La RR sans les coordonnées (ni les référentiels)

[mach3]

Salut tout le monde,

J'avais déjà évoqué cette possibilité dans des messages précédents, et après quelques réflexion, je pense qu'il est temps de soumettre l'idée. Dans les discussion sur la RR les notions de coordonnées et de référentiels sont souvent le point d'achoppement. L'idée est donc de réfléchir aux différents problèmes classiques en évacuant totalement les idées de temps ou distance coordonnées ("impropre") comme de référentiels, c'est à dire en n'utilisant que des objets invariants : des lignes d'univers et des vecteurs. Les (pseudo)normes de vecteurs et les "angles" sont autorisés, pas les coordonnées.

Exemple avec les jumeau de Langevin. On note A l'évènement "le jumeau voyageur part", B l'évènement "le jumeau fait demi-tour" et C, "le jumeau est de retour". Pour simplifier, on considérera qu'entre A et C, le jumeau dit "sédentaire" est en mouvement rectiligne uniforme, de même pour le jumeau dit "voyageur" entre A et B, puis B et C.
Le sédentaire possède un 4-vecteur vitesse u1, unitaire, qui ne change pas le long de la ligne d'univers AC (c'est donc une droite). Le voyageur possède lui un 4-vecteur vitesse u2 le long de AB, puis un autre, u3, le long de BC.
Les premières relations intéressantes sont les produit (pseudo)scalaires entre ces vecteurs unitaire. On a :
(avec "ch" le cosinus hyperbolique)


Avec l' "angle" entre u1 et u2, l' "angle" entre u1 et u3, la différence entre les deux étant l'angle entre u2 et u3. Ces angles (orientés!!) sont bien-sûr liés aux vitesses relatives.

On peut s'intéresser ensuite au (pseudo)carré scalaire du vecteur AC :




On constate donc que la somme des longueurs AB et BC (qui sont les durées propres de l'aller et du retour pour le voyageur) ne peut être égale à la longueur AC (la durée propre pendant laquelle le sédentaire attend son jumeau) que si , c'est à dire et donc, vu la configuration du problème : .
On constate également que pour ,

La durée propre entre A et C est plus longue pour le sédentaire que le voyageur.

Bon ce n'est qu'une ébauche, surement un peu trop technique, mais cela ouvre peut-être des possibilités d'explications qui se passent des coordonnées et des référentiels.

Je n'ai malheureusement pas le temps de poursuivre pour l'instant.

m@ch3
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[invitec998f71d]

Il faudrait alors mettre l'accent sur ce que sont les invariants. Je ne suis pas sur du tout que la notion d'invariance de jauge parle à beaucoups.

[mach3]

Excusez moi, mais je ne vois pas vraiment ce que l'invariance de jauge vient faire ici à ce stade.
En premier lieu ce sont les invariants que sont (pseudo)produits scalaires entre 4-vecteurs dont il est question ici.

L'idée est d'aborder la RR en évitant les notions de référentiel et de coordonnées (qui peuvent être introduites apres). Elle vient du constat que les présentations courantes et classiques de la RR (dilatation du temps, contraction des longueurs et transformations de Lorentz -quand elles sont abordées) d'une part manquent l'essentiel et d'autre part n'evitent pas (et même provoquent) les incompréhensions qui font les maronniers courants notamment sur ce forum.

Je manque de temps pour continuer...

m@ch3

[invitec998f71d]

Si on se borne a contempler l'espace temps de la RR on a vite fait le tour de ses invariants.
Si on s'interesse de plus aux champs qui vivent dessus, on tombe en particulier sur les chamos EM et de matiere
et sur les differentes jauges et la physique ne depend pas de ces choix pas plus que du systeme de coordpnnees.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

L'objectif n'est pas de s'intéresser aux champs. Ce n'est pas le sujet.

m@ch3

[invite70335176]

Salut tout le monde,

J'avais déjà évoqué cette possibilité dans des messages précédents, et après quelques réflexion, je pense qu'il est temps de soumettre l'idée. Dans les discussion sur la RR les notions de coordonnées et de référentiels sont souvent le point d'achoppement. L'idée est donc de réfléchir aux différents problèmes classiques en évacuant totalement les idées de temps ou distance coordonnées ("impropre") comme de référentiels, c'est à dire en n'utilisant que des objets invariants : des lignes d'univers et des vecteurs. Les (pseudo)normes de vecteurs et les "angles" sont autorisés, pas les coordonnées.

