Comment contredire Zénon uniquement par la logique, sans les maths ?

[invite2800a7c8]

Disons un observateur immobile.
Tu as une soluce ?...

Salut,

Je ne sais pas si j'ai une solution, mais il me semble que l'erreur consiste à prendre les positions relatives ??? comme référentiel et pas le temps.


Cordialement

Ludwig
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[invite3016febc]

Pour moi, la réponse est simple: si dans l'affirmation :

Puisque la tortue avance toujours d’une certaine distance pendant qu’Achille essaie de combler son retard, il en résulte que, quelle que soit sa vitesse, Achille ne rattrapera jamais la tortue !

le mot "jamais" signifie qu'il ne rattrapera jamais dans le temps la tortue, alors cette affirmation est fausse (sauf si la vitesse d'Achille est implicitement divisée par 10 à chaque pas de temps).
Ce serait aussi absurde que de dire juste avant midi: il ne sera jamais midi avant midi.
Le raisonnement revient à diminuer le pas de temps au cours du temps.

C'est comme si dans un film de 1h, toutes les 30 min, on divise par deux le nombre d'images par seconde et que l'on dit que ce film est infini. En réalité, bien qu'il soit impossible de finir le visionnage, il y a bien une fin.

[andretou]

Pour moi, la réponse est simple: si dans l'affirmation :

le mot "jamais" signifie qu'il ne rattrapera jamais dans le temps la tortue, alors cette affirmation est fausse (sauf si la vitesse d'Achille est implicitement divisée par 10 à chaque pas de temps).
Ce serait aussi absurde que de dire juste avant midi: il ne sera jamais midi avant midi.
Le raisonnement revient à diminuer le pas de temps au cours du temps.

C'est comme si dans un film de 1h, toutes les 30 min, on divise par deux le nombre d'images par seconde et que l'on dit que ce film est infini. En réalité, bien qu'il soit impossible de finir le visionnage, il y a bien une fin.

En effet, il est toujours possible de définir un instant aussi proche que l'on veut de midi, comme d'ailleurs il est possible de définir un instant aussi proche que l'on veut du Big Bang et de s'en rapprocher indéfiniment, par la pensée du moins.
De la même manière, la somme S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ne dépassera jamais 2, alors qu'on ajoute une infinité de quantités.
C'est bien là ce qui choque : comment est-il possible qu'une addition infinie de termes puisse donner une quantité limitée ?
On démontre évidemment sans aucune difficulté l'égalité S = 2, mais conceptuellement il y a là, à mon avis, quelque chose qui nous échappe.

[invitedd78828e]

andretou : Cela vient de l'idée instinctive que chaque addition de terme correspond à un certain temps. En effet, c'est souvent la justification qu'on trouve au paradoxe de Zénon. L'idée non-exprimée mais ressentie est qu'il faudra un temps dt pour ajouter 1/2 puis un temps dt pour ajouter 1/4 puis un temps dt pour ajouter 1/8 etc. Au final on pense voir une durée infinie d'écarts de temps bien déterminés. En réalité le temps n'entre pas en prise de compte, il suffit d'imaginer que la somme se fait d'un coup.

Je vais tenter une approche un peu tordue mais qui peut aider à comprendre. Achille pour rattraper la Tortue doit parcourir une distance L = 2L - L
Or 2L = 4L - 2L, et 4L = 8L - 4L et ainsi de suite, chaque fois que j'ajoute une distance (2^n)L je constate qu'il s'agit en fait de la distance (2^n+1)L à laquelle j'enlève la distance (2^n)L.

Pour rattraper la tortue Achille devra parcourir la distance : - L - 4L - 6L - 8L - 16L - ... - (2^n-1)L + (2^n+1)L
Et si ça m'amuse je fais tendre n vers l'infini et je retombe sur un "paradoxe" où je me retrouve encore à faire une somme infinie.

Du coup est-ce que vous voyez mieux où repose la différence entre la somme d'intervalles de temps de plus en plus petits et l'idée que chaque membre ajouté à la somme coûterait un certain temps ?

[coussin]

C'est bien là ce qui choque : comment est-il possible qu'une addition infinie de termes puisse donner une quantité limitée ?
On démontre évidemment sans aucune difficulté l'égalité S = 2, mais conceptuellement il y a là, à mon avis, quelque chose qui nous échappe.

C'est une blague ? C'est pourtant pas très dur à comprendre...

