Kruskal and co

[mach3]

Mon opinion est différente. Et un élément de réponse à ce dont parle le doc est le long développement que j'ai proposé dans la discussion http://forums.futura-sciences.com/ph...arzschild.html (qui notons le, n'a intéressé personne ; ce qui devrait indiquer que le document cité ici ne devrait pas plus intéresser car c'est sur exactement la même problématique.)

moi ça m'a intéressé, mais n'ayant rien à y redire sur le moment, je n'ai pas commenté.

m@ch3
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[Amanuensis]

moi ça m'a intéressé, mais n'ayant rien à y redire sur le moment, je n'ai pas commenté.

Est-ce que tu vois la relation avec le document cité par A? À savoir, oui, il y a beaucoup à redire sur la présentation des coordonnées de Schw. (précisément dès qu'on les utilise ou les présente ou les représente dans un dessin en incluant des valeurs de r inférieures ou égales à Rs) ; mais non, il n'y a pas d'incohérence du formalisme, juste de la laxité formelle et des interprétations physiques discutables ou même erronées. Et qu'avec les coordonnées de KS il n'y a plus de problème.

[azizovsky]

Merci Am pour le lien, le doc a semé la zizanie dans mes certitudes..., je progresse doucement .....(un hobby pas plus).

[mach3]

Est-ce que tu vois la relation avec le document cité par A?

Pas assez de temps pour lire ce document pour l'instant, malheureusement. J'essaierais de trouver un moment et je rapporterais ce que j'en pense.

m@ch3

[viiksu]

Le document cité par Az est hors de mon champ cognitif, je ne vois même pas ce qui est contesté le TN lui-même cela me paraîtrais gonflé vu que des centaines de chercheurs les étudient, la singularité ponctuelle? Personne ne pense réellement qu'elle puisse exister. Le document D'Am est beaucoup plus lisible Merci.

[viiksu]

Bon bon pour conclure (provisoirement) je ne vois pas bien à quoi sert un diagramme de KS à part montrer qu'on peut entrer dans un TN ce dont personne ne doutait. J'aurais aimé y voir tracer la trajectoire aka géodésique d'un solide tombant radialement à vitesse nulle depuis un rayon R. Mais cela est impossible à trouver, j'ai l’impression que peu de gens ont compris ce type de diagramme.

[Amanuensis]

Bon bon pour conclure (provisoirement) je ne vois pas bien à quoi sert un diagramme de KS

À rien d'autre que d'essayer de comprendre la géométrie de Schwarzschild (et ainsi se sentir autorisé d'en parler). Et on peut comprendre que ce ne soit pas un but essentiel dans la vie.

[viiksu]

OK Am mais tu n'as pas répondu à ma question?

[mach3]

Je reproduis ici un échange de ce fil : http://forums.futura-sciences.com/as...a-explose.html , que l'on a arrêté car hors sujet. Il peut être intéressant de le poursuivre dans ce fil où ce ne sera pas du tout hors-sujet.

Concernant la densité d'un TN on calcule une densité moyenne cad un rapport masse-volume de l'horizon. sachant que dans un TN la matière tombe inévitablement vers le centre sous une forme qui n'est pas connue le reste est globalement vide.

«volume de l'horizon» ? C'est quoi ça?

Densité d'un TN? C'est quoi ça? (plusieurs fois que je pose la question...si on pouvait m'aiguiller, puisque l'expression est répandue et utilisée, cela ne devrait pas faire de difficultés).

«volume de l'horizon» ? C'est quoi ça?

Le volume d'espace contenu dans la sphère limitée par l'horizon du TN.

l'horizon n'est pas une sphere, il ne limite pas un volume.

Tous les points coïncidant avec l'horizon ne sont pas équidistants du centre du TN ?

Il n'y a pas de «points coïncidant avec l'horizon», et pour les événements de l'horizon et à l'intérieur, il n'y a pas de «distance au centre du TN», en particulier parce qu'il n'y a pas de «centre du TN» au sens commun.

(Il y a un centre de symétrie spatiale dans la région I, mais il est virtuel car il ne correspond pas à des des événements de la variété. Un observateur lointain a une perception qui ne distingue pas un solide massif normal (auquel cas il y a bien un centre) et un TN. Ou encore, ce qu'un observateur lointain va appeler centre, c'est en comparaison avec le cas où il y a un astre normal de même masse au centre, et donc pas d'horizon.

