Tenseur énergie impulsion

[invitecb53bab6]

Bonjour,

Dans la plupart des textes que j'ai eu l'occasion de lire sur la relativité générale, on définit des tenseurs énergie-impulsion dans des cas très particuliers: par exemple pour la poussière ou pour un fluide parfait. Mais qu'en est-il du cas général? Comment s'assurer qu'un tel tenseur (présent dans l'équation d'Einstein) peut être défini en chaque point de l'espace temps?

J'ai fait plusieurs recherches et je ne trouve pas de réponses quant à la définition générale de ce tenseur. J'ai vu quelque part que l'on peut le définir à partir à partir d'un lagrangien mais je suis loin d'être un expert en la matière. De plus on ne trouve jamais l'expression de ce lagrangien. Comment montrer qu'il existe ?

merci pour vos réponses
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[Deedee81]

Salut,

Concernant la définition, tu as wikipedia par exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseu...rgie-impulsion
Bien que je suppose que tu avais déjà regardé et donc que ça ne te satisfait pas (mais alors, pourquoi ???)
Voir aussi en anglais, c'est un petit peu plus précis.

On y dit notamment que les composantes correspondent à des densité d'énergie ou a des densité de moments (impulsions) ou de flux de moments.
Il est clair que ça existe en tout point pour toute matière.


Effectivement, il peut être défini à partir du lagrangien. Sous forme relativiste. Pour tout système présentant une invariance par translation dans l'espace et dans le temps correspond une quantité conservée (Noether) qui n'est rien d'autre que ce tenseur énergie-impulsion. Ce n'est pas expliqué en détail dans les articles Wikipedia sur le théorème de Noether. Mais on trouve facilement des articles là-dessus, comme celui-ci par exemple http://rmf.smf.mx/pdf/rmf/52/1/52_1_29.pdf

A noter que même s'il n'y a pas invariance, le tenseur existe quand même (défini de la même façon) mais il n'est alors pas conservé.

[invitecb53bab6]

Merci Deedee, oui effectivement je ne suis pas très satisfait par les explications que j'ai pu trouver jusqu'à maintenant.

En effet, si on prend wikipedia par exemple, les différentes composante du tenseur sont nommés "densité volumique d'énergie" et "densités de moments", mais qu'est-ce que cela signifie vraiment? On n'a pas de formules ou de procédés qui nous permettent de définir ces termes...

Toujours sur wikipedia, dans la rubrique construction, le paragraphe commence par la phrase:

Pour une théorie décrite par une densité lagrangienne L , l'action s'écrit comme une intégrale sur l'espace-temps

On ne sait pas ici comment est définie cette densité Lagrangienne... On en a aucune expression.


Merci pour le lien sur le théorème de Noether, je vais essayer de comprendre l'article mais là encore apparemment, le lagrangien n'est pas défini.

[Deedee81]

En effet, si on prend wikipedia par exemple, les différentes composante du tenseur sont nommés "densité volumique d'énergie" et "densités de moments", mais qu'est-ce que cela signifie vraiment? On n'a pas de formules ou de procédés qui nous permettent de définir ces termes...

Là, je ne te comprend pas. L'énergie, le moment (l'impulsion), ... sont des quantités bien définies en physique (et donc aussi les densités).

On ne sait pas ici comment est définie cette densité Lagrangienne... On en a aucune expression.

Pour ce qui est de la définition, je ne peux que te renvoyer à la mécanique analytique. Déjà dans l'encyclopedia universalis (si tu y as accès) je trouve que c'est super bien expliqué (tout en n'étant pas trop long).

Pour ce qui est de l'expression, c'est normal qu'on en donne pas : elle est différente pour chaque système physique !!!! Mais c'est typiquement énergie cinétique - énergie potentielle (pour les cas pas trop tordus).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Pour ce qui est de la définition, je ne peux que te renvoyer à la mécanique analytique. Déjà dans l'encyclopedia universalis (si tu y as accès) je trouve que c'est super bien expliqué (tout en n'étant pas trop long).

Dans wikipedia, ça ne me semble pas trop mal non plus : https://fr.wikipedia.org/wiki/Lagrangien

Mais j'aime mieux la présentation dans l'encyclopedia universalis où ils partent du principe des travaux virtuels pour arriver à la formulation lagrangienne (puis hamiltonienne, là c'est plus classique comme présentation).

[Amanuensis]

En effet, si on prend wikipedia par exemple, les différentes composante du tenseur sont nommés "densité volumique d'énergie" et "densités de moments", mais qu'est-ce que cela signifie vraiment? On n'a pas de formules ou de procédés qui nous permettent de définir ces termes...