[andretou]

C'est une blague ? C'est pourtant pas très dur à comprendre...

Désolé. Tout le monde n'a pas la chance d'avoir vos capacités.

[stefjm]

C'est une blague ? C'est pourtant pas très dur à comprendre...

C'est facile à admettre, pas forcément à comprendre en profondeur avec tout l'arsenal mathématique...

[invitedd78828e]

C'est facile à admettre, pas forcément à comprendre en profondeur avec tout l'arsenal mathématique...

En fait si vous faites références à la somme des 1/2^n il suffit de faire une factorisation suivie d'une différence pour le voir. Même le concevoir dans sa tête n'est pas dur après cette démonstration de deux lignes.
Si vous faites référence au calcul infinitésimal c'est effectivement beaucoup plus profond mais à notre époque je ne pense pas que la compréhension, même profonde, soit une réelle difficulté.

[stefjm]

Je ne parle pas de la compréhension actuelle des mathématiciens, mais de la compréhension du quidam (par exemple andretou) qui s'intéresse au sujet.

[Amanuensis]

Si vous faites référence au calcul infinitésimal c'est effectivement beaucoup plus profond mais à notre époque je ne pense pas que la compréhension, même profonde, soit une réelle difficulté.

Ou peut-être qu'on est tellement habitué à ce type de calcul qu'on peut se passer d'une compréhension profonde?

(Comme pour le 0 par exemple, avec le genre de "compréhension profonde" que "révèle" (ironie) une expression comme "zéro-ième"...)

[andretou]

Ou peut-être qu'on est tellement habitué à ce type de calcul qu'on peut se passer d'une compréhension profonde?

Bien dit !
C'est un peu comme ces collégiens (dont j'ai fait parti) qui sont capables de résoudre mécaniquement une équation : ils savent simplement qu'il faut changer le signe quand on passe une quantité de l'autre côté de l'équation.
Le plus remarquable c'est qu'ils ne cherchent pas à comprendre la raison profonde de ce mécanisme. Ils pensent même qu'il n'y a rien de plus à savoir que cette règle à partir du moment où ça fonctionne bien comme ça et qu'ils ont une bonne note à l'interro...

[xxxxxxxx]

Bonjour tout le monde
J'ai un problème avec le paradoxe bien connu d'Achille et de la tortue, par lequel Zénon entendait démontrer (avec aussi d'autres paradoxes) l'impossibilité de tout mouvement.
Pour mémoire, Achille et la tortue font une course. Achille donne une avance de 100 mètres à la tortue.
Comme Achille avance 10 fois plus vite que la tortue, quand Achille parcourt les 100 mètres le séparant de la tortue, celle-ci a entretemps parcouru 10 mètres, de sorte qu’il reste encore à Achille à parcourir 10 mètres pour rattraper la tortue. Mais lorsqu’Achille a parcouru ces 10 mètres, la tortue a encore avancé de 1 mètre, et ainsi de suite…
Puisque la tortue avance toujours d’une certaine distance pendant qu’Achille essaie de combler son retard, il en résulte que, quelle que soit sa vitesse, Achille ne rattrapera jamais la tortue !
Evidemment, l'expérience prouve qu'Achille rattrape la tortue, et les mathématiques permettent de calculer sans difficulté l'instant exact.
Il y a donc nécessairement une faille dans le raisonnement de Zénon. Mais où précisément ?
Toutes les réfutations que j'ai trouvées se contentent de démontrer par le calcul qu'Achille rattrape la tortue, sans démontrer en quoi le raisonnement de Zénon est erroné.
Est-il possible de contredire Zénon uniquement par la logique, sans faire appel aux arguments mathématiques ?
Merci pour vos réponses.

bonjour,

je sais pas si c'est mathématique mais il existe une solution simple : faire un baton de 10 mètres pour Achille et l'autre d'1mètre pour la tortue. On place chaque joueur à son point de départ. On fait avancer siimultanément les batons d'un cran à chaque tour ... au bout de 12 crans on constatera que le baton d'Achille sera devant celui de la tortue. Reste à voir si c'est une démonstration par la logique ??? à vos avis...

Stéphane

[invitedd78828e]

C'est une preuve par l'expérience mais on vous demandera alors de faire tendre la taille des bâtons vers zéro et on vous dira que le nombre de crans tend vers l'infini. Ou alors on accepte que l'espace est discret, et on en vient à quantifier l'espace. Pourquoi pas, mais je reste malgré tout persuadé que le paradoxe de Zénon mathématisé et imagé de la sorte n'est pas assez puissant pour permettre de tirer des conclusions quand à la nature de l'espace et du temps.

