La RR sans les coordonnées (ni les référentiels)

[mmanu_F]

Salut,

L'idée est donc de réfléchir aux différents problèmes classiques en évacuant totalement les idées de temps ou distance coordonnées ("impropre") comme de référentiels, c'est à dire en n'utilisant que des objets invariants : des lignes d'univers et des vecteurs. Les (pseudo)normes de vecteurs et les "angles" sont autorisés, pas les coordonnées.

m@ch3

La relativité sans coordonnées, dis-tu ... Tu as déjà entendu parler de "Geometric Algebra" ? Parce que comme c'est parti, j'ai l'impression que tu es en train de le redécouvrir, 50 ans après David Hestenes ... Tu devrais peut-être jeter un oeil de ce côté, si tu veux gagner un peu de temps ...
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[mmanu_F]

Tu as déjà entendu parler de "Geometric Algebra" ?

Pour être un peu plus explicite, le "primer" de Hestenes avec les jumeaux page 27. Ca te parait être dans le bon esprit ?

[mmanu_F]

Pour être un peu plus explicite...

Un dernier et j'arrête : pour une version un peu plus complète, le "spacetime physics with geometric algebra" en particulier pour toi, le chapitre III qui commence page 8.

Enfin, le site de l'équipe de Cambridge qui a beaucoup contribué sur le sujet (leur bouquin Geometric Algebra for physicicts, par exemple, est plutôt sympa). Ahh ! tout ça me rappelle ma jeunesse ...

[mach3]

Les "usages" pour les indices muets sont: indices grecs pour coordonnées en 4d, indices latins (typiquement i) pour coordonnées 3D.

ben j'avais choisi grec parce que je suis dans le cas de figure 4D (enfin 2D parce que je ne prends pas en compte 2 dim d'espace pour l'instant), mes indices vont de 0 à 3 (mais je m'arrête à 1 pour l'instant).

La relativité sans coordonnées, dis-tu ... Tu as déjà entendu parler de "Geometric Algebra" ? Parce que comme c'est parti, j'ai l'impression que tu es en train de le redécouvrir, 50 ans après David Hestenes ... Tu devrais peut-être jeter un oeil de ce côté, si tu veux gagner un peu de temps ...

c'est marrant, j'ai justement découvert les algèbres de Clifford il y a quelques mois , je jetterais un oeil.

m@ch3

[mach3]

gasp!! j'ai compris pourquoi tu voulais mettre du latin!

ce n'est pas mais que je devais écrire!!!

m@ch3

[mmanu_F]

c'est marrant, j'ai justement découvert les algèbres de Clifford il y a quelques mois , je jetterais un oeil.

ça devrait t'aider pour passer à un nombre arbitraire de dimensions et gérer tes différents "angles" (dans l'esprit des quaternions de Hamilton).

[Amanuensis]

gasp!! j'ai compris pourquoi tu voulais mettre du latin!

ce n'est pas mais que je devais écrire!!!

Pas que ça. On ne met pas une flèche sur une coordonnée. Et si on voit u_1, u_2 on s'attend à ce que l'indice soit utilisé pour autre chose qu'une coordonnée.

S'il était explicité quelle est le sens des formules, on pourrait proposer des notations...

[Amanuensis]

La relativité sans coordonnées, dis-tu ... Tu as déjà entendu parler de "Geometric Algebra" ? Parce que comme c'est parti, j'ai l'impression que tu es en train de le redécouvrir, 50 ans après David Hestenes ... Tu devrais peut-être jeter un oeil de ce côté, si tu veux gagner un peu de temps ...

Ce qu'a fait Hestenes est adapté aux carences de l'enseignement des maths en Zétazunie, cela ne s'applique pas très bien au cursus français (du moins celui de mon époque). Les maths et la physique avec des vecteurs fait partie du cursus de base en France, et une bonne partie du "primer" fait assez bizarre, du coup.

Le "virus des coordonnées" sévit en France en RR, mais bien moins en géométrie et en physique classique. Ce qui amène à se poser la question différemment du pourquoi de la prévalence des coordonnées en RR.

Bref, il ne s'agit pas tant de "redécouvrir" quelque chose, que d'utiliser en RR des outils qu'on connaît déjà dans leur application en euclidien. (Perso, je fais cela depuis longtemps.)