Exemple avec les jumeau de Langevin. On note A l'évènement "le jumeau voyageur part", B l'évènement "le jumeau fait demi-tour" et C, "le jumeau est de retour". Pour simplifier, on considérera qu'entre A et C, le jumeau dit "sédentaire" est en mouvement rectiligne uniforme, de même pour le jumeau dit "voyageur" entre A et B, puis B et C.
Le sédentaire possède un 4-vecteur vitesse u1, unitaire, qui ne change pas le long de la ligne d'univers AC (c'est donc une droite). Le voyageur possède lui un 4-vecteur vitesse u2 le long de AB, puis un autre, u3, le long de BC.
Les premières relations intéressantes sont les produit (pseudo)scalaires entre ces vecteurs unitaire. On a :
(avec "ch" le cosinus hyperbolique)


Avec l' "angle" entre u1 et u2, l' "angle" entre u1 et u3, la différence entre les deux étant l'angle entre u2 et u3. Ces angles (orientés!!) sont bien-sûr liés aux vitesses relatives.

On peut s'intéresser ensuite au (pseudo)carré scalaire du vecteur AC :




On constate donc que la somme des longueurs AB et BC (qui sont les durées propres de l'aller et du retour pour le voyageur) ne peut être égale à la longueur AC (la durée propre pendant laquelle le sédentaire attend son jumeau) que si , c'est à dire et donc, vu la configuration du problème : .
On constate également que pour ,

La durée propre entre A et C est plus longue pour le sédentaire que le voyageur.

Bon ce n'est qu'une ébauche, surement un peu trop technique, mais cela ouvre peut-être des possibilités d'explications qui se passent des coordonnées et des référentiels.

Je n'ai malheureusement pas le temps de poursuivre pour l'instant.

m@ch3

Quand tu as le temps, si tu peux donner quelques infos complémentaires concernant le "ch" cosinus hyperbolique que tu places au début dans les équations.
J'essaierai de regarder du balcon (comme dit Amanuensis) pour ne pas interférer inutilement. Grand merci.

[Nicophil]

Bonjour,
Suis-je le seul à qui une telle démarche, reposant sur la négation du sens physique des coordonnées de temps et d'espace, apparaît comme un non-sens ?

La covariance ça exprime le fait que si tu prends une expérience et tout le toutim (les dispositifs) à côté (donc c'est un truc local) tu peux exprimer un résultat numérique pour une même expérience au "loin" (autre moment/vitesse/endroit (en très gros...)

c'est moi ou ce fil devient un fourre-tout...?

Continuons donc ici.

On retombe à nouveau sur la différence entre transformations covariantes active et passive...

quelle mesure sera ton "étalon"??

Un étalon n'est pas mesuré, il sert à mesurer.
Exemple : depuis que la vitesse aller-retour de la lumière sert d'étalon pour mesurer les distances, elle n'est plus mesurée.

[invite6c093f92]

Continuons donc ici.
.

Non, pourquoi polluer un fil qui a une toute autre destination? ouvre s'en un.

[mach3]

@danabc
Le cosinus hyperbolique est un cousin du cosinus. Il y a toute une trigonométrie dite hyperbolique, qui présente pas mal de similarités avec la trigonométrie "classique". Vous pouvez consulter la page Wikipedia.

Dans l'espace euclidien, le produit scalaire de 2 vecteurs peut s'ecrire comme le produit des normes multiplié par le cosinus de l'angle. A noter qu'un produit scalaire, une norme ou un angle sont des invariants euclidien, c'est à dire qu'ils ne dépendent pas d'un éventuel choix de coordonnées x, y, z pour les vecteurs considérés.

Parallèlement, dans l'espace de Minkowski, qui est la structure mathématique support de la relativité restreinte, on peut definir une opération similaire au produit scalaire mais le cosinus hyperbolique intervient au lieu du cosinus.

