[TQC] Lagrangien d'interaction

[invite9c9b9968]

Salut à tous,

Je préviens tout de suite : je ne connais pas encore réellement la théorie quantique des champs (c'est pour l'an prochain ). Mais j'aime lire les papiers que je trouve sur arXiv, et j'essaie de les comprendre malgré tout, en faisant fonctionner mes méninges

Je suis en train de lire un article de Jean Iliopoulos, datant du 20 mars 2006, intitulé "Can we predict the value of the Higgs mass ?" . Rien de révolutionnaire, c'est surtout un article pédagogique mais très intéressant à mon goût.

En début d'article, il pose la question de savoir si, étant donné un lagrangien d'interaction de N champs, et leurs constantes de couplages et la masse des bosons d'interactions étant données, on peut réduire le nombre de ces paramètres en étant consistant avec la renormalisation.

Il rappelle que la renormalisation impose que la densité lagrangienne doit être un polynôme en les champs et ses premières dérivées dont le degré ne doit pas dépasser 4.

Il traite alors le cas simple d'un lagrangien associé à deux champs scalaires en interaction quartique et respectant les symétries discrètes suivantes : et .

Il donne alors la forme suivante la plus générale possible de la densité lagrangienne :



Je suppose en voyant cette expression que cela vient d'un développement type Taylor. Je crois aussi pouvoir supposer que la disparition des termes d'ordre 1 et 3 est là pour respecter la symétrie 1, le fait que les deux champs soient tous les deux présents est là pour respecter la symétrie 2, le dernier terme est le terme d'interaction.

La question que je me pose est la suivante : pourquoi n'y a t'il pas les dérivées partielles d'ordre 2 élevées au carré ? Ou bien les dérivées d'ordre 1 à la puissance 4 ? Ce sont bien des termes d'ordre 4 non ?

Merci d'avance
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[invite9c9b9968]

Bon je crois avoir trouvé une partie de la réponse


J'ai relu après avoir écrit ce message la ligne définissant la condition de renormalisabilité, et je crois que j'ai fait un contre sens

Il écrit "the requirements of renormalisability restricts the Lagrangian density to be a polynomial in the fields and their first derivatives of degree not higher than four".

En fait, c'est peut être plutôt : un degré inférieur à 4 en les champs, et en leur première dérivée à chacun d'eux ?

Mais par contre, pour ce qui est de l'absence de dérivée première élevée à la puissance 4, je ne comprend pas... Peut être qu'il faudrait que je lise la TQC pour comprendre, dans ce cas tant pis j'attendrai un peu

[mtheory]

Salut Julien,en fait si tu introduis des dérivées partielles d'ordre deux ou plus dans le lagrangien fondamental
(l'effectif c'est autre chose) tu va avoir des problèmes comme des dérivées par rapport au temps du troisième ordre dans les équations de mouvement .

Pas bon pour la causalité ça,pense aux particules auto accélérées à cause du terme de frottement radiatif en électrodynamique classique.
Il n'y aura pas que ça,la matrice S va avoir des problèmes à rester unitaire,on va être embêté par l'apparition de 'Ghosht',des effets gênants de non localité sont aussi attendus.
On arrive parfois à s'en sortir avec des termes de ce genre (Yang Mills je crois) mais ce n'est ni évident ni naturel.
Donc sans dire que sa soit impossible tout le temps ça l'est souvent et on a donc tendance à ne pas les mettres dans le lagrangien FONDAMENTAL.

Après il y a des lagrangiens effectifs qui possèdent un nombre arbitraire de termes avec des dérivées d'espace (voir temps ?) de tous ordre.

En tout cas ce sont les explications dont je me rappelle,faudrais que je vérifie

[invite9c9b9968]

Merci beaucoup pour la réponse, ça éclaircit le pourquoi de l'absence de dérivées d'ordre supérieur à 1

Mais par contre, pourquoi ne pas faire intervenir un terme du type *? Après tout, il vérifie les conditions de symétrie 1 et 2, il n'introduit pas d'interaction supplémentaire entre les champs, vérifie la condition de renormalisabilité, ne rentre pas en conflit avec ce que tu m'as dit, etc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

Merci beaucoup pour la réponse, ça éclaircit le pourquoi de l'absence de dérivées d'ordre supérieur à 1

Mais par contre, pourquoi ne pas faire intervenir un terme du type *? Après tout, il vérifie les conditions de symétrie 1 et 2, il n'introduit pas d'interaction supplémentaire entre les champs, vérifie la condition de renormalisabilité, ne rentre pas en conflit avec ce que tu m'as dit, etc...

Non,ça ne peut pas marcher,la théorie ne saura être fondamentale car non renormalisable selon toute vraisemblance.
Pour controler les divergences dans les diagrammes de Feynman à l'aide de la renormalisation il faut que le Lagrangien soit de dimension L^-4 (on exprime le temps comme une longueur avec c ).
Or []=L^-1 et []=L^-1

Cela fait partie des régles de bases pour savoir à l'avance si un lagrangien est renormalisable ou non.
Si tu introduis ces termes alors il faut multiplier par une constante de couplage avec une dimension et cela ,à son tour, va te réintroduire des divergences non renormalisables dans le développement perturbatif.

[mtheory]

Tu peux regarder là:

http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/basisqft.pdf

't Hooft traite rapidement des conditions de renormalisation élémentaires p 48(pdf)

[invite9c9b9968]

Yep !

Merci beaucoup, c'est très clair maintenant

J'ai compris le pourquoi du "degré non supérieur à 4" et donc pourquoi pas de présence de termes dont je parlais

Vive Futura Sciences et mtheory