Et la question n'est pas de montrer si c'est possible ou pas (on sait déjà que ça l'est), mais (du moins pour moi), de comprendre où sont les difficultés, de comprendre pourquoi les coordonnées sont préférées dans les présentations de la RR. En France ce n'est pas explicable par un manque préalable de maîtrise de l'algèbre vectorielle.

[invite82078308]

Voyez espace de Minkowski, groupe de Lorentz , groupe de Poincaré et bien sur la notion de forme quadratique.
Je n'aime pas trop la notation pseudo-distance.
Du fait que la racine carrée complexe n'est pas bien définie.

[mmanu_F]

Salut,

Ce qu'a fait Hestenes est adapté aux carences de l'enseignement des maths en Zétazunie, cela ne s'applique pas très bien au cursus français (du moins celui de mon époque). Les maths et la physique avec des vecteurs fait partie du cursus de base en France, et une bonne partie du "primer" fait assez bizarre, du coup. [...]
Bref, il ne s'agit pas tant de "redécouvrir" quelque chose, que d'utiliser en RR des outils qu'on connaît déjà dans leur application en euclidien.

mouais, j'ai des souvenirs (assez récent, en tant qu'enseignant) assez désagréables concernant le cursus de base, en France, concernant les vecteurs et l'utilisation massive des coordonnées, entre autre... Tu as peut-être de bonne raisons de penser qu'on est mieux ici que là-bas, mais méfie-toi quand même . Dans tous les cas, le "primer" n'est pas représentatif (ce n'est qu'un "primer"). Il m'avait semblé être un bon point de départ, pas une fin en soi. Il y a plus dans ce formalisme que la simple utilisation à 3+1D des outils d'algèbre vectoriel développé pour l'esapce (à 3D) euclidien.
Personnellement, ce formalisme a grandement facilité, dans ma jeunesse, mon entrée dans le monde de la mécanique quantique relativiste et son équation de Dirac (et dans une moindre mesure la relativité générale dans le formalisme de Cartan), parce qu'il en donne une version épurée, sans indices, sans contractions de matrices, etc... C'était d'ailleurs l'objectif original de Hestenes de mettre en place un formalisme commun à la quantique et la relativité générale.
J'éspèrais grandement pouvoir profiter de cette fluidité dans la transition vers la théorie quantique des champs, mais ça n'a malheureusement pas été le cas, la transition semble être une transition de phase et je suis revenu pour l'essentiel au formalisme standard que je nettoie cependant volontier de ses coordonnées, à chaque fois que l'occasion se présente.

[mach3]

Pas que ça. On ne met pas une flèche sur une coordonnée. Et si on voit u_1, u_2 on s'attend à ce que l'indice soit utilisé pour autre chose qu'une coordonnée.

S'il était explicité quelle est le sens des formules, on pourrait proposer des notations...

u0 et v0 sont deux vecteurs de genre temps, de norme au carré=1. J'ai mis des flèches au-dessus dans mes équations car je ne sais pas faire de gras avec LateX (perso j'utilise la flèche en manuscrit, mais sous word je préfère le gras). u1 et v1 sont deux vecteurs de genre espace, de norme au carré=-1. u1 est orthogonal à u0 et v1 à v0. Du coup j'ai considéré que u0,u1 et v0,v1 étaient des bases de Lorentz et une notation m'a apparu logique (en tout cas je le vois beaucoup dans la littérature, avec la precision que l'indice ne concerne pas une coordonnée mais le vecteur de base correspondant). Ca permettait surtout d'économiser 2 lignes, j'aurais peut-être dû éviter cette économie.

m@ch3

[Amanuensis]

u0 et v0 sont deux vecteurs de genre temps, de norme au carré=1. J'ai mis des flèches au-dessus dans mes équations car je ne sais pas faire de gras avec LateX (perso j'utilise la flèche en manuscrit, mais sous word je préfère le gras). u1 et v1 sont deux vecteurs de genre espace, de norme au carré=-1. u1 est orthogonal à u0 et v1 à v0. Du coup j'ai considéré que u0,u1 et v0,v1 étaient des bases de Lorentz et une notation m'a apparu logique (en tout cas je le vois beaucoup dans la littérature, avec la precision que l'indice ne concerne pas une coordonnée mais le vecteur de base correspondant). Ca permettait surtout d'économiser 2 lignes, j'aurais peut-être dû éviter cette économie.

Il y a une ambigüité récurrente dans l'usage de la notation indicielle, entre un indice utilisé pour indiquer une coordonnée de l'objet indicé, et un indice utilisé pour indiquer un objet dans une liste d'objets. (Le cas d'une base étant le pire...)

