RDM, pont encastree, 2 charges ponctuelles, moment et deformee

[chaverondier]

J'ai le meme probleme mais avec une charge uniformement repartie. Quelqu'un a t 'il la reponse ?

A quelle question ? S'agit il d'une poutre sur deux appuis simples d'inertie constante ? D'une poutre encastrée à ses deux extrémités d'inertie constante ? Si la poutre est encastrée à ses deux extrémités
* sa flèche au centre vaut f = FL^3/(384 EI)
* les moments d'encastrement valent M = - FL/12
* le moment à l'abscisse x vaut M(x) = -(FL/12 +(x/L)(x/2)F-(F/2)x)

On peut trouver tout ça dans des formulaires. Si c'est autre chose que vous voulez savoir, il faut le préciser de façon plus explicite.

Par exemple, si votre poutre est encastrée à ses deux extrémités et n'a pas une inertie constante, alors il faut calculer les moments inconnus M1 et M2 en chacun des deux encastrements (deux inconnues hyperstatiques M1 et M2 si le problème n'est pas symétrique). Pour calculer M1 et M2 on exprime que la rotation au niveau des appuis est nulle. Pour cela, le plus simple est de considérer l'énergie de flexion W de la poutre et de résoudre le système de deux équations à deux inconnues moment M1 et M2 (moments inconnus d'encastrement à gauche et à droite)

C_11 M1 + C_12 M2 + alpha1 = 0
C_21 M1 + C_22 M2 + alpha2 = 0

Les coefficients C_ij sont les coefficients de souplesse de la poutre. Plus précisément, C_ij est la constante de proportionnalité entre l'angle rotation de la poutre au niveau de l'encastrement i sous l'action d'un moment exercé au niveau de l'encastrement j. Tant qu'on fait des calcul linéaires, les coefficients C_ij ne dépendent pas du chargement de la poutre.

alpha_1 et alpha_2 désignent les angles de rotation de la poutre, en ses appuis 1 et 2 et sous l'action du chargement qui lui est appliqué, quand la poutre est sur deux appuis simples (cad quand on a M1=M2=0).

Si W désigne l'énergie de flexion de la poutre alors:
W = intégrale de (1/2) (M^2/EI) dx le long de la poutre
C_ij = @^2W/(@M_i@M_j)
alpha_i = @W/@M_i
BC
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[invite1673f24c]

En fait mon probleme est plus complexe dans sa totalite.Je le decris :

Il s'agit de poutres en bois dans un batiment classe.
Je veux eviter d'avoir a les demonter pour les faire tester en laboratoire (une petite fortune car il y a 350 poutres dans le batiment), ou de jeter les poutres pour etre sur de la qualite (ce que suggere l'ingenieur civil) alors qu'elles sont superbes.

ces poutres sont encatsrees aux 2 extremitees.
Je veux apliquer une charge connue au milieu de chaque poutre pour mesurer la deformee et en deduire le module de Young.
Puis avec le module en deduire la charge uniformement repartie qu'elle peut supporter pour voir si cela correspond a la norme pour l'usage donne de 150 kg/m2.
On peut considerer que le bois est isotrope compte tenu que les fibres sont dans l'axe des poutres).

Je dois preparer la feuille de calcul mais mon dernier cours de RDM date de 1973 ,,,,

Merci d'avance.

Andre

[chaverondier]

Il s'agit de poutres en bois dans un batiment classe. Je veux eviter d'avoir a les demonter pour les faire tester en laboratoire (une petite fortune car il y a 350 poutres dans le batiment), ou de jeter les poutres pour etre sur de la qualite (ce que suggere l'ingenieur civil) alors qu'elles sont superbes. Ces poutres sont encastrees aux 2 extremites. Je veux appliquer une charge connue au milieu de chaque poutre pour mesurer la deformee et en deduire le module de Young.
Puis avec le module en deduire la charge uniformement repartie qu'elle peut supporter pour voir si cela correspond a la norme pour l'usage donne de 150 kg/m2.
On peut considerer que le bois est isotrope compte tenu que les fibres sont dans l'axe des poutres.

Pour ce qui est de déduire le module de young E de la flèche f dans ce cas très simple d'une poutre encastrée d'inertie constante, la formule a déjà été donnée : f = Fl^3/(192 EI) si la force est concentrée, f = Fl^3/(384 EI) si la charge est uniformément répartie avec I = bh^3/12, b largeur de la poutre et h hauteur de la poutre.

Par contre, je ne vois pas en quoi, la valeur du module de Young E fournirait une information fiable et suffisante pour garantir la résistance de la poutre à la rupture (résistance à la rupture qui, a priori, n'a guère de rapport avec le module élastique). S'il y a des doutes, il me semblerait nettement plus prudent d'envisager (par exemple) l'une des solutions suivantes

Solution 1

On teste toutes les poutres en respectant les conditions d'encastrement et avec, si possible, la charge répartie demandée par la norme multipliée par le coefficient de sécurité approprié (quelque chose de probablement compris entre 1,5 et 3). On doit pouvoir trouver ou calculer (d'après le type de bâtiment et son usage) la charge répartie et coefficient de sécurité exigés dans des documents à caractère règlementaire.

