Bonjour,
Je m'intéresse à la démonstration de l'équation de continuité (i.e. conservation de la masse du fluide) dans le cas où le fluide est contenu dans un référentiel mobile (un réservoir par exemple).
Je fais les calculs de deux façon différentes sans toutefois arriver au même résultat. Je m'adresse donc à vous pour un peu d'aide.
On se place dans le cadre des équations de Saint-Venant, le fluide est parfait et incompressible. Le réservoir, repéré R, par se déplace à la vitesse, qui peut varier au cours du temps.
On note h la hauteur du fluide dans le réservoir,la densité du fluide, u la vitesse du fluide dans le référentiel mobile et V la vitesse du fluide dans le référentiel inertiel. On a
.
Le réservoir est étanche et aucun flux n'entre ni ne sort.
1) Calcul fait dans le référentiel mobile:
Je considère un réservoir de longueur L et un repère associé dont l'origine est au milieu du réservoir, ce dernier ne peut se déplacer qu'horizontalement.
Soit z, la variable parcourant le réservoir, et donc.
Les conditions aux limites s'écrivent: u(-L/2,t) = u(L/2,t) = 0,.
Ainsi la masse du fluide M s'écrit:
La masse étant conservée:
En utilisant la formule de Leibniz et les conditions aux limites j'obtiens finalement:
Puis je passe à la formule locale en considérant que cette égalité est vraie pour toute valeur de L et donc je retrouve l'équation de continuité classique:
2) Calcul fait dans le référentiel inertiel:
Cette fois-ci je considère la variable x, avec. On a x = z + R(t).
Les conditions aux limites s'écrivent: V(R(t)-L/2,t) = V(R(t)+L/2,t) =,
.
Ainsi la masse du fluide M s'écrit:
De la même manière que précédemment, j'obtiens:
En utilisant la condition aux limites et Leibniz on a finalement:
En passant à la forme locale:
Comme dériver partiellement par rapport à x et z est équivalent, je tombe donc sur des résultats différents.
Merci par avance pour votre aide !![]()
-----