Cela est lié à la métrique qui est à la base du produit scalaire. La métrique est une "machine" (un tenseur, histoire de dire un gros mot) dans laquelle on met 2 vecteurs et qui donne un nombre (le produit scalaire). Notamment, si on y met deux fois le même vecteur, on obtient le carré scalaire, le carré de la longueur de ce vecteur (d'où le nom de métrique).
Dans l'espace euclidien, la métrique est "definie positive", c'est à dire qu'un produit scalaire sera toujours positif et que si le carré scalaire est nul, le vecteur est nul.
Ce n'est pas le cas dans l'espace de Minkowski, qui est plus riche : il y a des vecteurs de genre "temps", dont le carré scalaire est positif*, de genre "espace" dont le carré est négatif* et de genre nul (ou encore lumière) dont le carré est nul alors qu'ils ne sont pas le vecteur nul.
Le sens du cosinus hyperbolique est très clair dans produit de deux vecteurs de genre temps formant un angle : il s'agit du facteur gamma, lié à la vitesse relative .

* : le signe dépend d'une convention, c'est un choix arbitraire, l'important c'est que les genres temps et espace aient des carrés de signes opposés

m@ch3

[chaverondier]

Dans les discussion sur la RR les notions de coordonnées et de référentiels sont souvent le point d'achoppement. L'idée est donc de réfléchir aux différents problèmes classiques en évacuant totalement les idées de temps ou distance coordonnées ("impropre") comme de référentiels, c'est à dire en n'utilisant que des objets invariants : des lignes d'univers et des vecteurs. Les (pseudo)normes de vecteurs et les "angles" sont autorisés, pas les coordonnées.

Un système de coordonnées n'est certes pas un objet invariant. Par contre, un référentiel inertiel, à savoir un partitionnement de l'espace temps de Minkowski en "observateurs" (ils n'observent rien) inertiels comobiles (c'est à dire en droites parallèles de type temps) est bien un objet invariant. C'est d'ailleurs tout l'intérêt de la distinction entre ces deux notions très différentes.

On ne doit donc pas confondre référentiel inertiel et système de coordonnées (confusion pas encore clairement corrigée dans Wiki). Contrairement à un système de coordonnées, un référentiel est un objet géométrique, autrement dit, au même titre qu'une durée propre ou une distance propre, un référentiel inertiel est invariant lors d'un changement de systèmes de coordonnées.

Par ailleurs (c'est autre chose) un référentiel est (globalement) invariant lors des rotations spatiales et des translation spatio-temporelles qui lui sont associées (les observateurs du référentiel inertiel considéré changent de place dans ce référentiel mais forment toujours le même référentiel). Un référentiel inertiel :

• ne repère pas la position des observateurs qui y sont au repos (les droites parallèles de type temps dont il est formé)
• ne repère pas non plus les instants (les hyperplans parallèles qui lui sont pseudo-orthogonaux et dont la famille forme elle aussi un objet géométrique associée au référentiel inertiel considéré).

Un référentiel inertiel repère un état de mouvement.

[azizovsky]

Bonjour, il existe un changement de variables pour simplifier les choses: on'a :

[azizovsky]

on pose : ce qui donne:

avec

[azizovsky]

avec ce changement de variable, on peut écrire:

[Amanuensis]

Un système de coordonnées n'est certes pas un objet invariant. Par contre, un référentiel inertiel, à savoir un partitionnement de l'espace temps de Minkowski en "observateurs" (ils n'observent rien) inertiels comobiles (c'est à dire en droites parallèles de type temps) est bien un objet invariant. C'est d'ailleurs tout l'intérêt de la distinction entre ces deux notions très différentes.

??? À quel sens de "invariant"? Si c'est "invariant par isométrie (= difféomorphisme conservant la forme métrique)", alors un référentiel inertiel n'est pas plus invariant qu'un système de coordonnées.

Or pour moi, invariant dans l'espace-temps de Minkowski signifie bien "invariant par isométrie", par tout élément du groupe de Poincaré.

À ce titre, genre de vecteur, durée et longueurs propres de chemins de genre constant, (pseudo-)normes de vecteurs, angles sont bien des invariants. Mais pas un référentiel inertiel.

Par contre l'ensemble des référentiels inertiels est invariant par une isométrie, et est même un espace homogène pour le groupe des isométries de l'espace tangent (induit par les isométries de l'espace-temps). C'est cette homogénéité qui fait l'intérêt de cette classe de référentiels.