On se rabat sur l'application d'une charge concentrée F égale à (2/3) de la charge répartie que l'on aurait appliquée dans le cas où réaliser le chargement par une charge concentrée est vraiment beaucoup plus facile à mettre en oeuvre (avec la même remarque sur la sécurité des personnes qui réalisent l'essai)

Il faut toutefois veiller à procéder d'une façon qui ne mette pas en danger les personnes qui réaliseront cet essai (et/ou le bâtiment lui-même si jamais les poutres étaient testées sur place). Si le risque existe et s'avère inacceptable, il faudra choisir une autre solution.

Il est à noter toutefois que vouloir calculer soi-même la charge à appliquer pour être conforme à une règlementation, trouver soi-même le coefficient de sécurité à appliquer compte tenu des exigences de cette même règlementation et faire réaliser ce type d'essai par des personnes ne possédant pas une compétence reconnue dans le domaine de la charpente en bois me semble des plus hasardeux. Dans une opération de ce type, il vaut beaucoup mieux (me semble-t-il) s'appuyer sur les compétences d'un organisme ayant une compétence reconnue dans le domaine de la charpente en bois.

De toute façon, si jamais dans l'avenir un sinistre intervenait pour une raison quelconque (pas forcément lié à vos poutres) ça m'étonnerait que votre assurance vous couvre si les choses ne sont pas faites dans les règles de l'art.

Solution 2 (appliquable si les poutres ont les mêmes caractéristiques)

* Faire faire, par un organisme qualifié, un essai si nécessaire destructif (c'est un point à discuter) sur une dizaine de poutres (le chiffre de 10, sorti du chapeau, est lui aussi à discuter) parmi celles qui semblent les plus douteuses ou encore les plus critiques (en terme de contrainte sigma = (FL/12)/(I/v)) en appliquant une charge uniformément répartie (et en respectant les conditions d'encastrement).

* En déduire la charge moyenne F_moy provoquant la rupture et la dispersion de cette charge de rupture (ou encore la limite de rupture Ru_moy et sa dispersion si les charges, les dimensions ou les portées des 350 poutres diffèrent).

* En déduire la charge répartie admissible (ou la contrainte admissible) en enlevant à la moyenne F_moy un nombre approprié d'écarts type (nombre d'écart type à tirer, dans toute la mesure du possible, d'une règlementation ou de son interprétation)

* Vérifier si la charge ainsi obtenue (ou calculée pour chacune des poutres à partir de la contrainte admissible) est acceptable au regard de la règlementation

Les mêmes réserves s'appliquent aussi dans ce 2ème cas, et les indications ci-dessus n'ont d'autre but que de dégrossir très vaguement des idées de solution. Peut-être la solution que vous voulez éviter (à cause de son coût) est-elle la meilleure. C'est à voir. Une fois une option retenue, il me semble nécessaire de discuter de l'option envisagée et de faire valider l'ensemble de la démarche par un organisme compétent engageant sa responsabilité. BC

[invitebf11fdcb]

je pose

la déformée est
pour x<a


pour x>a

Vous allez me trouver lourd, mais je comprend pas ...
Je suppose que ça ne doit pas être évident à vulgariser pour les non-mécanicien ou que surtout j'ai pas le background nécessaire...

pour x<a, tu utilises comme hypothèse poutre indéformable, donc M(x)=0. Pour trouver la déformée y(x) il faut 2 conditions initiales y0 et y'0. On sait que y0=0. Mais pour la seconde condition y'0=??? comment fait on?...

Le E.I utilisé dans la formule correspond à E.I de la poutre x>a ? Qd tu intgres sur x<a, pourquoi c'est le E.I de la partie x>a qui intervient?...

pour x>a, je ne vois tjrs pas comment on trouve le moment malgré les explications de chaverondier ...

Bref, si tu peux m'aider un peu plus ... Ce serait sympa.

Sur une poutre AB, prenons le point A comme origine, l'axe AB comme axe des x et appelons z l'axe horizontal perpendiculaire à x. Le moment de flexion M(x) de la poutre AB au point P d'abscisse x est le moment autour de l'axe Pz des forces qui s'exercent sur le tronçon de poutre PB (le tronçon de poutre situé à droite du point P).

Supposons que l'on y trouve
* une force verticale F1 orientée vers le bas située au point P1 d'abscisse x1
* une force verticale F2 orientée vers le bas située au point P2 d'abscisse x2
* une réaction d'appui verticale notée B orientée vers le haut au point B d'abcisse L.
Alors le moment de flexion M(x) de la poutre au point P d'abscisse x vaut:
M(x) = -F1x(x1-x) -F2(x2-x) + A(L-x)

Moi j'aurais écris :
pour x<P1 : T(x)=A , M(x)=A(x1-x), A=réaction au point A
pour P1<x<P2 : T(x)=A-F1 , M(x)=A(x1-x) -F1(x2-x)
pour x>P2 : T(x)=A-F1-F2 , M(x)=A(x1-x) -F1(x2-x) -F2(L-x)
....Bref, de toute évidence j'ai rien compris ...

