La RR sans les coordonnées (ni les référentiels)

[mmanu_F]

(je prends c=1, désolé, j'ai pris le travers, trop d'influence de mes lectures).

et il semble que vous preniez tous les deux 2=1 dans vos notations pour les puissances de m. c'est un peu excessivement minimaliste, je trouve, même pour un matheux
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[Amanuensis]

Une petite question pour voir si je cafouilles...
Si on prend la formule elle ne porte pas sur les coordonnées (et là je mets un ? quoique pas besoin, mais on sait jamais...), elle relie des trucs sans donner d' informations sur un repère , coordonnées,ect...
Correct?

Correct. On peut la lire aussi bien comme une relation entre coordonnées dans un système quelconque que comme une relation entre objets, les indices ne servant alors qu'à préciser la nature des objets et les opérations de contraction éventuelles.

En plus, ici, le "p" est utilisé pour indiquer que c'est le vecteur et la forme correspondants l'un à l'autre via la métrique.

Perso, je ne "vois pas" les coordonnées dans cette écriture là, juste une sorte de sténo pour indiquer des égalités entre tenseurs, égalités indépendantes de tout système de coordonnées. Et cela entre dans la catégorie "calcul sans coordonnées".

Le problème est que ce n'est pas toujours le cas, d'où cette présentation un peu vaseuse consistant à dire "cela se transforme comme un tenseur" ou non. Un objet est un tenseur ou pas, point. Mais comme certains "symboles" (comme les christofell) apparaissent alors écrits pareil qu'un tenseur, faut savoir par soi-même ce qui est tenseur ou pas. Avec une écriture p.p=m² il ne peut pas y avoir cette ambiguïté.

[mach3]

et il semble que vous preniez tous les deux 2=1 dans vos notations pour les puissances de m. c'est un peu excessivement minimaliste, je trouve, même pour un matheux

rhoo... oui, m²... quelqu'un peut corriger svp... (et dans le post de didier aussi, le mc² est un m²c^4, ça m'a induit en erreur en fait, j'ai recopier sans reflechir...)

m@ch3

[invite6c093f92]

Ok, merci pour les réponses.

[mmanu_F]

rhoo... oui, m²... quelqu'un peut corriger svp... (et dans le post de didier aussi, le mc² est un m²c^4, ça m'a induit en erreur en fait, j'ai recopier sans reflechir...)

m@ch3

personne ne corrige, on laisse et tu assumes pour l'éternité (tu en riras vers la fin).

[mach3]

C'est la qu'un algèbre de Clifford doit intervenir pour généraliser la notion d'angle. J'ai pas encore exploré, mais ce que je pressens, c'est qu'on va avoir à faire à des fonctions hybrides entre cos et cosh et sin et sinh avec des exponentielles ayant des quaternions comme arguments ou quelque chose du genre (angle hyperbolique comme partie réelle et 3 angles de l'espace comme parties imaginaires).

m@ch3

Je réveille un peu ce fil car j'ai eu un peu de temps pour avancer dans ma réflexion. J'ai tripoté les algèbres de Clifford, mais je n'arrive pas à grand chose, ça a encore besoin de murir, je ne suis pas prêt. En revanche j'ai quand même avancé sur mon problème du mélange des angles de l'espace et des angles hyperboliques.

Démarrons dans le cas déjà bien connu d'un triangle rectangle de genre espace, avec un petit coté de longueur , un grand coté de longueur et une hypoténuse de longueur (Pythagore). Intéressons nous à l'angle entre l'hypoténuse et le grand coté. Comme on nous l'apprend dans les petites classes (SOH CAH TOA ) on peut exprimer les sinus et les cosinus ainsi :
(rapport des longueurs du coté adjacent et de l'hypoténuse)
(rapport des longueurs du coté opposé et de l'hypoténuse)
On note que si est très petit,