On ne doit donc pas confondre référentiel inertiel et système de coordonnées (confusion pas encore clairement corrigée dans Wiki). Contrairement à un système de coordonnées, un référentiel est un objet géométrique, autrement dit, au même titre qu'une durée propre ou une distance propre, un référentiel inertiel est invariant lors d'un changement de systèmes de coordonnées.

Oui, au sens où un référentiel (quelconque) est défini comme un champ (différentiable) de vecteurs unitaires, ce qui est bien la définition d'un objet géométrique. À l'instar d'un événement, d'un vecteur ou d'un champ scalaire, il est invariant par changement de système de coordonnées (ce qui ne signifie pas "invariant par isométrie").

Par ailleurs (c'est autre chose) un référentiel est (globalement) invariant lors des rotations spatiales et des translation spatio-temporelles qui lui sont associées (les observateurs du référentiel inertiel considéré changent de place dans ce référentiel mais forment toujours le même référentiel).

Là, on parle d'isométries. Et seulement de référentiel inertiel, c'est à dire des champs constants (on note ici V le vecteur). Un tel champ est donc invariant par toute translation d'espace-temps, ainsi que par les isométries ponctuelles laissant V invariant (1). C'est à dire les rotations spatiales de l'espace perpendiculaire à V. Mais cela n'inclut pas toutes les "rotations spatiales" de l'espace-temps, effectivement seules les "rotations spatiales associées".

(1) Au sens de l'isométrie de l'espace tangent induite par l'isométrie de l'espace-temps.

Un référentiel inertiel :

ne repère pas la position des observateurs qui y sont au repos (les droites parallèles de type temps dont il est formé)

En tant que partitionnement d'un ouvert de l'espace-temps, on peut voir un référentiel (quelconque) comme un ensemble de lieux. Et si par "repérer" on comprend utiliser un étiquetage de l'ensemble de lieux pour indiquer une caractéristique, alors un référentiel est bien un moyen de repérer la position d'un événement de l'ouvert. Un observateur au repos est par définition un observateur ne changeant pas de lieu, et est donc bien en une position repérée par le référentiel, toujours la même.

ne repère pas non plus les instants (les hyperplans parallèles qui lui sont pseudo-orthogonaux et dont la famille forme elle aussi un objet géométrique associée au référentiel inertiel considéré).

Dépend ce qu'on comprend là.

Un référentiel inertiel dans l'espace-temps de Minkowski définit une unique foliation en hyperplans pseudo-orthogonaux à V. Cette foliation est une variété de dimension 1, et peut donc être étiquetée (datation) par un intervalle de R. Cette étiquetage est bien (au sens précédemment indiqué) une manière de repérer un événement.

Un référentiel permet donc de repérer un événement par un couple (instant, lieu), "instant" étant le réel de la datation de l'hyperplan (unique) auquel l'événement appartient, et le lieu l'étiquette de l'unique ligne du référentiel à laquelle l'événement appartient.

Au final, un événement est repéré par (t, X), grâce à un référentiel(+datation), à comparer avec un repérage en coordonnées (t, x, y, z), permis grâce à un système de coordonnées.

[Amanuensis]

Personnellement je distingue trois types de calculs en RR:

1) Les calculs en coordonnées, demandant le choix arbitraire d'un système de coordonnées, typiquement orthogonal et de type 1+3, à savoir une coordonnée temporelle, trois spatiales, et les vecteurs induits sur le tangent orthogonaux entre eux. Un événement est repéré par quatre réels (t, x, y, z), et un vecteur dans la base (∂, ∂, ∂)

2) Les "calculs en composantes", demandant le choix arbitraire d'un référentiel inertiel+datation, un événement étant repéré comme instant-lieu, (t, X). Un vecteur est traité comme objet géométrique non repéré, tout comme les instants et les lieux (*). La datation est typiquement un temps propre pour un immobile.

(*) On ne considère pas qu'un objet géométrique est repéré par lui-même.


3) Les "calculs" géométriques, n'utilisant ni coordonnées, ni composantes. Ces calculs sont invariants par isométrie, les données comme les résultats étant des invariants par isométries. Mais les situations ne sont pas invariantes par isométries, celles-ci étant vues comme des transformations "actives" ; les situations sont caractérisées par des invariants par isométries. On peut voir une situation comme une instance d'une classe de situations, cette classe étant globalement invariante par isométrie.