[chaverondier]

Alors le moment de flexion M(x) de la poutre au point P d'abscisse x vaut: M(x) = -F1x(x1-x) -F2(x2-x) + A(L-x)

Qu'il faut (bien sûr) corriger en M(x) = -F1x(x1-x) -F2(x2-x) + B(L-x) (rappelons que j'ai considéré le cas où les forces F1 et F2 s'appliquent sur le tronçon PB, où P est le point d'abscisse x)

Moi j'aurais écris : pour x<P1 : T(x)=A , M(x)=A(x1-x), A=réaction au point A

pour x<x1 T(x) = -A (avec les conventions de signes les plus souvent utilisées du moins) et M(x) = Ax (ou encore M(x) = -F1x(x1-x) -F2(x2-x) + B(L-x), ça donne le même résultat)

pour P1<x<P2 : T(x)=A-F1 , M(x)=A(x1-x) -F1(x2-x)

pour x1<x<x2 :
T(x)=-A+F1 , M(x)= Ax -F1(x1-x) (ou encore M(x) = -F2(x2-x)+ B(L-x)

pour x>P2 : T(x)=A-F1-F2 , M(x)=A(x1-x) -F1(x2-x) -F2(L-x)

pour x>x2 : T(x)=-A+F1+F2 = B , M(x)=Ax -F1(x1-x) -F2(x2-x) ou encore M(x) = B(L-x)
BC

[invite1673f24c]

Par contre, je ne vois pas en quoi, la valeur du module de Young E fournirait une information fiable et suffisante pour garantir la résistance de la poutre à la rupture (résistance à la rupture qui, a priori, n'a guère de rapport avec le module élastique). S'il y a des doutes, il me semblerait nettement plus prudent d'envisager (par exemple) l'une des solutions suivantes BC

En fait les limites autorisees correspondent a des deformees maximales (souvent 2% de la portee) pour une charge au metre carree donnee et pas a des points de rupture.
Ces charges dependent du type d'utilisation du batiment.

A titre indicatif, les avantage que l'on aurait a eviter d'envoyer les poutres en laboratoire au dela du cout :
1) Pour demonter les poutres on devrait faire de gros degats dans les murs.
2) la resistance du bois depend d'element telles que l'humidite.
3) reproduire en laboratoire des encastrements similaire est problematique. (dans notre cas elles sont encastre dans la totailite du mur soit 1m).

Les tests destructifs sur des echantillons de monuments historiques equivalent a detruire un picasso (il en a peint beaucoup) pour analyser son style. Donc a mon point de vue a eviter

Plus important : En calculant le module de Young des poutres existantes. Nous pouvons le comparer avec le module de Young normal pour le bois des poutres et en deduire leur etat de facon fiable.

Donc la question devient :
Connassant le module de Young et les dimensions de la poutre. Comment calculer la charge uniformement repartie provoquant la deformee maximale autorisee.

Connaissant la charge uniformement repartie et la surface je peux calculer la charge au m2 correspondante et la comparer a la reglementation.

Merci pour votre aide

[Chup]

pour x<a, tu utilises comme hypothèse poutre indéformable, donc M(x)=0.

Non, M(x) n'est pas nul, mais je considère M(x)/EI nul (c'est la courbure).

Pour trouver la déformée y(x) il faut 2 conditions initiales y0 et y'0. On sait que y0=0. Mais pour la seconde condition y'0=??? comment fait on?...

On ne connait pas y'0, mais il y a autant d'inconnues que de conditions aux limites : la réaction au centre et quatre constantes d'intégration, pour deux conditions à l'encastrement (position et pente), deux conditions de continuité là où on applique la force, et une condition de poisiton au centre.

Le E.I utilisé dans la formule correspond à E.I de la poutre x>a ? Qd tu intgres sur x<a, pourquoi c'est le E.I de la partie x>a qui intervient?...

Partout c'est le EI de la partie x>a, l'autre a disparu car je l'ai considéré comme très grand devant celui-la. Il interviant partout car la réaction au centre en dépend. On peut tout exprimer en fonction des EI des deux parties qui alors interviennent dans les déformées dans les deux régions.

pour x>a, je ne vois tjrs pas comment on trouve le moment malgré les explications de chaverondier ...

Bref, si tu peux m'aider un peu plus ... Ce serait sympa.


Moi j'aurais écris :
pour x<P1 : T(x)=A , M(x)=A(x1-x), A=réaction au point A
pour P1<x<P2 : T(x)=A-F1 , M(x)=A(x1-x) -F1(x2-x)
pour x>P2 : T(x)=A-F1-F2 , M(x)=A(x1-x) -F1(x2-x) -F2(L-x)
....Bref, de toute évidence j'ai rien compris ...

Là vous n'utilisez pas la symétrie, ce qui complique pas mal : il y a 3 zones, et aux encastrement (x=0 pour vous) il y a en plus un moment résultant.

En prenant pour origine le milieu de la poutre, il y a deux zones x<a et a<x<L. avec la force F en x=a.
alors
x<a, T(x) = -A et M(x) = Ax
x>a, T(x) = -(A+F) et M(x) = -Fa+(A+F)x

reste à intégrer, appliquer les CL pour trouver A et les constantes d'intégration pour vérifier ce que j'ai trouvé...