Et ma réponse concerne la géométrie de Schwarzschild, la solution du vide usuellement invoquée quand on parle de trou noir.)

l'horizon n'est pas une sphere, il ne limite pas un volume.

Alors tous les physiciens qui calculent la taille d'un TN en fonction de sa masse se trompent? Je crois que vu de l'extérieur un TN a bel et bien une forme sphérique et une taille.

Attention je parle bien vu de l'extérieur ce qu'il y a éventuellement a l'intérieur personne n'en saura probablement jamais rien.

Alors tous les physiciens qui calculent la taille d'un TN en fonction de sa masse se trompent? Je crois que vu de l'extérieur un TN a bel et bien une forme sphérique et une taille.

Non. Faut juste comprendre de quoi ils parlent! Le rayon de Schwarzschild est fonction de la masse. Maintenant à quel sens représenterait-il une «taille»?

On peut donner un sens physique à une aire (à 4ΠRs²), c'est l'aire minimale d'une sphère dans la région I (donc visible à un certain sens de l'extérieur) et englobant le TN. Le passage de cela à une propriété de l'horizon ne se fait pas d'une manière triviale.

PAR AILLEURS C'EST HORS SUJET. A DÉPLACER SI ON CONTINUE.

m@ch3

[Amanuensis]

J'en profite pour corriger un détail: «c'est l'aire minimale d'une sphère [iso-r] dans la région I » est incorrect, c'est «la borne inférieure de l'aire d'une sphère iso-r dans la région I » ; la nuance est que la valeur n'est pas atteinte, il n'y a aucune sphère iso-r qui atteint cette borne (la région I est définie par r strictement supérieure à Rs).

---

Par ailleurs, la question d'une valeur de «volume intérieur» au même sens d'une borne inférieure est intéressante en elle-même. Je laisse retrouver le raisonnement, mais la réponse est soit 0 soit l'infini. Ennuyeux pour en tirer une «densité».

[mach3]

J'aurais aimé y voir tracer la trajectoire aka géodésique d'un solide tombant radialement à vitesse nulle depuis un rayon R. Mais cela est impossible à trouver, j'ai l’impression que peu de gens ont compris ce type de diagramme.

un fil pas très ancien traite du sujet, entre autres : http://forums.futura-sciences.com/as...-szekeres.html

m@ch3

[Amanuensis]

Le centre? Menfin comme dirait Gaston Lagaffe le TN vu de l'extérieur est une sphère il a donc un centre géométrique

Le terme clé est «vu de l'extérieur». Cela peut se traduire en langage moins vague: l'extérieur, la région I peut s'approximer à l'infini comme un espace-temps de Minkowski, et de là exhiber un espace 3D euclidien. Approché comme en espace euclidien la notion de centre a un sens géométrique.

Mais il ne s'agit que d'une approximation, et si on veut s'intéresser à l'horizon et à la région II, cette approximation ne vaut rien, mais vraiment rien.

Faut alors se plonger dans la géométrie non approchée, celle décrite par les maths, et essayer de comprendre ce que devient cette notion de centre. Et la conclusion est qu'il n'y a pas de centre géométrique si on inclut l'horizon et la région II.

C'est un résultat troublant, qui a beaucoup gêné comme l'indique le doc cité par Az. En particulier parce que cela est difficile de mettre en cohérence avec la notion de symétrie sphérique qui est dans les hypothèses fondatrices du travail de Schw. et ses successeurs. (Et aussi rendu difficile par les interprétations erronées des coordonnées de Schw. appliquées en dehors de la région I.)

De même que la notion de centre doit être revue, celle de symétrie sphérique doit être adaptée. Et il y a une définition qui permet de se passer de l'idée de centre présent dans la variété) ; techniquement cela consiste à seulement imposer qu'on puisse décrire la variétés avec deux coordonnées spatiales angulaires et représentant S2 (la sphère topologique) et que leur seule influence dans la métrique soit un terme en r²(u, v)dΩ²; avec dΩ² la métrique isotrope homogène de S2.

Pour comprendre pourquoi une symétrie sphérique n'implique pas un centre dans la variété, penser à un cylindre, à propos duquel on peut bien parler de symétrie circulaire alors qu'aucun cercle construit sur cette symétrie n'a de centre sur la surface du cylindre. Ou encore plus simplement au fait qu'une sphère (et non une boule) a bien une symétrique sphérique (sic) sans que le centre appartienne à la variété.