Le sujet de ce fil est uniquement le troisième cas, à ce que j'en comprends. Et cela exclut les référentiels comme méthode de repérage.

[Amanuensis]

, et un vecteur dans la base (∂, ∂, ∂)

Oubli de complétion, lire:

, et un vecteur dans la base (∂_t, ∂_x, ∂_y, ∂_z)

[chaverondier]

??? À quel sens de "invariant"?

En un même sens qu'un évènement par exemple. Un évènement ne change pas si on change de système de coordonnées.

Un référentiel inertiel dans l'espace-temps de Minkowski définit une unique foliation en hyperplans pseudo-orthogonaux à V. Cette foliation est une variété de dimension 1, et peut donc être étiquetée (datation) par un intervalle de R. Cet étiquetage est bien une manière de repérer un événement.

un instant de ce référentiel inertiel (un hyperplan de simultanéité) pas un évènement. Pour repérer un évènement avec un système de coordonnées associé à ce référentiel inertiel il faut, en plus de cet étiquetage temporel, un étiquetage spatial des observateurs (un système de coordonnées spatiales et là on a alors un système de coordonnées complet).

Au final, un événement est repéré par (t, X), grâce à un référentiel...

grâce à un système de coordonnées (pas grâce à un référentiel, c'est là que se situe la différence). Ce système de coordonnées peut-être, par exemple, un système de coordonnées associant une date aux hyperplans de simultanéité d'un référentiel inertiel donné et un système de coordonnées spatiales aux observateurs de ce référentiel (les droites parallèles de type temps formant ce référentiel inertiel).

[Amanuensis]

En un même sens qu'un évènement par exemple. Un évènement ne change pas si on change de système de coordonnées.

C'est juste la notion d'objet géométrique, quelque chose qui est, en soi ; et ce indépendamment de toute méthode de description (donc de système de coordonnée ou de référentiel utilisés comme moyen de description).

Perso je ne parle pas de cette invariance, qui va de soi. Je ne vais dire "Paris est invariant", ou "le sacre de Napoléon est invariant". (C'est dans les "indépendances"--par rapport à des méthodes de description--, pas dans les "invariances": Paris est un objet indépendant du choix de système latitude/longitude, par exemple.)

un instant de ce référentiel inertiel (un hyperplan de simultanéité) pas un évènement. Pour repérer un évènement avec un système de coordonnées associé à ce référentiel inertiel il faut, en plus de cet étiquetage temporel, un étiquetage spatial des observateurs (un système de coordonnées spatiales et là on a alors un système de coordonnées complet).

Réponse qui ne prend pas en compte l'usage que je fais de "repérer", et donc ne contredit en rien mon texte.

(Mais ce n'est pas la première fois que je vois ce type de réponse, qui ne prend pas en compte le texte auquel cela répond.)

grâce à un système de coordonnées (pas grâce à un référentiel, c'est là que se situe la différence).

Pareil. Repérer avec un référentiel (notions de composantes l'une étant un lieu) ne demande pas de système de coordonnées, dans la terminologie que j'ai employée. Le "grâce à un système de coordonnées" montre une non prise en compte de mon texte.

(Ce type de rhétorique va m'amener à arrêter tout dialogue, je ne suis pas intéressé par ce genre de jeu.)

[chaverondier]

(Ce type de rhétorique va m'amener à arrêter tout dialogue, je ne suis pas intéressé par ce genre de jeu.)

Peut-être que je n'ai pas su le dire clairement. L'essentiel de la distinction entre référentiel et système de coordonnées se résume à ceci :

• Un système de coordonnées repère des évènements.
• Un référentiel repère un état de mouvement.

Par ailleurs, il y avait pas mal de points dans votre précédent message avec lesquels j'étais d'accord. Je ne les ai donc pas repris.

[ordage]

Salut tout le monde,

J'avais déjà évoqué cette possibilité dans des messages précédents, et après quelques réflexion, je pense qu'il est temps de soumettre l'idée. Dans les discussion sur la RR les notions de coordonnées et de référentiels sont souvent le point d'achoppement. L'idée est donc de réfléchir aux différents problèmes classiques en évacuant totalement les idées de temps ou distance coordonnées ("impropre") comme de référentiels, c'est à dire en n'utilisant que des objets invariants : des lignes d'univers et des vecteurs. Les (pseudo)normes de vecteurs et les "angles" sont autorisés, pas les coordonnées.