[invite93279690]

Pour revenir sur la physique, il est possible que la version "album photo" du mouvement que Zénon avait en tête soit compatible avec ce que "verrait" un photon si l'on se permets le sacrilege (je me donnerai 100 coups de fouet tout à l'heure ne vous inquiétez pas) de se poser la question de l'experience observationnelle (du mouvement en l'occurence) de quelqu'un qui va à la vitesse de la lumière dans vide.

[Amanuensis]

Bof... Cela risque d'être encore du "garbage in, garbage out". Parler d'une telle "expérience observationnelle" demande tellement "d'inventions" qu'en faire quelque chose de cohérent est plus que difficile. C'est le problème de fond de toute contrafactualité.

J'y vois une tentative de s'approcher, ou d'utiliser, un phénomène physique où parler d'un infini actuel ferait sens. Mais je n'en connais aucun, et je n'imagine pas que sera présenté ici un tel phénomène.

[invite93279690]

Bof... Cela risque d'être encore du "garbage in, garbage out". Parler d'une telle "expérience observationnelle" demande tellement "d'inventions" qu'en faire quelque chose de cohérent est plus que difficile. C'est le problème de fond de toute contrafactualité.

c'est possible mais ma proposition consiste à se demander si c'est le meme type de "garbage in, garbage out". En gros "l'impossibilité du mouvement" que l'on obtient (il me semble) si l'on prend un référentiel et qu'on fait tendre sa vitesse, par rapport au référentiel terrestre disons, vers l'infini est elle de meme nature (mettre ici le terme que l'on croit être approprié: physique, mathématique, philosophique) que celle observée dans l'argument de Zénon ?

D'ailleurs je trouve intéressant que l'argument que j'ai souvent entendu pour dire qu'il "ne faut pas meme pas se poser la question de ce qu'il se passe dans le référentiel d'un photon" consistait à dire que les photons sont de masse nulle et qu'aucun référentiel materiel ne saurait avoir une masse nulle ergo; passez à autre chose, discuter du référentiel d'un photon c'est comme discuter du sexe des anges. En revanche, il me semble qu'on pourrait utiliser un argument à la Zenon en proposant que l'on puisse se mettre dans le référentiel d'un photon et conclure que dans un tel référentiel, tout mouvement serait impossible. Si l'on considère la conclusion comme fausse dans tout référentiel, on pourrait en déduire que la prémisse selon laquelle on peut se placer dans le référentiel d'un photon est fausse.

[Amanuensis]

c'est possible mais ma proposition consiste à se demander si c'est le meme type de "garbage in, garbage out".

Difficile de "typer". En commun il y a (apparemment) l'infini en acte (actuel) et la contrafactualité.

Par ailleurs, il y a une différence significative: dans Zénon, l'observateur/expérimentateur/etc. prétend observer, et décrit, une situation contradictoire, finie d'un côté (la flèche arrive) et infinie de l'autre.

Si tant est qu'on arrive à formaliser un observateur à c, il n'est pas clair d'indiquer ce qu'il décrirait ou qu'il y verrait une contradiction. C'est l'irruption d'un observateur extérieur qui va créer le "paradoxe", il me semble.

D'ailleurs je trouve intéressant que l'argument que j'ai souvent entendu pour dire qu'il "ne faut pas meme pas se poser la question de ce qu'il se passe dans le référentiel d'un photon" consistait à dire que les photons sont de masse nulle et qu'aucun référentiel materiel ne saurait avoir une masse nulle ergo; passez à autre chose, discuter du référentiel d'un photon c'est comme discuter du sexe des anges.

Perso, je n'ai jamais apprécié ce type de réponse, qui consiste juste à opposer la "théorie en vigueur", prise comme "vérité". Le problème le plus souvent, et cela peut être le cas ici, est de prétendre appliquer la RR en partant d'une prémisse contradictoire à la RR, ce qui est absurde. Si quelqu'un veut parler de deux référentiels ayant chacun une vitesse c par rapport à l'autre, ce qu'il doit faire est d'abord expliciter les "règles" (la théorie) qu'il va alors appliquer, et ce ne peut pas être celles de la RR.

