[MECA. FLU.] Equation de continuité dans un référentiel mobile

[Solipsil]

Bonjour,

Je m'intéresse à la démonstration de l'équation de continuité (i.e. conservation de la masse du fluide) dans le cas où le fluide est contenu dans un référentiel mobile (un réservoir par exemple).
Je fais les calculs de deux façon différentes sans toutefois arriver au même résultat. Je m'adresse donc à vous pour un peu d'aide.
On se place dans le cadre des équations de Saint-Venant, le fluide est parfait et incompressible. Le réservoir, repéré R, par se déplace à la vitesse , qui peut varier au cours du temps.
On note h la hauteur du fluide dans le réservoir, la densité du fluide, u la vitesse du fluide dans le référentiel mobile et V la vitesse du fluide dans le référentiel inertiel. On a .
Le réservoir est étanche et aucun flux n'entre ni ne sort.

1) Calcul fait dans le référentiel mobile:

Je considère un réservoir de longueur L et un repère associé dont l'origine est au milieu du réservoir, ce dernier ne peut se déplacer qu'horizontalement.
Soit z, la variable parcourant le réservoir, et donc .
Les conditions aux limites s'écrivent: u(-L/2,t) = u(L/2,t) = 0, .
Ainsi la masse du fluide M s'écrit:

La masse étant conservée:

En utilisant la formule de Leibniz et les conditions aux limites j'obtiens finalement:

Puis je passe à la formule locale en considérant que cette égalité est vraie pour toute valeur de L et donc je retrouve l'équation de continuité classique:

2) Calcul fait dans le référentiel inertiel:
Cette fois-ci je considère la variable x, avec . On a x = z + R(t).
Les conditions aux limites s'écrivent: V(R(t)-L/2,t) = V(R(t)+L/2,t) = , .
Ainsi la masse du fluide M s'écrit:

De la même manière que précédemment, j'obtiens:

En utilisant la condition aux limites et Leibniz on a finalement:

En passant à la forme locale:

Comme dériver partiellement par rapport à x et z est équivalent, je tombe donc sur des résultats différents.
Merci par avance pour votre aide !
-----

[geometrodynamics_of_QFT]

Mais, en se souvenant que , dériver par rapport à , ou par rapport à revient aussi au même non?

[geometrodynamics_of_QFT]

Mais surtout, je ne comprends pas d'où apparaît un terme, dans la partie 1) calcul dans le référentiel mobile.
La formule de Leibniz fait littéralement surgir un terme, qui est la seule différence avec la ligne précédente.
(Le terme )

[Solipsil]

Bonjour geometrodynamics_of_QFT,

Merci pour vos réponses.
Si je développe le second terme de la dernière équation j'ai alors (en utilisant indifféremment x et z donc):



J'ai donc le terme en plus, et c'est celui à qui me "gêne".
Je pense avoir trouvé une piste en développant la dérivée temporelle de . En effet x dépend du temps via .
J'utilise donc (correctement j'espère) la règle de la chaîne pour les dérivées avec un diagramme à branches. Si je développe cela me donne:



Mais le problème c'est que du coup j'ai deux fois le terme qui me gêne. Je pense que je dois m'embrouiller avec le changement de variable et "trop me prendre la tête".
D'autant que si je reprends la première équation encadrée je peux faire pareil avec z, vu que z dépend aussi du temps: .

Pour le terme dont tu parles dans la première équation, j'utilise aussi une autre façon de faire la démonstration en utilisant les flux sur un élément infinitésimal de fluide.
De la même manière que sur le site de l'Université du Mans: http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_...ontenu_23.html

[A voir en vidéo sur Futura]