Exemple avec les jumeau de Langevin.

m@ch3

Salut
A mon avis, cette approche de type "covariant" est hautement recommandée puisqu'elle correspond à la nature de la théorie (RR et RG).
Dans le paradoxe de Langevin, effectivement, s'intéresser aux lignes d'univers des protagonistes (celui resté sur Terre et l'autre) répond à cette approche. La mesure du temps propre des protagonistes a un caractère "objectif" donc ne dépend pas du référentiel dans lequel on le fait. Dans d'autres fils j'avais proposé une démo de type "covariant" pour l'effet Sagnac, en reprenant et généralisant une méthode que Langevin avait proposée en 1921 pour contrer l'argument que cela invalidait la RG .
Cordialement

[mach3]

Un système de coordonnées n'est certes pas un objet invariant. Par contre, un référentiel inertiel, à savoir un partitionnement de l'espace temps de Minkowski en "observateurs" (ils n'observent rien) inertiels comobiles (c'est à dire en droites parallèles de type temps) est bien un objet invariant. C'est d'ailleurs tout l'intérêt de la distinction entre ces deux notions très différentes.

Le fait est que la confusion est trop fréquente et que même les personnes en ayant une compréhension plus approfondie ne sont pas tout à fait d'accord sur ce que le terme référentiel recouvre ou ne recouvre pas (l'échange qui précède en donne l'exemple d'ailleurs) : le terme semble polysémique. Du coup, ne pas du tout utiliser ce(s) concept(s) au départ (contrairement à ce qui est fait d'ordinaire) me semble plutôt approprié, qu'il soit invariant ou pas.

1) Les calculs en coordonnées, demandant le choix arbitraire d'un système de coordonnées, typiquement orthogonal et de type 1+3, à savoir une coordonnée temporelle, trois spatiales, et les vecteurs induits sur le tangent orthogonaux entre eux. Un événement est repéré par quatre réels (t, x, y, z), et un vecteur dans la base (∂, ∂, ∂)

2) Les "calculs en composantes", demandant le choix arbitraire d'un référentiel inertiel+datation, un événement étant repéré comme instant-lieu, (t, X). Un vecteur est traité comme objet géométrique non repéré, tout comme les instants et les lieux (*). La datation est typiquement un temps propre pour un immobile.

cette dénomination des choses est-elle fréquente? ce que je lis en ce moment est en anglais et j'y trouve "components" et "coordinates" avec un sens quasi-identique, alors qu'ici, "calcul en coordonnées" et "calcul en composantes" semblent tout de même différents.

m@ch3

[Amanuensis]

cette dénomination des choses est-elle fréquente? ce que je lis en ce moment est en anglais et j'y trouve "components" et "coordinates" avec un sens quasi-identique, alors qu'ici, "calcul en coordonnées" et "calcul en composantes" semblent tout de même différents.

Non, c'est un choix mien. En français "composantes" est peu utilisé, et je prends la liberté de le redéfinir pour les besoins dans le contexte.

D'ailleurs j'ai mis l'expression entre guillemets, et l'ai définie.

sur ce que le terme référentiel recouvre ou ne recouvre pas (l'échange qui précède en donne l'exemple d'ailleurs)

Si cela concerne les échanges entre Chaverondier et moi, il y a maldonne: nous utilisons la même définition pour référentiel (i.e., un partitionnement en ligne d'Univers).

C'est correct qu'il y a d'autres usages du mot référentiel, mais pas pertinent ici.

S'il y a incompréhension ou désaccord, c'est sur les notions d'invariance et d'indépendance.

===================

En fait, pour moi l'usage de "invariant" dans le message #1 est ambigu (et peut-être est-ce là la source de la divergence par la suite, et le besoin que j'ai de préciser) : dans

"des lignes d'univers et des vecteurs. Les (pseudo)normes de vecteurs et les "angles" sont autorisés, pas les coordonnées."

les lignes d'Univers et les vecteurs sont pour moi des "objets", qui sont descriptibles indépendamment de tout système de coordonnées. Alors que pseudo-normes et angles sont des invariants (par isométrie). C'est quelque part la différence entre transformation passive (changement de coordonnées, ce qui pour moi n'est pas une transformation des objets (*)) et transformation active (une isométrie).