[chaverondier]

Moi j'aurais écris :
pour x<P1 : T(x)=A , M(x)=A(x1-x), A=réaction au point A
pour P1<x<P2 : T(x)=A-F1 , M(x)=A(x1-x) -F1(x2-x)
pour x>P2 : T(x)=A-F1-F2 , M(x)=A(x1-x) -F1(x2-x) -F2(L-x)

Là vous n'utilisez pas la symétrie, ce qui complique pas mal : il y a 3 zones, et aux encastrement (x=0 pour vous) il y a en plus un moment résultant.

En fait, Chaehoi évoquait un cas (plus simple) que j'avais fourni à titre d'exemple car il voulait un exemple simple pour illustrer un calcul de moment.

J'avais d'abord présenté le cas d'un gars qui manoeuvrait une clé à pipe. Ensuite javais présenté le cas d'une poutre AB sur deux appuis simples A et B (donc sans moments d'encastrement inconnus) avec deux forces F1 et F2 sur la poutre toutes deux orientées vers le bas. J'ai fourni la correction du calcul de moment en http://forums.futura-sciences.com/post629768-35.html . BC

[chaverondier]

En fait les limites autorisees correspondent a des deformees maximales (souvent 2% de la portee) pour une charge au metre carree donnee et pas a des points de rupture. Ces charges dependent du type d'utilisation du batiment.

Ok, donc la méthode repose sur des exigences ou recommandations fournies par une règlementation, ce qui est un point essentiel. Malgré tout, je me demande si les exigences règlementaires vous placent en sécurité pour le cas qui vous occupe. Cette méthode, je peux la comprendre pour des poutres neuves, car cela permet de vérifier si leur dimensionnement est correct, mais cette méthode valide-t-elle le cas qui nous concerne ici (savoir si les poutres sont toujours en bon état du point de vue de leur résistance alors qu'on vérifie seulement leur rigidité et qu'elles ont un age respectable) ?

Reproduire en laboratoire des encastrements similaires est problematique. (dans notre cas elles sont encastrees dans la totalite du mur soit 1m).

Voila qui me rassure sur l'hypothèse d'encastrement, hypothèse souvent sujette à caution en pratique.

Plus important : En calculant le module de Young des poutres existantes, nous pouvons le comparer avec le module de Young normal pour le bois des poutres et en deduire leur etat de facon fiable.

Voilà une information que j'ignorais (je n'ai jamais fait de calculs d'ouvrages en bois) et elle est essentielle.

Donc la question devient :
Connaissant le module de Young et les dimensions de la poutre. Comment calculer la charge uniformement repartie provoquant la deformee maximale autorisee.
Connaissant la charge uniformement repartie et la surface je peux calculer la charge au m2 correspondante et la comparer a la reglementation.

Bon, maintenant que je suis rassuré sur la méthode, sur son accord avec la règlementation en vigueur et sur certaines hypothèses (au vu des éléments que vous venez de fournir) c'est effectivement très simple (à un point près qui est celui de pouvoir réaliser l'essai sur place sans riques pour ceux qui le réalisent et sans risque pour le batiment, mais c'est votre problème).

La mesure de la flèche f_essai = F_essai L^3/(192 EI) sous l'action d'une force F_essai concentrée placée au milieu d'une poutre de portée L, d'inertie I et de module élastique E encastrée à ses deux extrémités permet d'obtenir EI (donc E si on le souhaite car I = bh^3/12 avec une poutre de largeur b et de hauteur h).

Si la flèche admissible vaut f_ad = .02 L pour une charge répartie, la charge répartie maximale admissible F_ad que peut supporter votre poutre en restant conforme à la flèche limite f_ad vérifie

f_ad = F_ad L^3/(384 EI)

D'où f_ad/f_essai = (1/2) F_ad/F_essai (le 1/2 = 384/192 traduit le fait que l'essai a été réalisé dans le cas plus défavorable d'une charge F_essai concentrée). D'où une charge répartie admissible F_ad sur votre poutre

F_ad = 2 F_essai X f_ad/f_essai

Ceci est valide à condition que vous ayez un comportement suffisamment linéaire de votre poutre jusqu'à la charge répartie F_ad pour laquelle vous seriez censé trouver une flèche égale à f_ad = 0.02 L si vous faisiez l'essai. BC

[Chup]

Avec une seule question il semble que je m'y perd déjà alors il faudrait peut-être mettre ce qui concerne la question de andleg sur un autre fil...

[invite1673f24c]

Bon, maintenant que je suis rassuré sur la méthode, sur son accord avec la règlementation en vigueur et sur certaines hypothèses (au vu des éléments que vous venez de fournir) c'est effectivement très simple (à un point près qui est celui de pouvoir réaliser l'essai sur place sans riques pour ceux qui le réalisent et sans risque pour le batiment, mais c'est votre problème). BC

Merci pour vos notes de calcul. A titre indicatif la norme francaise
EN 384 : Bois de structure
Determination des valeurs caracteristiques des proprietes mecaniques et de la masse volumique

Couvre le sujet et est complemente par la norme NF P 03-200 concernant les constats d'etat paraistaires

et la norme EN 519
Specification pour le bois classe par machine
Qui defini les conditions de mesure pour le module d'Young.