Si on s'intéresse à l'angle complémentaire, appelons le , entre le petit coté et l'hypoténuse, on a :


(en effet, )

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Considérons maintenant un triangle rectangle dont le petit coté est de genre temps, tel que son carré scalaire est , avec x<1 (signature -+++), et le grand coté de genre espace de longueur 1. L'hypoténuse à donc pour longueur .
Maintenant osons! Acceptons le fait étrange (discutable et pas très conventionnel) que la longueur du petit coté (genre temps) est un imaginaire pur, et regardons ce que cela donne pour l' "angle" entre l'hypoténuse et le grand coté :
(rapport des longueurs du coté adjacent et de l'hypoténuse)
(rapport des longueurs du coté opposé et de l'hypoténuse)

On voit que le cosinus supérieur à 1, ce qui n'est pas compatible avec un angle réel. Pire, le sinus est imaginaire pur. Cependant, si on considère petit, l'approximation (appliquée naïvement) donne : l'angle serait imaginaire pur. Or, les fonctions trigonométriques peuvent être étendues des réels aux complexes, il suffit d'utiliser leur expression selon Euler. Il vient que :

(formules bien connues, je n'invente rien)

Et on a du coup, si



Les fonctions hyperboliques s'invitent d'elles mêmes. En acceptant une longueur imaginaire pure pour le petit coté de genre temps et un angle opposé imaginaire pur, on constate une certaine cohérence.

Et l'angle complémentaire , entre le petit coté de genre temps et l'hypoténuse (de genre espace), qu'en est-il?


et bien même chose qu'en pur genre espace : , ou encore : l'angle est cette fois complexe, avec comme partie réelle, ce qui inverse entre cos et sin, et donc entre cosh et sinh.

A condition de l'accepter, nous avons donc un triangle avec une longueur imaginaire pure, un angle imaginaire pur et son angle complémentaire est complexe. Et il se comporte exactement de la même manière qu'un triangle normal vis-à-vis de la trigonométrie, si ce n'est qu'on étend les fonctions sinus et cosinus au-delà des réels.

Pour finir traitons le cas d'un triangle rectangle dont le grand coté, de genre temps, est de longueur (carré scalaire ), dont le petit coté, de genre espace, est de longueur et dont l'hypoténuse, de genre temps, est de longueur (carré scalaire )
Pour l'angle entre l'hypoténuse et le grand coté


Cette fois l'approximation donne . On peut poser



Et on a du coup



L'angle complémentaire (entre l'hypoténuse genre temps et le petit coté genre espace) sera

Ca me plait assez, même si il y a des petits détails qui me chagrinent (signe de l'angle imaginaire dans le dernier cas, du au choix du signe de la longueur imaginaire du grand coté, il y a peut-être quelque chose à préciser ou une convention à poser) et ça unifie et généralise propositions faites dans les messages 27, 45, 51 et 52. On prend l'expression du produit scalaire au pied de la lettre :
,
en s'autorisant des normes imaginaires si vecteurs de genre temps et des angles imaginaires voire complexes comme arguments du cosinus dans les cas échéants.

m@ch3

[coussin]

Ce prolongement des fonctions trigonométriques à des arguments complexes (et donc à des valeurs plus grandes que 1) se rencontre fréquemment en électromagnétisme : angle d'incidence complexe pour une onde évanescente, vecteur d'onde complexe dans un band gap, etc...

[azizovsky]

Bonjour, j'ai trouvé une astuce pour passer de à l'autre

on pose (*): dans la base , la conjugaison donne :

ce qui donne=

pour : , on pose la base , càd :



(attend ?)

* Linéarisation du théorème de Pythagore .

[azizovsky]

désolé, tous est faux, l'odeur de la peinture m'a fait tourner hors.....

[azizovsky]

Bonjour, j'ai trouvé une astuce pour passer de à l'autre

on pose (*):

* Linéarisation du théorème de Pythagore .

ceci tient la route.