Que ce soit avec ou sans coordonnées, les situations décrites sont "invariantes" non pas au sens qu'elles sont stables par isométries (une ligne d'Univers donnée n'est pas stable par toutes les isométries, par exemple), mais au sens où une isométrie (transformation active) donne une situation de même propriétés, qui sont, elles, invariantes au sens où propriétés(S) = propriétés(transformée(S)). Une propriété est invariante si conservée lors d'une transformation par isométrie. Ce qui est le cas des pseudo-normes et des angles, entre autres.

D'où la règle pour un travail sans coordonnées: la situation doit être décrite par des propriétés invariantes, les résultat sont donnés sous forme de propriétés invariantes, et les calculs sont faits uniquement avec des propriétés invariantes. Exemple: quand on écrit "soit une ligne d'Univers", on dit en fait soit un objet, dont une propriété est d'être une ligne (une fonction d'un intervalle de R vers les événement) et d'être de tangente partout de genre temps ; la ligne en elle-même n'est pas invariante par isométrie, mais une isométrie conserve les deux propriétés indiquées.

(*) Un changement de coordonnées est une transformation dans R^4, une isométrie de R^4, pas de l'espace-temps, pas des objets dans l'espace-temps.)

[Nicophil]

avec ce changement de variable, on peut écrire:

C'est relié à l'inversion de Laguerre ? https://en.wikipedia.org/wiki/Spheri...transformation

[azizovsky]

C'est relié à l'inversion de Laguerre ? https://en.wikipedia.org/wiki/Spheri...transformation

non, c'est un simple calcul trigonométrique. (rien avoir avec le poids de ...)

[azizovsky]

ce facteur existe sous une autre signification en MQ en remplacent ce qui donne :

avec vecteur d'onde.

(voir MQ , tome 2 de C.C.tannoudji ,sous forme d'exemple...)

[Zefram Cochrane]

on pose : ce qui donne:

avec

Salut,
Azisofsky m'ayant devancé je recopie son message à l'identique ou presque.

v =Th(n) = dt/dx est la vitesse (n la rapidité)
Ch(n) = dt/dt° est le facteur de Lorentz
Sh(n)=dx/dt° est la célérité.

sur le shéma, \alpha est représenté par O.

Voici mon pense-bête

[mach3]

merci de ne pas trop vous égarer. Je ne tiens pas à ce que ce fil parte en tout sens.

L'une des principales difficultés que j'identifie dans mon approche est que les relations vectorielles sans coordonnées à exprimer pour un problème de RR donné ne sont pas triviale comparativement au relations entre coordonnées, qui viennent pour ainsi dire naturellement (quand on sait ce qu'on fait, cela dit).
Je suis en train de me faire une sorte de petit lexique de relations, qui va ensuite me permettre de traiter différents problèmes. Pour l'instant je me limite aux cas 1D d'espace, car je n'arrive pas encore à bien gérer l'interférence entre l'angle hyperbolique entre vecteur genre temps et l'angle euclidien qui peut apparaitre entre vecteurs de genre espace. Evidemment, je triche en usant des coordonnées pour mettre au jour ces relations, en faisant une sorte de "reverse-engineering".

1er point :

Soit u0 et v0, deux vecteurs unitaires de genre temps formant un angle (tous deux orientés vers le futur, c'est à dire avec u0.v0>0), et u1 et v1, deux vecteurs unitaires de genre espace (tous deux orientés dans la même direction, c'est à dire avec u1.v1<0), orthogonaux à u0 et v0 respectivement. On a les relations suivantes :







m@ch3

[Amanuensis]

Mieux vaudrait mettre des indices en latin, et même plutôt a,b que i,j, pour éviter d'y voir des coordonnées.

[mach3]

c'était juste pour écrire deux lignes au lieu de quatre

au passage ta boite est pleine.

m@ch3

[Amanuensis]

c'était juste pour écrire deux lignes au lieu de quatre :S

Ce n'était pas mon point. La suggestion était d'écrire plutôt



Les "usages" pour les indices muets sont: indices grecs pour coordonnées en 4d, indices latins (typiquement i) pour coordonnées 3D.

Bien sûr, on n'est pas obligé de les respecter, mais ça aide à la lecture...

au passage ta boite est pleine.

Pris en compte.