Evolution de la pression dans un réservoir

[gloups13]

Bonsoir tous le monde. Je suis bloqué sur un problème de thermodynamique.
Je vous montre ce que j'ai fait.

Soit un réservoir A contenant de l'air sous pression. Ce réservoir est relié à une pompe (pompe à pied de vélo) par l'intermédiaire d'un tuyau muni d'une vanne commandée. Sur la tige du piston, il y a une masse M.

Initialement, la tige du piston est rentrée dans son corps. (piston en position basse)
Soit P₀ la pression atmosphérique
S la section du piston
P_A0 la pression initiale dans le réservoir A.
R : constante des gaz parfaits

Je suppose bien sur que P_A0>P₀+

A un instant "t" , j'ouvre la vanne.
Le piston monte jusqu'à arriver en butée.
Ensuite, j'ouvre une autre vanne (non représenté) qui permet d'évacuer l'air du piston dans l'atmosphère.
Ainsi, le piston reprend sa position initiale: en butée en bas.
Ma question: Combien de fois je pourrais faire monter et descendre complètement le piston?

Ce que je fais:
Soit i la i ème montée du piston. Dès que P_Ai=P₀+ le piston ne montera plus.
Calcul de la pression dans le réservoir A à la fin de la première montée du piston:P_A1
Soit: V_A : volume du réservoir A
V_B : volume d'air maximal dans le piston
n_A0 : nombre de mol d'air initial dans le réservoir A
n_B1 : nombre de mol dans le piston à la fin de sa première montée
P_B1 : pression dans le piston à la fin de sa première montée
T_A0 : température initiale dans le réservoir A
T_B1 : température de l'air dans le piston à la fin de sa première montée

A la fin de la première montée du piston, on a équilibre thermique et physique donc
P_A1= P_B1 [1]
T_A1=T_B1 [2]
Conservation du nombre total de mol: n_A0=n_A1+n_B1=(T_A0.V_A)/(R.T_A0)=(T_A1.V_A)/(R.T_A1)+(T_B1.V_B)/(R.T_B1) [3]

Ensuite, j'utilise le premier principe de la thermodynamique:
delta h=W+Q=W=C_p.dT car je suppose que le système est adiabatique.
Or W=-(P₀+).V_B
Donc C_p.(T_A1-T_A0)=-(P₀+).V_B [4]

Jai 4 inconnues: P_A1, T_A1, P_B1, T_B1 et 4 équations: [1], [2], [3] et [4] Donc normalement l'affaire est réglée .Mais je ne suis pas serin...


Je ne sais pas si c'est juste car il y a 2000 formules pour calculer W......

Une petite indice m'aiderai bien. Merci de votre temps.
CDT
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[phys4]

Un point n'est pas clair dans votre problème :
La pression dans le réservoir au départ, est beaucoup plus élevée que la pression qu'il faut pour faire monter le piston, ce n'est donc pas un système réversible.
Il faut tenir compte de la détente de Joule qui se produit au niveau de la soupape d'entrée pour passe de la pression du réservoir et celle de la pompe, pression constante et connue Pi = P0 + Mg/S.

Une inconnue du problème est donc de savoir si l'on arrête le remplissage de la pompe dès que le piston est en haut à la pression Pi, ou si l'on laisse la soupape ouverte jusqu'à égalisation des pressions.
Ces deux cas mènent à deux solutions différentes.
Au revoir.

[gloups13]

Je vois que vous avez bien compris le problème. En effet la pression dans le réservoir est bien plus grande que ce qu'il faut pour faire monter le piston.

Dans mon cas, la soupape est ouverte jusqu'à égalisation des pressions.
Du coup, pouvez vous m'indiquer une piste pour que je démarre. Merci

[phys4]

Il suffit de considérer l'état initial, avant ouverture de la soupape, et l'état final à l'équilibre des pressions. Le travail fourni à l'extérieur est connu c'est Pi*VB.
il faut supposer que la soupape laisse passer un débit faible et ne donne pas une vitesse importante au piston, ce qui compliquerait le problème.
Ainsi l'état du gaz à la fin d'un cycle est défini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gloups13]

Ok alors j'avais juste . Je poursui mon calcul:

Attention, j'ai fais une faute dans [4]. Ce n'est pas homogène.
J'ai oublié de multiplier C_p par la masse d'air qui passe dans le piston .
[4] devient: rhô_air.V_B.(T_A1-T_A0)=-(P₀+/S).V_B [5]
Avec [5], je tire T_A1 : T_A1 =T_A0-(P₀+/S).V_B/(rhô_air.V_BC_p) ( La température dans le réservoir décroît. C'est logique car l'air se détend).

Avec les 3 autres équations, j'en déduis P_A1 :P_A1=(P_A0.V_A)/(T_A0.(V_A/T_A1+V_B/T_A1))

Une application numérique:
M=50kg
P₀=1 bar
P_A0=10 bars
T_A0=298 K
V_A=50 L
S=0.000314 m²
Longueur de pompe=1 m Donc V_B= 0.000314 m^3
g=9.81 m/s²
C_p=1004 J/(K.kg)
rhô_air=1.2kg/m^3

Je trouve T_A1=-1081.61 K et là c'est le drame!!!!!! Ce n'est pas physiquement possible.
Mais j'ai regardé et re regardé mon calcul et je ne trouve pas l'erreur. Une idée,?

Merci de votre temps.
CDT

[gloups13]

ahh je crois savoir où est la faute:
Je pense que c'est rhô_air.
La masse de l'air qui entre dans le piston est bien de: m_air=V_B.rhô_air.
Le problème est que pour être précis, c'est rhô_air à la pression de P_B1 et non P₀
Si le problème est bien celui là, alors comment calculer la masse volumique de l'air en fonction de la pression.

[phys4]

Je comprends pas vos équations :
si vous voulez indiquer que la baisse de température du gaz est égale au travail fourni, alors vous avez correctement écrit le travail, mais la baisse d'énergie concerne tout le volume de gaz à l'équilibre (piston+ réservoir)
et le coefficient est Cv, car Cp est fait pour tenir compte du travail externe. La variation d'énergie interne du gaz seul est donné par Cv.

[gloups13]

Mes équations viennent du premier principe de la thermo et de la conservation du nombre de mol total du système. En prenant le C_v à la place du C_p j'obtient pour les mêmes valeurs numériques:
T_A1=296.8 K et P_A1= 9.9 bars.

Qu'en pensez vous?

[phys4]

Je n'ai pas fait le calcul, mais c'est beaucoup mieux, ces valeurs sont logiques.

[gloups13]

Merci de votre aide. Bonne journée