[invite93279690]

Perso, je n'ai jamais apprécié ce type de réponse, qui consiste juste à opposer la "théorie en vigueur", prise comme "vérité". Le problème le plus souvent, et cela peut être le cas ici, est de prétendre appliquer la RR en partant d'une prémisse contradictoire à la RR, ce qui est absurde.

le fait d'avoir un référentiel qui va à c est en contradiction avec la RR ? De quelle manière ?

[Amanuensis]

le fait d'avoir un référentiel qui va à c est en contradiction avec la RR ? De quelle manière ?

Quelle est la définition de référentiel? (Réponse attendue en langage mathématique.)

[invite93279690]

Quelle est la définition de référentiel? (Réponse attendue en langage mathématique.)

désolé je ne joue pas aux devinettes tout en sachant que je vais sans doute répondre (au moins un peu) à côté. Si jamais la prémisse fausse dont tu parlais n'a rien à voir avec l'idée de référentiel alors precise ta pensée s'il te plait : qu'est ce qui est contradictoire à la RR ?

Sinon je ne l'avais pas dit dans mon message precedent mais je suis d'accord avec

Par ailleurs, il y a une différence significative: dans Zénon, l'observateur/expérimentateur/etc. prétend observer, et décrit, une situation contradictoire, finie d'un côté (la flèche arrive) et infinie de l'autre.

Si tant est qu'on arrive à formaliser un observateur à c, il n'est pas clair d'indiquer ce qu'il décrirait ou qu'il y verrait une contradiction. C'est l'irruption d'un observateur extérieur qui va créer le "paradoxe", il me semble.

[Amanuensis]

désolé je ne joue pas aux devinettes tout en sachant que je vais sans doute répondre (au moins un peu) à côté.

Il y a inversion. Si j'ai posé la question, c'est que je ne sais pas quelle définition tu appliques. La mienne ne permet pas les référentiels en RG (our RR) tels qu'un photon y soit immobile, ou "qui aille à c par rapport à un référentiel "classique". Mais je n'ai pas à imposer ma définition.

D'un autre côté, dans tous les cas où certains parlaient d'un référentiel de photon ou qui va à c, ils ne définissaient pas ce dont ils parlaient, mais utilisaient "référentiel" avec en plus des propriétés que les référentiels bona fide selon la définition que j'applique. D'où la contradiction.

Si est présentée une définition correctement construite pour un "référentiel qui va à c" par rapport à un référentiel "usuel", il permettra (c'est ce qu'on attend d'un référentiel) de comprendre une perception du mouvement correspondante , et le cas décrit plutôt pourra être discuté.

[invite51d17075]

bonjour,

. C'est l'irruption d'un observateur extérieur qui va créer le "paradoxe", il me semble.
.

moi il ne me semble pas, car j'en suis plutôt intimement convaincu.
c'est la description rhétorique extérieure qui crée la "confusion".
( je parle du paradoxe inital )
vu du lapin , je rattrape la tortue et je peux dire quand je vais la doubler.

je saisi mal vos échanges précédents sur l'extrapolation en RR, mais j'imagine que c'est une sorte de retransposition !?
Cdt

[invitedd78828e]

En tout cas en ce qui concerne la dernière discussion je suis d'accord concernant le fait que l'hypothèse d'un référentiel lié à un photon est en contradiction avec le second postulat de la RR (la vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens).
Peut-être que l'idée était que lorsqu'on tente, par une accélération maintenue, de se rapprocher de ce référentiel impossible on se retrouve dans le cas d'Achille qui tente de se rapprocher de la tortue ? Cela dit dans le premier cas il s'agit d'une véritable impossibilité physique qui entraîne un figement véritable, qui existe pour les observateurs restés immobiles dans le référentiel initial. Dans le second cas le figement ne provient que de l'idée, fausse, que chaque addition d'un intervalle de temps va rajouter une certaine durée (problème qu'on peut même faire disparaître cognitivement, en prenant du recul et en s'imaginant qu'on fait la somme d'un coup et non terme à terme, ce que propose finalement Bergson dans sa résolution).

[Amanuensis]

s'imaginant qu'on fait la somme d'un coup et non terme à terme

L'opposition entre infini actuel ("faire la somme d'un coup") et infini potentiel (ajouter un terme, puis un autre, puis un autre, ...). La disparition par un coup de baguette magique de ces si importants trois petits points.