C'est cette ambigüité qui m'a fait mal interpréter l'écriture.

J'utilise des notations personnelles dans mes textes pour l'éviter (et m'y retrouver sans difficulté), mais cela ne correspond pas à un usage courant. Celui-ci semble être, effectivement, de garder l'ambigüité et le risque de confusion afférant.

[Amanuensis]

Au passage, pourquoi commencer un formulaire sur des calculs sans coordonnées par les formules concernant une base?

[mach3]

Faut bien commencer par quelque part, autant je voyais bien pour le produit de deux genres temps quelconque, autant c'était pas clair pour deux genres espaces (sans parler du cas mixte...). D'où l'idée de partir de deux genre temps et construire des orthogonaux de genre espace.
Et pour m'en sortir, j'ai utilisé des vecteurs unitaires et des coordonnées. C'est pas très propre, mais il faut bien commencer quelque part.
L'etape d'après c'est plus de deux vecteurs genre temps mais toujours unitaires (addition d'angles).
Ensuite vecteurs non unitaires, qui peuvent s'écrire comme un scalaire qui multiplie un unitaire.

m@ch3

[mach3]

1er point :

Soit u0 et v0, deux vecteurs unitaires de genre temps formant un angle (tous deux orientés vers le futur, c'est à dire avec u0.v0>0), et u1 et v1, deux vecteurs unitaires de genre espace (tous deux orientés dans la même direction, c'est à dire avec u1.v1<0), orthogonaux à u0 et v0 respectivement. On a les relations suivantes :

un peu de temps pour poursuivre.

2e point, ajoutons un 3e vecteur unitaire de genre temps, w0, orienté aussi vers le futur, qui fait un angle avec u0 et avec u1 et un 3e vecteur unitaire de genre espace, w1, orthogonal à w0 et orienté dans le même sens que u1 et v1.











vu que , on peut faire apparaitre des relations, via le cosh ou le sinh d'une somme, par exemple celle-ci :


pas encore sûr de comment et à quoi cela sert, mais je n'ai qu'un vague souvenir de mes gribouillis d'avant-hier que je n'ai pas sous les yeux (et pas assez de temps pour les refaire).

m@ch3

[mach3]

3e point, et là ça devient très approximatif car le formalisme utilisé semble déficient (l'algèbre de Clifford semble la solution au problème), on considère des vecteurs non unitaires.

Par exemple et , de genre temps. Supposons que ces deux vecteurs peuvent s'écrire :


u0 et v0 étant des vecteurs unitaires de genre temps, orientés vers le futur et séparés par un angle

On a :




La dernière formule ressemble à la formule euclidienne :
Je marque une pause car je m'aperçois qu'il y a un truc pas trivial à gérer en fonction de l'ordre temporel de A, B et C...

m@ch3

[Amanuensis]

Je marque une pause car je m'aperçois qu'il y a un truc pas trivial à gérer en fonction de l'ordre temporel de A, B et C...

Suffit de considérer que les vecteurs unitaires en question sont orientés vers le futur, et que les scalaires peuvent être positifs ou négatif.

D'où

et

(et par convention, un angle est mesuré entre vecteurs de même orientation, futur ou passé ; c'est lié à une autre difficulté, qui est qu'un angle hyperbolique ne définit pas une direction unique, contrairement au cas euclidien, i.e., la donnée d'un plan (spatio-temporel), d'in vecteur du plan et d'un angle entre -inf et + inf ne détermine pas une unique direction.)

[mach3]

En euclidien, si on prend deux vecteurs unitaires, on a :
, avec l'angle entre les deux vecteurs u0 et v0.
Mais on a aussi :
, avec l'angle entre l'opposé de u0 et v0
et

est cohérent avec


Du coup on peut toujours écrire le produit scalaire de deux vecteurs quelconque comme le produit de deux nombres positifs (les normes) et du cosinus de l'angle. Si les deux vecteurs sont dans "la même direction", le cosinus est positif et donc le produit scalaire, négatifs sinon.