Le tenseur densité d'énergie-impulsion est une "moyenne", celle de la "quantité" d'énergie-impulsion dans un petit domaine spatio-temporel.

Comme pour tous les tenseurs, on le comprend mieux comme opérateur, avec une entrée et un résultat. Et comme souvent, il y a plusieurs manières de présenter le tenseur comme un opérateur.

En l'espèce, c'est une densité tensorielle d'une quantité qui est un vecteur (l'énergie impulsion). C'est la valeur locale pour un 4-volume infinitésimal. Un 4-volume peut être vu comme comme un tenseur totalement antisymétrique d'ordre 4, mais plus couramment est vu comme un scalaire, en prenant son dual. De même un tenseur totalement antisymétrique d'ordre 3 peut être représenté par son dual, un vecteur. Penser au vecteur normal à une surface, c'est pareil: une hypersurface en 4D a un "vecteur normal".

Appliquer une densité à un vecteur normal à une hypersurface donne le "flux", ce qui "passe à travers" une portion infinitésimale de l'hypersurface (là encore, penser à l'usage qu'on peut faire de la normale à une surface en 3D).

En appliquant la densité tensorielle d'énergie-impulsion à un vecteur vu comme "normal à une hypersurface", on obtient la quantité d'énergie-impulsion qui "passe à travers" l'hypersurface. Pour comprendre cela en 4D minkowskien, faut distinguer les deux cas: si l'hypersurface est un volume spatial, alors "ce qui passe à travers" est la densité spatial volumique d'énergie-impulsion (le mouvement de traversée est dans le temps). Si l'hypersurface est temporo-spatiale, la "traversée" est celle d'une surface spatiale et le temps, c'est un flux au sens usuel: la quantité qui traverse la surface par unité de temps.

Une densité tensorielle combine donc la densité spatiale instantanée et le flux surfacique.

Dans un premier temps essayer de comprendre le cas d'une densité tensorielle d'une quantité scalaire (particules par exemple (1)), cela donne un 4-vecteur, une densité et trois flux (avec des coordonnées usuelles) ; puis appliquer cela à une quantité elle-même vectorielle, ce qui donne un tenseur d'ordre 2 ; c'est le cas de la densité tensorielle d'énergie-quantité de mouvement.

(1) Si on prend des particules massiques sans interactions entre elles (poussière) on peut s'intéresser à la densité du scalaire donnant la masse, cela donne la diagonale de la densité tensorielle d'énergie quantité de mouvement.

[invitecb53bab6]

Là, je ne te comprend pas. L'énergie, le moment (l'impulsion), ... sont des quantités bien définies en physique (et donc aussi les densités)

Mais alors que serait mathématiquement une densité de moment? Comment la calculer dans une configuration quelconque?

Mais j'aime mieux la présentation dans l'encyclopedia universalis où ils partent du principe des travaux virtuels pour arriver à la formulation lagrangienne (puis hamiltonienne, là c'est plus classique comme présentation).

Malheureusement je n'ai pas accès à l'encyclopédie universalis. Je vais aller faire un tour sur wikipedia. Toutefois j'ai l'impression qu'il n'y a pas de définition rigoureuse du terme lagrangien. Par exemple on peut se demander comment Hilbert a fait pour trouver l'action qui porte son nom...
A-t-il fait plusieurs essais de lagrangiens jusqu'a trouver celui qui donne l'équation d'Einstein par le principe de moindre action?

Le tenseur densité d'énergie-impulsion est une "moyenne", celle de la "quantité" d'énergie-impulsion dans un petit domaine spatio-temporel.

merci Amanuensis. Si j'ai bien compris on prend le quadri-moment de chaque particule dans un petit volume spatio-temporel et on divise par le volume?

[Amanuensis]

Si j'ai bien compris on prend le quadri-moment de chaque particule dans un petit volume spatio-temporel et on divise par le volume?

Non. Cela ne donnerait qu'un vecteur, qu'on peut interpréter comme la densité spatiale d'énergie (composante temporelle) et la densité spatiale d'impulsion (les composantes spatiales).

[invitecb53bab6]

Non. Cela ne donnerait qu'un vecteur, qu'on peut interpréter comme la densité spatiale d'énergie (composante temporelle) et la densité spatiale d'impulsion (les composantes spatiales)

J'ai finalement relu ton post et je pense avoir compris. J'ai d'ailleurs pu retrouver l'expression du tenseur énergie-impulsion pour la poussière.
Maintenant je vais me familiariser avec le principe de moindre action pour pouvoir comprendre la définition du tenseur énergie-impulsion avec le lagrangien.