[invitedd78828e]

En fait le coup de baguette magique survient au contraire lorsqu'on fait jaillir d'un tout fini et délimité une infinité en disant : "Pour faire 1 vous devez ajouter une moitié, mais avant vous devez ajouter un quart, mais avant un huitième etc." Or la réponse est simplement : non il n'y a ni ordre ni succession temporelle dans un calculs, ajoutez tout en même temps. L'idée de projeter l'infini du calcul lié à une simple notation sur la réalité n'a pas de sens. On en vient à confondre structure de l'espace avec notation de calcul, c'est en ça que ce paradoxe n'en est pas un, ou du moins que sa portée mathématique est très réduite.

Ce que j'ai pu constater et confirmer en lisant les messages de cette discussion est que la plupart des confusions viennent de ce qu'on pense qu'il faudra un certain intervalle de temps pour faire chaque addition, indépendamment de ce que ces additions manipulent. J'ai presque l'impression que pour certains c'est "Il me faut 0,2 secondes pour ajouter 1/2^n à 1/2^n+1 or l'infini fois 0,2 ça fait l'infini donc je ne peux pas penser le mouvement." Ce n'est évidemment pas dit comme ça mais j'ai le sentiment que la confusion vient de là, par exemple lorsque je vois l'incompréhension face au fait qu'une somme infinie puisse être finie. (C'est pas un reproche d'ailleurs, c'est plutôt naturel comme erreur.)

De la même façon je pourrais dire "Pour verser du sel dans vos pâtes vous devez verser un grain, mais avant un autre grain, mais avant un autre grain etc" et on me répondrait évidemment "Non, je verse le sel d'un coup sans compter les grains.".
Donc puisque l'auteur ne souhaitait initialement pas de résolution mathématiques je ne peux que le renvoyer à Bergson qui développe bien plus cette idée (avec les exemples plus pertinents de la mélodie, de la main qui se promène sur une surface rugueuse, etc etc).

Il ne s'agit pas de résoudre le paradoxe par une coup de baguette magique, mais de dévoiler le coup de baguette magique qui a transformé un énoncé faux en paradoxe.

[Amanuensis]

D'accord sur tous les points. On m'a reproché ma formulation abrupte, mais il me semble que l'opinion n'est pas que mienne.

[invite51d17075]

Ce que j'ai pu constater et confirmer en lisant les messages de cette discussion est que la plupart des confusions viennent de ce qu'on pense qu'il faudra un certain intervalle de temps pour faire chaque addition, indépendamment de ce que ces additions manipulent. J'ai presque l'impression que pour certains ..........

a moins d'avoir mal lu, je n'ai vu personne se faire avoir (ou douter) par ce "paradoxe".
juste une discussion sur sa nature réthorique et sur la manière de le lever.

[invitedd78828e]

Amanuensis : D'accord, pour ma part je ne reproche rien je trouve ces discussions vraiment constructives !

a moins d'avoir mal lu, je n'ai vu personne se faire avoir (ou douter) par ce "paradoxe".
juste une discussion sur sa nature réthorique et sur la manière de le lever.

La majorité des personnes sur ce fil ont l'explication mais le fait que cette explication ait été quelques fois considérée comme difficile à accepter ou incompatible avec le bon sens me semble traduire ce que je disais plus haut. Cela dit mon observation est effectivement plus générale, je faisais aussi référence à des fils précédents et aux réflexions classiques qu'on retrouve sur ce sujet mais ma formulation n'était pas claire (ce fil était lié à la confirmation et pas vraiment au constat, j'aurais dû le préciser).

[andretou]

Donc puisque l'auteur ne souhaitait initialement pas de résolution mathématiques je ne peux que le renvoyer à Bergson qui développe bien plus cette idée (avec les exemples plus pertinents de la mélodie, de la main qui se promène sur une surface rugueuse, etc etc).

Je ne savais pas que Bergson s'était intéressé à ce problème. Aurais-tu STP la possibilité d'indiquer les références concernant ces exemples ?

[invitedd78828e]

Tu peux trouver son raisonnement concernant cet exemple sur Google, autrement c'est dans son Essai sur les données immédiates de la conscience. Il était au programme des concours ingé y a quelques temps ce qui l'a fait un peu revenir à la mode. En fait je ne peux pas dire que je suis d'accord avec toutes les conclusions, mais ce qui est dit sur les difficultés liées au morcellement du temps est très bien dit !