Différences modèle de Debye, modèle d'Einstein (phonons & co)

[invite8f6d0dd4]

Bonsoir,

J'aimerai mieux comprendre les modèles de Debye et d'Einstein sur certains points.

On prend un cristal 3D composé de N "noeuds".

Tout d'abord dans le modèle d'Einstein on modélise notre système comme composé de N oscillateurs harmoniques 3D indépendant vibrants tous à la même fréquence w.

On trouve comme énergie moyenne :

Dans le modèle de Debye, on a également N oscillateurs harmoniques indépendant, mais on introduit en plus le vecteur d'onde k traduisant la propagation d'une onde le long du réseau.
Pour avoir l'énergie moyenne, somme sur tous les vecteurs d'ondes possibles l'énergie moyenne du modèle de Einstein :



Ce que j'aimerai comprendre c'est pourquoi dans le second modèle on a la notion de vecteur d'onde qui rentre en compte et pas dans le premier ?

Bien sur les deux modèles sont différents mais si on a la notion de vecteur d'onde qui doit intervenir alors elle doit intervenir dans le modèle d'Einstein (la notion de vecteur d'onde n'est pas du tout évoquée dans le modèle d'Einstein).

Est-ce que dans le modèle d'Einstein on suppose implicitement qu'on a qu'un seul vecteur d'onde qui peut se propager dans le système ?

Merci !
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[invite8f6d0dd4]

Pour clarifier mon propos :

Est ce que dans le modèle d'Einstein on suppose implicitement qu'on a un seul mode de propagation (donc un seul vecteur d'onde possible, ce qui implique une seule fréquence temporelle), ce qui permet de ne pas sommer sur k l'énergie moyenne (vu qu'on a qu'un seul dans le système)?

[Resartus]

Bonjour,
Question intéressante, que je découvre...

Le wikipedia anglais donne pas mal d'explications

https://en.wikipedia.org/wiki/Debye_model

Si j'ai bien compris, le modèle de debye suppose que les phonons peuvent occuper toutes les fréquences sous multiples d'un maximum (qui est celui de l'opposition de phase entre deux atomes voisins), alors que celui d'einstein suppose des oscillateurs à une seule fréquence.

On peut aligner les deux modèles entre posant cette fréquence unique égale à la fréquence maximum de debye pour chaque direction.
(d'où le facteur 3 entre les deux modèles : N atomes mais 3 directions indépendantes pour Debye, et 3N oscillateurs pour Einstein

Avec un nombre de degrés de liberté et une énergie maximale identiques, la statistique de type bose einstein va donner le même type de courbe à haute température.

A température plus basse, la possibilité offerte dans le modèle de Debye d'occuper des niveaux d'énergie intermédiaire va donner un résultat différent du tout ou rien du modèle d'Einstein (mais finalement pas tant que cela, quand on voit les courbes...)

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Je ne comprends pas "On peut aligner les deux modèles entre posant cette fréquence unique égale à la fréquence maximum de Debye pour chaque direction."

En effet si on fait ça ça n'égalisera que le plus haut terme fréquentiel du modèle de Debye avec le modèle d'Einstein (mais le modèle de Debye contient la somme sur toutes les autres fréquences en plus).

Peut-on dire que le modèle d'Einstein c'est un modèle qui "ignore" le comportement collectif (on raisonne sur la fréquence d'un oscillateur donné en disant qu'ils oscillent tous à la même fréquence ce qui revient à dire que c'est comme si nos oscillateurs étaient tous infiniment loin et ne se parlaient pas du tout), alors que le modèle de Debye prend en compte le caractère collectif (relation de dispersion entre k et w, conditions aux limites sur k etc). Dans les deux cas on a pas d'oscillateur couplés mais dans le modèle de Debye on prend quand même en compte l'onde globale qui va évoluer sur le réseau alors que pour Einstein on se pose pas du tout cette question, dans ce dernier on se dit juste "ok, chaque noeud oscille à omega".

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]