En Minkowskien, par contre je ne sais pas définir l'angle entre l'opposé de u0 et v0. J'ai l'impression qu'on doive signer les normes, positive si vecteur vers le futur et négative si vecteur vers le passé, car on ne peut exprimer l'angle entre vecteurs genre temps tous deux vers le futur ou tous deux vers le passé. Ce qui rejoint la remarque qu'amanuensis vient de poster pendant que j'écrivais ceci...

m@ch3

[Amanuensis]

Je précise. Prenons un plan spatio-temporel. Si on part d'un vecteur temporel futur u, et en notant w son orthogonal, alors v parcourt u-w à u+w quand l'angle (u, v) va de -inf à + inf. Et cela sera le cas aussi pour les 3 autres secteurs (ceux de w, -w et -u).

Pour une même valeur d'angle, il y a quatre directions qui font cet angle avec u.

(Les directions lumières u-w et u+w correspondent à des angles infinis, avec deux possibilités pour chaque.)

[Amanuensis]

En fait c'est un peu plus compliqué encore, quand on prend la notion d'angle entre un temporel et un spatial, parce qu'il y a inversion entre le cosh et sinh. (En particulier u.w= 0, ce qui est difficile en mettant un cosh !).

En notant pour les spatiaux, de manière à ce que w soit un réel (positif ou négatif selon l'orientation), on a pour un triangle rectangle SST, i.e., deux côtés spatiaux et un côté temporel, soit ABC avec AB temporel, et rectangle en A, AB.AC=0 :

-CB² = AB²-AC²

Ce qui impose d'inverser cosh et sinh par rapport à côté adjacent ou opposé. Car si on prend η l'angle en B, le rapport AB/CB (adjacent sur hypothénuse) est sinh η, respectant CB² = AC² - AB²

[Amanuensis]

Pour résumer (?), faut orienter aussi bien le temps que son orthogonal dans le plan considéré. Si u est temporel, 4 secteurs:

(de u) signe du scalaire +, cosh et sinh "normaux",
(de w) signe du scalaire +, cosh et sinh "inversés",
(de -u) signe du scalaire -, cosh et sinh "normaux",
(de -w) signe du scalaire -, cosh et sinh "inversés",

dans chaque secteur l'angle (u, v) parcourt tout R. La valeur 0 correspond à u, -u, w et -w.

[Après on se demande pourquoi traiter les figures géométriques en Minkowskien est difficile... Quand on peut, on se limite aux triangles TTS...]

[mach3]

Pour résumer (?), faut orienter aussi bien le temps que son orthogonal dans le plan considéré. Si u est temporel, 4 secteurs:

(de u) signe du scalaire +, cosh et sinh "normaux",
(de w) signe du scalaire +, cosh et sinh "inversés",
(de -u) signe du scalaire -, cosh et sinh "normaux",
(de -w) signe du scalaire -, cosh et sinh "inversés",

je me permet de reformuler d'une autre façon, pour voir si j'ai bien compris. On prend un vecteur temps u pointant vers le futur, qui défini du même coup un espace orthogonal (contenant tous les vecteur espace orthogonal à lui).
-les produits scalaires avec les autres vecteurs temps "futurs" sont en cosh
-les produits scalaires avec les autres vecteurs temps "passés" sont en -cosh
-les produits scalaires avec les vecteurs espace pointant du coté futur de l'orthogonal (c'est mal dit mais j'ai du mal à trouver une bonne façon de dire) sont en sinh
-les produits scalaires avec les vecteurs espace pointant du coté passé de l'orthogonal sont en -sinh

m@ch3

[invite82078308]

Des opérations algébriques et des racines carrées avec des coordonnées c'est quand même plus simple que des fonctions trigonométriques hyperboliques et des "angles". En général ...
Mais il ne faut se priver d'aucun moyen, et utiliser les plus appropriés pour traiter chaque problème.

[Amanuensis]

je me permet de reformuler d'une autre façon (...)

Oui, du moins en 2D. En 2D, le signe pour les spatiaux est conventionnel (on choisit un côté, du moins c'est ce que je fais).

En plus que 2D je ne sais pas ce qui se passe (jamais chercher à faire ce genre de manip autrement qu'en 2D). Il y a clairement un problème, puisque l'espace-temps n'est divisée qu'en 3 parties connexes, pas quatre, le complémentaire des cônes étant connexe (ce qui n'est pas le cas en 2D): difficile d'avoir une fonction continue vers {-1, 1} autre que constante!

[Amanuensis]

Mais il ne faut se priver d'aucun moyen,

On est toujours privé des moyens que l'on ne connaît pas.