Normalement le constat parasitaire (NF P 03-200) complete par une evaluation visuelle du bois (NFB 52- 001) permettent de determiner la resistance du bois (module Young dans des tableaux) utilise pour les claculs.

Les mesures systematiques (EN 384 et EN 519) ne sont normalement requises que pour classer le bois MSR (autorise a utiliser des coefs de securite inferieur)http://http://strategis.ic.gc.ca/epi.../fb01418f.html

Dans le cas d'un vieux batiment la mesure systematique (si le constat parasitaire et l'evaluation visuelle ont etees bien faites) ont une utilite de garantie et une utilite psycologique pour combler la mecoannaisance du bois et surtout du vieux bois par les ingenieurs civils. Alors autant la faire de facon economique et non destructrice.
Ca a deja ete etudie
www.gcms.fpms.ac.be/publi/articles/wood/article.pdf
Mais je prefaire mesurer la flexion que planter des clous pour calculer le module d'Young.

Merci pour votre aide et votre competence.

Je vais ouvir une autre discussion pour le calcul de structures heterogenes.Plancher beton sur poutres bois...

Cordialement

Andre

[invitebf11fdcb]

Avec mes notations, j'ai un axe x le long de la poutre avec l'origine au centre (je ne traite que la partie x>0, l'autre se déduit par symétrie), la force F verticale en x=a et l'encastrement en x = L.
Pour simplifier l'écriture, je pose

la déformée est
pour x<a

pour x>a

J'ai fait les calculs, je ne trouve pas comme toi...
Voici le detail: x<a := segment [AB] ; a<x<L := segment [BC]
la reaction de l'appui:

pour x<a : ;

pour a<x<L : ;

Conditions initiales : y(L)=0, y'(L)=0 , on en deduit :



Conditions initiales2 : je remplace x=a dans les expressions trouvees plus haut :
;

[AB] courbure=M/EI=0

de la condition initiale y(a) on en deduit :

different de tes expressions ???
J'ai pas utilise la conditioninitiale y(0)=0 ??? on en a pas besoin???
Je ne vois pas ou j'aurais pu faire une erreur???... J'ai peut etre omis qqchose?...

[Chup]

Comment déterminez-vous la réaction de l'appui ?
Pour moi, c'est une inconnue qui est déterminée avec la dernière condition aux limites....

[chaverondier]

J'ai fait les calculs, je ne trouve pas comme chup.
Voici le detail: x<a := segment [AB] ; a<x<L := segment [BC]
la reaction de l'appui:

pour x<a : ;

pour a<x<L : ;

Vos calculs ne prennent pas en compte le moment d'encastrement M_a inconnu en A (que l'encastrement exerce sur la poutre). Il est pris nul dans votre calcul ce qui correspond à l'hypothèse d'un appui simple en A au lieu d'un encastrement. Pour trouver le moment d'encastrement inconnu M_a, le plus simple c'est d'exprimer l'absence de rotation en A comme suit:

C M_a + alpha = 0
C coefficient de souplesse en rotation de la poutre au niveau de l'appui A sous l'action d'un moment M_a appliqué à la poutre en A. On a C=@^2W/@M_a^2 avec, pour l'énergie élastique de flexion W
W = intégrale (1/2) M(x)^2/EI dx, donc
C = intégrale de u(x)^2/EI dx, avec u(x) = @M/@M_a = x/L-1,
soit par intégration
C = (1/3)L(1-(1-a/L)^3)/(E1I1) (en négligeant la souplesse de flexion E2I2 du tronçon 2 situé en x>a)

alpha désigne l'angle de rotation au niveau de l'appui A que l'on obtiendrait s'il n'y avait pas d'encastrement en A.
alpha = @W/@M_a = intégrale de u(x) M(x)/EI dx
où M(x) désigne le moment qu'il y aurait en x s'il n'y avait pas de moment M_a d'encastrement en A soit,
M(x) = F(1-a/L)x donc, alpha = intégrale F(1-a/L)x(x/L-1)/EI dx,
par intégration alpha = -FL^2(1-a/L)[(1/2)(a/L)^2 -(1/3)(a/L)^3]/(E1I1)

L'équation C M_a + alpha = 0 donne le moment d'encastrement inconnu M_a au niveau de l'appui A. M_a = -alpha/C soit
M_a =FL^2{(1-a/L)(a/L)^2(3-2a/L)/(6E1I1)}/{L(1-(1-a/L)^3)/(3E1I1)}
M_a =(FL/2)(1-a/L)(a/L)^2(3-2a/L)/(1-(1-a/L)^3)
M_a =(FL/2)(1-a/L)(a/L)(3-2a/L)/(1+1-a/L+(1-a/L)^2)
M_a =(Fa/2)(1-a/L)(3-2a/L)/(3-3a/L+a^2/L^2)

Il suffit alors de calculer l'effort tranchant T(x) et le moment de flexion M(x) de la poutre en tenant compte du moment d'encastement M_a trouvé.

