporteur :



On note le vecteur tangentiel, et le vecteur normal.

Nous avons
(1)
(2)

Selon (1) et (2) on a :
(3)

Deplus, selon la loi de conservation de l'énergie, nous savons que, désignant le rayon du ballon (grand cercle),

(4)

Et là je bloque ... Je ne vois pas en quoi la conservation de l'énergie m'aide à trouver .

[invite578a92be]

Salut!

Euh je vois pas trop non plus comment faire avec l'énergie mais c'est surement possible, je vais y réflechir. Par contre, est-ce que le début du raisonnement est utile si on traite le pb d'un point de vue énergétique? Parce que le TEM c'est plus ou moins une forme de la RFD donc t'écris a priori les mêmes équations. Enfin bon, ce que je dis n'est pas forcément très fiable...

[GillesH38a]

Bonjour

une remarque : le probleme est incomplet si tu ne spécifies pas le contact entre la bille et le ballon. Tu traites apparemment le cas sans frottement (la bille "glisse" sur le ballon sans tourner). On peut aussi considérer l'autre cas extrème du frottement parfait qui provoque un roulement (sans frottement de roulement). Ca impose une composante tangentielle.

La conservation de l'énergie ne suffit pas a tout traiter mais elle t'evite une bonne partie, parce qu'elle te donne directement la vitesse en fonction de alpha sans intégrer la RFD.

Il reste à ecrire la condition de décollage : que la réaction normale Rn s'annule. Pour cela il faut que l'accélération normale V^2/R soit juste égale à la projection du poids sur la normale mg cos(alpha) (après elle devient supérieure et il faudrait Rn<0 ce qui est impossible).

Chaque fois qu'un système est conservatif (énergie mécanique constante), c'est souvent l'équation la plus simple a utiliser.

[zoup1]

Et là je bloque ... Je ne vois pas en quoi la conservation de l'énergie m'aide à trouver .

Ce qu'il faut que tu fasse maintenant, c'est écrire que la bille se déplace à la surface de la sphère (glisse et non pas roule comme le dis gilles). Cela te permet d'exprimer l'accélération comme v²/R.
Ceci fait tu dois pouvoir en tirer l'expression de

Ensuite il faut exprimer la condition de décollage. On l'obtient en disant que pour que ce qui est écrit au dessus soit correct, il faut que le vecteur soit dirigée vers l'extérieur de la sphère (comme sur la figure) et non pas vers l'intérieur de la sphère. Bref la bille va décoller lorsque

[prgasp77]

Je m'excuse, mais vous écrivez tous que . Mais pour moi, .

Or, étant donné

[zoup1]

Je m'excuse, mais vous écrivez tous que . Mais pour moi, .

Tu as presque raison sauf que c'est le contraire ;

mais la seule composante interessante pour si la bille reste collée c'est celle suivant

Or, étant donné

Je ne sais pas très bien ce que tu fais là mais je ne pense pas que ce soit correct...

[marc.suisse]

Bonsoir Messieurs !!

J'ai juste une question qui me rend curieux :

Dans toutes ces formules , on voit des lettres avec des flèches au dessus d'elles , cela veut dire quoi?

C'est quoi en fait , des équations?

Excuses moi de vous embêter , mais ca me rends curieux , c'est la raison pour laquelle , je suis sur futura

Bonne nuit

[zoup1]

Bonsoir,

Ce sont effectivement des équations.
Les flèches c'est pour désigner des vecteurs c'est à dire une grandeur qui est caractérisée non seulement par un nombre (son amplitude ou sa longueur) mais également par une direction (son orientation dans l'espace).

[prgasp77]

Tu as presque raison sauf que c'est le contraire ;

mais la seule composante interessante pour si la bille reste collée c'est celle suivant


Je ne sais pas très bien ce que tu fais là mais je ne pense pas que ce soit correct...

>_< je me plante tout le temps (j'ai bêtement perdu 0,5 points au bac pour sa )
Et oui en effet je me suis planté ... :'(
Je vais reprendre tout ça. Si j'y arrive, je ferai une sorte de récapitulatif à partir de zéro. Sinon ... on verra

Encore merci.

Dans toutes ces formules , on voit des lettres avec des flèches au dessus d'elles , cela veut dire quoi?

En France, on note les vecteurs avec une flèche au dessus, pour les différencier des scalaires. Apparemment il en est autrement en Suisse ... Comment faites-vous ?

[Amethyste]

Ca s'appelle un vecteur

cela représente une grandeur qui a une direction et un sens. Par exemple une force ou une vitesse

[marc.suisse]

Bonsoir et merci de vos réponses !!

Mais une force ou une vitesse constante?

Cela veut dire que les nombres ou les chiffres avec une flèche au dessus , ne seront jamais 2 fois identiques? J'avoue avoir un peu de peine à comprendre....

Pour la questions à prgasp77 :

En France, on note les vecteurs avec une flèche au dessus, pour les différencier des scalaires. Apparemment il en est autrement en Suisse ... Comment faites-vous ?

Euh , je n'ai aucune connaissance dans le domaine , si je posais cette question ,c'est par simple curiosité , je ne sais même pas ce qu'est un scalaire

Merci d'avance , ciao ciao Marc....

[Amethyste]

on rencontre parfois aussi les vecteur en gras sans flèches.
Evidemment plutôt dans les bouquins

un vecteur est constant à 2 conditions:
1) son module ne change pas
2) sa direction ne change pas

[invite842841f2]

Bonjour... je réfléchi sur ce problème actuellement, et je me demande si on ne peut pas , après avoir projeter l'équation sur les 2 axes polaires, utiliser le PFD sur l'axe tangantielle, pour trouver une expression de la vitesse angulaire, et l'injecter dans léquation selon l'axe radial, afin davoir une expression de Rn en fonction de Téta, et de finir le travail en posant Rn = 0 <=> Teta = ...
Cela dit, je n'y arrive pas..