[mach3]

En plus que 2D je ne sais pas ce qui se passe (jamais chercher à faire ce genre de manip autrement qu'en 2D). Il y a clairement un problème, puisque l'espace-temps n'est divisée qu'en 3 parties connexes, pas quatre, le complémentaire des cônes étant connexe (ce qui n'est pas le cas en 2D): difficile d'avoir une fonction continue vers {-1, 1} autre que constante!

C'est la qu'un algèbre de Clifford doit intervenir pour généraliser la notion d'angle. J'ai pas encore exploré, mais ce que je pressens, c'est qu'on va avoir à faire à des fonctions hybrides entre cos et cosh et sin et sinh avec des exponentielles ayant des quaternions comme arguments ou quelque chose du genre (angle hyperbolique comme partie réelle et 3 angles de l'espace comme parties imaginaires).

m@ch3

[Amanuensis]

Oui, il y a divers "moyens"!

La ligne d'étude dans laquelle mes réflexions s'inscrivent concernait juste faire de la géométrie "à l'ancienne", à partir de figures dans des diagrammes de Minkowski (en 2D donc). Au fil des années j'ai joué avec quelques unes de telles figures pour les "paradoxes" usuels.

Même en euclidien en 3D ou plus, la notion d'angle plan est d'application limitée, et utiliser les rotations est plus efficace. Mais il n'y a plus vraiment de figures.

En 4D minkowskien, je travaille plutôt avec des tenseurs, et l'approche de Hestenes (qui pour moi correspond à travailler avec l'algèbre extérieure avec des notations allégées, et donc s'inscrit bien dans la lignée de l'approche tensorielle) me semble synthétiser bien comment travailler avec des formules indépendantes de coordonnées. (En plus c'est la bonne voie pour passer au non plat, ce qui est indispensable pour la RG...)

Bref, en résumé, de mon côté je vais continuer à ne regarder que les figures en 2D pour ce qui est "géométrie à l'ancienne appliquée à la RR".

[mach3]

Je repasse sur ce fil, pour le clôturer, du moins provisoirement et sauf si quelqu'un aurait par hasard quelque chose à ajouter.

J'ai lu des choses très intéressantes dans le MTW, dans la section sur la théorie de Newton/Cartan, la mécanique classique de Newton revue à la sauce géométrie différentielle par Cartan. Il y est question du fait que la mécanique classique est, tout comme la RG, une théorie ou l'espace-temps est courbe ! La différence étant qu'il n'y a pas de métrique sur l'espace-temps. Il n'y a qu'une métrique euclidienne sur les tranches spatiales (qui sont donc plates) perpendiculaires à l'axe temporel unique et absolu.
Les points intéressants pour moi sont les suivants :
-la formulation purement géométrique (sans coordonnées donc) est bien plus élégante et simple pour la RG que pour la mécanique classique.
-la formulation avec des coordonnées est par contre beaucoup plus simple pour la mécanique classique que pour la RG
-la formulation purement géométrique de la RG à beau être simple et élégante, dès qu'il y a un calcul concret à faire, il est généralement beaucoup plus simple de le mener avec un système de coordonnées, même si la formulation avec coordonnées est compliquée...

Donc bilan, conceptuellement, on a pas besoin de coordonnées, mais en pratique, c'est une autre histoire.

m@ch3

[invite6c093f92]

-la formulation purement géométrique de la RG à beau être simple et élégante, dès qu'il y a un calcul concret à faire, il est généralement beaucoup plus simple de le mener avec un système de coordonnées, même si la formulation avec coordonnées est compliquée...

Donc bilan, conceptuellement, on a pas besoin de coordonnées, mais en pratique, c'est une autre histoire.

Une petite question pour voir si je cafouilles...
Si on prend la formule elle ne porte pas sur les coordonnées (et là je mets un ? quoique pas besoin, mais on sait jamais...), elle relie des trucs sans donner d' informations sur un repère , coordonnées,ect...
Correct?
(Cela n'est pas un contre-exemple du passage quoté, mais comme je suis (encore) dans une phase où je me perds avec les concepts....).

[mach3]

la notation utilise des coordonnées (p^µ est une coordonnée contravariante d'un 4-vecteur p), mais dans le cas précis, l'équation s'écrit de manière quasi-analogue à sa version géométrique p.p=m ou encore g(p,p)=m (je prends c=1, désolé, j'ai pris le travers, trop d'influence de mes lectures).

En RG, on a souvent des expressions avec coordonnées assez biscornues comparées avec les expressions sans coordonnées qui sont souvent compactes. Notamment celle où la dérivée covariante intervient.

m@ch3