Pour x<a
T(x) = -F(1-a/L)-M_a/L
M(x) = -M_a(1-x/L)+F(1-a/L)x

Pour a<x<L
T(x) = Fa/L-M_a/L
M(x) = -M_a(1-x/L)+F(1-a/L)x -F(x-a), soit
M(x) = -M_a(1-x/L)+Fa(1-x/L) . BC

[Chup]

Vos calculs ne prennent pas en compte le moment d'encastrement M_a inconnu en A

Je crois que le calcul concerne la figure du message #26, pour lequel le moment en A et nul par symétrie.

[chaverondier]

Je crois que le calcul concerne la figure du message #26, pour lequel le moment en A et nul par symétrie.

A mon avis, dans son calcul, le moment serait nul des deux côtés si (en plus de l'oubli du moment d'encastrement inconnu) son calcul ne contenait pas une deuxième erreur.

Dans le calcul que j'ai présenté, j'ai mis l'encastrement en A (sur le tronçon souple). Du coup, "a" désigne la longueur du tronçon souple et pas celle du tronçon rigide (il a une longueur L-a). C'est conforme à ce que j'avais compris, à savoir que le tronçon rigide est au milieu (ce n'est pas lui qui est encastré).

D'ailleurs, si les deux portions encastrées étaient rigides, et la portion centrale souple, la déformée serait nulle. BC

[invitebf11fdcb]

Le schema reste le suivant : miroir_simplifiee.jpg

Comment déterminez-vous la réaction de l'appui ?
Pour moi, c'est une inconnue qui est déterminée avec la dernière condition aux limites....

Effectivement j'avais pose a tort etant la reaction de l'appui pour une poutre homogene chargee ...
En posant inconnu et en utilisant la derniere condition initiale, je trouve bien comme vous.

la déformée est
pour x<a

qui donne directement la tangente de l'angle de déflexion du miroir

pour x>a

Cependant cette solution ne considere effectivement pas le moment a l'encastrement M (Rmq de Chaverondier).
Il y a bcp de terme que je rencontre pour la premiere fois ...

On a C=@^2W/@M_a^2 avec, pour l'énergie élastique de flexion W

Que represente le terme "@" ??

C = intégrale de u(x)^2/EI dx, avec u(x) = @M/@M_a = x/L-1,
soit par intégration
C = (1/3)L(1-(1-a/L)^3)/(E1I1)

Pour moi l'integrale donnerait plustot : , j'integre sur [0,a] ???

alpha = intégrale F(1-a/L)x(x/L-1)/EI dx, par intégration alpha = -FL^2(1-a/L)[(1/2)(a/L)^2 -(1/3)(a/L)^3]/(E1I1)

Ici aussi mon integrale ne donne pas le mm resultat, moi j'obtien : ???

Dans la suite du calcul des efforts tranchants T(x) et des moment M(x), il faut considere l'appui comme une inconnu (Rmq de Chup) et non F(1-a/L)

Pour x<a
T(x) = -F(1-a/L)-M_a/L
M(x) = -M_a(1-x/L)+F(1-a/L)x

c quoi les conventions de signes???? moi j'aurais ecris :
si T(x) = -F(1-a/L)-M_a/L
M(x) = +M_a(1-x/L)+F(1-a/L)x ?????

Je continu les calculs ....

[chaverondier]

Le schema reste le suivant : http://forums.futura-sciences.com/at...1&d=1148400891 .

Dans ce cas, le miroir c'est le tronçon de rigidité de flexion E1I1 et la lame souple le tronçon de rigidité E2I2. Dans mes formules, j'ai au contraire un encastrement en A et un appui simple en B. La lame souple encastrée en A a une longueur a et le miroir de demi longeur b=L-a est en appui simple sur B.

Il y a bcp de termes que je rencontre pour la premiere fois ...Que represente le terme "@" ??

La flemme d'écrire la dérivée partielle en LateX.

Pour moi l'integrale donnerait plutot : , j'integre sur [0,a] ???

C'est l'intégrale de (x/L -1)^2 (pas celle de [x/(L-1)]^2 qui ne serait d'ailleurs pas une expression homogène). L'intégration se fait juste sur [0,a] car après j'ai le miroir dont la rigidité de flexion E2I2 est supposée infinie dans mon calcul.

Ici aussi mon integrale ne donne pas le meme resultat, moi j'obtiens :

Même remarque L^2-L n'est pas homogène.

c'est quoi les conventions de signe???? moi j'aurais ecris :
si T(x) = -F(1-a/L)-M_a/L
M(x) = +M_a(1-x/L)+F(1-a/L)x ?????

Le moment noté M_a c'est le moment que l'encastrement exerce sur la poutre et pas le moment que la poutre exerce sur l'encastrement (de même que RA, la réaction d'appui en A représente une action de l'appui sur la poutre et non une action de la poutre sur l'appui).

Selon les conventions de signe adoptées pour le moment fléchissant, on peut donc avoir:

M(x) = -M_a(1-x/L)+F(1-a/L)x ou
M(x) = M_a(1-x/L)-F(1-a/L)x

Mais pas M(x) = +M_a(1-x/L)+F(1-a/L)x

La convention de signe adoptée pour le moment fléchissant M(x) consiste à considérer le moment au point P d'abcisse x de l'action que le tronçon droit PB exerce sur le tronçon gauche AP. C'est donc le moment autour de P des actions qui s'exercent sur le tronçon PB.