---

Pour résumer, la notion de centre du TN est une illusion due à l'approximation euclidienne acceptable à grande distance, qui disparaît quand on analyse la variété en elle-même, sans approximation, et en particulier l'horizon et l'intérieur.

[viiksu]

OK Am bien compris mais alors ou va la matière qui tombe dans le TN? Vers la discontinuité non? Alors si celle-ci n'est pas au centre géométrique approximé de l'éxtérieur où est-elle? Il me semble qu'au cours de son voyage intérieur un spationaute ne rencontrera qu'un paysage essentiellement vide avant de faire boum, non?

[Amanuensis]

EDIT: Texte écrit avant la question dans le message précédent, mais il se trouve qu'il y répond.

Une remarque «avancée». Les coordonnées de Kruskal permette d'identifier une région très particulière, la sphère spatiale X=T=0 en coordonnées de Kruskal. Cette région, que j'appelle «centre» dans mes textes (faute d'un meilleur terme), est tellement déformée par les coordonnées de Schw. que ces dernières ne permettent pas de la comprendre.

Or cette sphère est bien la limite des sphères iso-r de la région I, et a de nombreuses propriétés la rapprochant d'une notion de centre plus intuitive. En particulier c'est clairement un centre de symétrie (non ponctuel) de la géométrie, ce qui est flagrant dans un diagramme (T, X) en coordonnées de KS. Non seulement spatial (symétrie sphérique des coordonnées angulaires + symétrie par renversement de X) mais aussi temporel (symétrie par renversement de T).

Seulement, les chutes libres de la région I ne se dirigent absolument pas vers ce «centre» ; au contraire, aucune chute libre dans la région I n'y aboutit. (En fait, aucune ligne d'univers de la région I n'y aboutit!)

Avec cette notion là de «centre», toute l'imagerie vulgarisée (erronément) d'un centre vers quoi tout tombe n'est plus valide. Elle reste valide dans l'approximation «euclidienne» de la région I, mais est intenable avec la géométrie de la variété «complète».

D'un autre côté, ce «centre» n'est pas un lieu, ce qui suffit pour qu'on ne s'y dirige pas: c'est un ensembles de lieux (X=0) à une date bien précise (T=0). En tant que lieux, c'est analysable de plusieurs manières différentes, normal puisque la notion de lieu dépend du référentiel (ou des coordonnées 1+3) choisie.

En coordonnées de KS, X=0 correspond à une sphère. Il y a bien des lignes d'univers de la région I qui peuvent atteindre ce lieu, mais c'est exceptionnel. Qui plus est ces mouvements n'ont rien de particulier si on ne regarde que leur portion dans la région I.

Avec un autre référentiel assez particulier, les lieux de la sphère couvrent tous les événements de la région II (et de la région IV). Il est alors correct que les chutes libres se dirigent vers ces lieux, mais c'est alors totalement équivalent à dire que les chutes libres aboutissent dans la région II. Ce qui in fine la façon la plus simple de voir...

[Amanuensis]

Vers la discontinuité non?

La singularité?

Alors si celle-ci n'est pas au centre géométrique approximé de l'éxtérieur où est-elle?

Si c'est la singularité, elle est nulle part en coordonnées de Schw. pour la région I (1). Et elle est partout dans la région II.

La singularité n'est pas un lieu précis (elle est partout dans la région II), mais un futur précis. Les lignes d'Univers dans la région II aboutissent n'importe où, mais pas n'importe quand: le «quand» est la singularité.

(1) En coordonnées de Schw. pour la région II, elle est en r=0, mais r indique une date en région II, pas un lieu. Cette confusion disparaît en coordonnées de KS.

[viiksu]

Si j'ai bien compris le lieu de la discontinuité r=0 d'un TN est une sphère mais de quelle taille ? Alors pourquoi tout le monde parle-t'il de point de dimension nulle et de densité infinie?

[viiksu]

PS: je sais bien que les variétés sont des êtres mathématiques difficiles à représenter dans notre monde Euclidien mais elles correspondent quand même à un état physique. Le voyageur qui tombe dans un TN a un temps propre pendant lequel il pourra observer son environnement avant de crasher (s'il crashe) d’ailleurs personne n'a pu me dire en combien de temps propre un voyageur dans Sagittarius A* fait-il boum depuis l'horizon. Je doute qu'il voit les échafaudages qui le ramène dans son passé et dans sa bibliothèque comme dans interstellar le film.

[Amanuensis]

Si j'ai bien compris le lieu de la discontinuité r=0 d'un TN est une sphère mais de quelle taille ?