Ce moment est compté positivement quand il "tourne" dans le sens trigonométrique (c'est à dire quand les forces situées sur le tronçon PB tendent à courber la poutre vers le bas au voisinage de P).

On notera qu'exercer un moment M_a positif au niveau de l'appui A (cad forcer la poutre à tourner dans le sens trigonométrique en A) crée bien une courbure orientée vers le bas correspondant à un moment fléchissant négatif. BC

Pour les résultats que j'ai fournis, vous pourrez remarquer (à titre de recoupement) que la formule donnée pour le moment d'encastrement M_a de la lame souple de longueur a,

M_a = (Fa/2)(1-a/L)(3-2a/L)/(3-3a/L+a^2/L^2)

donne lieu à un moment fléchissant
M(x)= -M_a(1-x/L)+F(1-a/L)x pour x<a
M(x)= -M_a(1-x/L)+Fa(1-x/L) pour a<x<L

* qui s'annulle bien pour tout x>a quand la force F est sur l'appui A (cas où a=0)
* qui s'annulle bien pour tout x<a quand le force F est sur l'appui B (cas où a=L)
* qui vaut sensiblement M(0) = -Fa/2 (donc au niveau de l'encastrement situé en A dans mon calcul) quand a/L est petit. Cela correspond bien à la forme en S que prend la lame souple (encastrée dans le miroir rigide et sur l'appui A) avec un point d'inflexion à la distance a/2 et un effort tranchant qui tire vers le bas à cet endroit avec une force voisine de F dans ce cas. BC

[mécano41]

Bonjour,

J'ai traité le problème par symétrie, comme je l'avais dit dans un précédent post, en prenant une poutre encastrée d'un côté et en appui de l'autre. J'ai procédé par double intégration sur les domaines A à B puis B à C, en corrigeant le produit E.I (côté encastré) par un coefficient avant de calculer les constantes d'intégration. J'ai fait cela pour une poutre sur deux appuis avec une force placée à la jonction des deux parties de E.I différents (CAS 1) puis sur la même poutre mais avec un moment côté encastrement (CAS 2). J'ai ensuite calculé le moment d'encastrement en disant que les pentes à l'encastrement sont égales en valeur absolue mais de signes contraires. Il suffit ensuite d'ajouter les pentes et les flèches des deux cas pour obtenir le cas final. Je l'ai mis sur EXCEL en ajoutant des courbes de référence avec EI constant. Ça semble marcher parfaitement !

Je mets ici les équations et leurs coefficients pour les deux cas, mais il serait intéressant que je puisse faire passer l'application EXCEL , cependant je ne sais pas comment faire sur FUTURA.

CAS 1 :

Pente de A à B

Pente de B à C

Flèche de A à B

Flèche de B à C

avec :








CAS 2 :

Pente de A à B

Pente de B à C

Flèche de A à B

Flèche de B à C

avec :







Et pour le moment d'encastrement :



Je peux donner les calculs mais c'est sur papier et je n'ai pas de scanner (par fax éventuellement mais je ne sais pas si ça sera clair)

A CHAEOI : si tu veux que je te passe l'application donne-moi une adresse E-mail en courrier personnel.

Bon courage

[chaverondier]

Moment d'encastrement :
où

Avec K=+00 correspondant à un miroir de rigidité de flexion E1I1 infinie, votre formule donne un moment d'encastrement en B:
M = -(Pa/2)(1-a/L)(1+2a/L)/(1+a/L+a^2/L^2)

C'est aussi le moment d'encastrement que j'ai trouvé (en A dans mon calcul) à condition de remplacer le "a" de ma formule (qui représente la longueur de la lame souple dans mon calcul) par b = L-a. En effet, dans votre calcul la longueur de la lame souple se note b=L-a (conformément au schéma transmis par chaehoi, schéma que je n'avais pas regardé, si bien que j'avais modélisé la moitié gauche de la poutre au lieu de la moitié droite). J'obtiens donc bien la même chose que vous à une symétrie près.

J'ai vérifié aussi la rotation alpha = y'1(L) en B sous un moment M exercé sur l'extrémité B d'une poutre d'inertie constante (K=1) sur deux apppuis simples (votre cas 2). Votre formule donne : y'1(L) = -ML/(3EI). On trouve bien ce résultat à condition d'orienter l'axe des y vers le bas, convention de signe confirmée par les vérifications suivantes (en comptant cependant positivement le moment M quand il "tourne" dans le sens trigonométrique).

J'ai vérifié aussi la rotation alpha=y'1(L) que vous obtenez en B avec vos formules sous une charge P orientée vers le bas, placée au milieu (a=L/2) d'une poutre d'inertie constante (K=1) sur deux appuis simples. L'application de votre formule donne bien y'1(L) = - PL^2/(16EI) ce qui est le bon résultat (toujours en orientant l'axe des y vers le bas).

Enfin, j'ai vérifié que votre formule donne bien une flèche y(L/2) = PL^3/(48 EI) quand une force P orientée vers le bas est appliquée au milieu de la portée L d'une poutre d'inertie constante (K=1) sur deux appuis simples (l'axe des y étant orienté vers le bas).

Je n'ai pas eu le courage de terminer par une 5ème vérification : celle de la flèche dans le cas d'application d'un moment M en B sur une poutre d'inertie constante sur deux appuis simples.

Cela dit, les formules se simplifient beaucoup avec K=+00 (miroir très rigide). BC

[invitebf11fdcb]

Bonjour,
Apres reflexion (et j'espere ne pas dire de betises...), le #post25 de Chup est un bon resultat.

la déformée est
pour x<a :
pour x>a :

Il n'est pas necessaire de calculer le moment a l'encastrement. Ce qui differencie l'encastrement d'un appui simple c'est y'=0 dans le cas de l'encastrement. Cette condition est prise en compte dans la resolution proposee par Chup.
Si on considere le schema : schema miroir_simplifiee.jpg (je l'ai remis au cas ou, mais c le mm, il n'a pas change),
on ecrit bien :
pour x<a : , ; etant la reaction de l'appui en
pour a<x<L : ,
La condition d'encastrement n'interviendrait qu'au moment de l'integration...
Je crois que c'est correct ...., il me semble...??

Je serais curieux de comparer les courbes excel de cette solution avec la solution proposee par Mecano41 ...

A Mecano41 : je t'envoie mon adress ...

[Chup]

Dans la solution que j'ai proposé, le moment d'encastrement est égal au moment fléchissant en x=L, on peut donc comparer les deux solutions en espérant avoir le même résultat pour ne pas avoir à refaire le cacul... Je verifierai demain si j'ai en peu de temps.

[mécano41]

Bonjour,

Le fichier EXCEL vient de partir. Suite à ta demande, je te donne un peu plus d'explications sur la méthode employée :

Pour le cas 1, j'écris les deux équations (domaine AB et BC) en partant du moment fléchissant correspondant sous la forme :



J'intègre deux fois ce qui donne :

Pente de A à B

Pente de B à C

Flèche de A à B

Flèche de B à C

Dans la troisième je dis que pour X=0, y1=0 on en déduit que C3=0

Dans la quatrième, je dis que pour x=L, y=0, ce qui donne une première équation (1), en C2 et C4

J'égale les deux équations des flèches en remplaçant E1I1 par KEI. Ce qui donne une deuxième équation, (2) en C2 et en C4

J'égale les deux équations des pentes en remplaçant E1I1 par KEI. Ce qui donne une troisième équation, (3) en C1 et en C2

Je résouds le système (1), (2), (3) ce qui donne les trois premiers coeff. que j'avais indiqués.

Je procède de la même manière pour le cas 2, avec le moment fléchissant

Je résouds un autre système de trois équations en C5, C6 et C8 ce qui donne les autres coeff. que j'avais indiqués.

Pour trouver le moment d'encastrement M, J'écris que pour x=L, les pentes en C du cas 1 et du cas 2 sont de valeurs absolues identiques mais de signes contraires.

Je reporte M dans les équations du cas 2.

C'est long et pénible avec beaucoup d'erreurs possibles mais ça se fait ! (je n'ai pas envie de tout écrire en LaTex car il y en a 6 pages et je rajouterais sûrement des erreurs)

Bon courage

P.S : Personne ne sait comment faire partager un fichier EXCEL sur FUTURA SCIENCES ?

[invitebf11fdcb]

P.S : Personne ne sait comment faire partager un fichier EXCEL sur FUTURA SCIENCES ?

Peut etre qu'en renommant le fichier .xcl en .txt , ça pourrait marcher.

[mécano41]

Bonjour,

J'ai terminé l'application EXCEL de ce problème. Si quelqu'un la veut , il lui suffit de me laisser une adresse E-mail en message personnel.

A bientôt

[invitebf11fdcb]

J'ai refait les calculs de Mécano41, je trouve les mm expressions y, y', les mm ctes et le mm moment a l'encastrement. (Calcul avec Maple)
Il faut bien sûr corriger la faute de frappe

à la place de .

Les expressions de Chup ont aussi été vérifiées et validées (par Maple).

Si je prend l'hypothèse du miroir indéformable, .. , avec , Les expressions de Mécano41 sont les mm que celles de Chup !!MAIS!! à un coefficient 12 prés ??



Etrange, les calculs sont bons mais pourtant il ya ce coeff12 ???

J'ai verifier ... Pour le moment je ne vois pas d'où celà pourrait venir.... Je continu de chercher, je vous tiens au courant.

[invitebf11fdcb]

Bonjour,

Desole pour le precedent message. Une etourderie lors des verifications.

Les expressions de Mécano41 et de Chup sont bien les mm si on considere la partie centrale indeformable. Deux methodes differentes conduisant aux mm resultat, je crois qu'on a valide le bon resultat.

Je tiens a tous vous remercier pour votre aide et contributions. Merci beaucoup.

A.C

[invite95cacb7e]

salut tout le monde svp je suis etudiant en genie civil et j'ai un examen de résistance des matériaux une grande partie ca sera sur le principe de superposition des contraintes...svp eske il ya kelkin qui a des exos sur ce chapitre..svp merci