S'il s'agit de la singularité r=0, c'est à dire T²-X²=1 en coordonnées de KS, c'est un volume.

Pour la taille, je n'en sais rien. En coordonnées de KS comme en coordonnées de Schw. région II, ses coordonnées (X, Θ, φ) sont celles d'un cylindre sphérique infini (X couvre tout le droite réelle). Faudrait calculer le volume propre. Possible qu'il tendre vers 0.

Alors pourquoi tout le monde parle-t'il de point de dimension nulle et de densité infinie?

Imagerie due à l'approximation euclidienne valable vu de très très loin dans la région I. Et vraisemblablement confusion de r avec une coordonnée spatiale (r=0 est interprété erronément comme un point), ce qu'elle est en région I mais pas en région II. Bref, toujours les mêmes causes!

[Amanuensis]

PS: je sais bien que les variétés sont des êtres mathématiques difficiles à représenter dans notre monde Euclidien mais elles correspondent quand même à un état physique.

En fait on ne sait pas si la géométrie de Schwarzschild peut représenter un monde physique. La réponse serait plutôt non, une raison essentielle est le statut de la région III. Quand la plupart des auteurs physiciens parlent d'un TN il ne s'agit pas de la géométrie de Schwarzschild (pas d'une solution du vide), mais d'une géométrie avec une région II non vide (et sans les régions III et IV). Il en existe au moins une solution explicite, mais les maths sont plus compliquées, et ce n'est pas ce que la vulgarisation présente.

Le voyageur qui tombe dans un TN a un temps propre pendant lequel il pourra observer son environnement avant de crasher (s'il crashe)

Il ne se crashe pas, il se désintègre sous l'effet des forces de marée et l'espèce de purée qui en résulte n'a pas de futur au-delà de la singularité (du moins dans le modèle de base, certains auteurs prolonge le modèle artificiellement, et il y a cette idée d'évaporation).

d’ailleurs personne n'a pu me dire en combien de temps propre un voyageur dans Sagittarius A* fait-il boum depuis l'horizon.

Pourtant c'est facile de donner l'ordre de grandeur ainsi qu'un max, et même des valeurs précises quand le mouvement est parfaitement précisé. Ces valeurs n'ont pas grand intérêt en elles-mêmes. (L'ordre de grandeur est Rs/c. Le max est Rs/c fois un coefficient que j'ai quelque part dans mes notes, dont je me souviens pas précisément et qui contient un Π. Laissé comme exercice...)

[Amanuensis]

Pour la taille, je n'en sais rien. En coordonnées de KS comme en coordonnées de Schw. région II, ses coordonnées (X, Θ, φ) sont celles d'un cylindre sphérique infini (X couvre tout le droite réelle). Faudrait calculer le volume propre. Possible qu'il tendre vers 0.

Pour être un peu plus précis là-dessus. Si on prend les volumes r constant, r très petit, ce sont des cylindres sphériques. La métrique induite sur ces variétés contient le terme r²dΩ², donc le volume va s'exprimer comme r² fois une fonction de r qui vient de la coordonnée X qui parcourt R et donc a une étendue infinie. La question est comment évolue cette fonction (et quelle est-elle!). Comme X parcourt tout R on peut anticiper que le terme tende aussi vers l'infini, mais peut-être moins vite que 1/r². Auquel cas le produit (le volume propre) tendra vers 0 avec r.

La distance propre qui vient en multiplicateur de r² est peut-être calculable comme le max de la distance propre entre points de la ligne (spatiale) définie par T²-X² = (1-r)e^r, X parcourant R, par exemple en s'intéressant à la longueur propre de la ligne entre et et en faisant tendre x vers l'infini. C'est une «simple intégrale», un peu de calcul devrait permettre de conclure. Peut-être qu'une approximation e^r =1 ou e^r = 1+r est acceptable et simplifie le calcul.

Pas le temps pour le moment ni de faire le calcul, ni de fouiller la littérature pour trouver le calcul ou un autre argument quand à la limite du volume.

[viiksu]

Rs/c ça me va, Merci? mais un cylindre sphérique késako est-ce représentable ?

[viiksu]

PS: ce sont bien pourtant les équations de la RG qui prédisent une discontinuité de taille nulle et de densité infinie au "centre" du TN? Alors comment savons nous ce que n'est pas ainsi (personne n'en doute car c'est la RG qui atteint sa limite et non pas l'espace-temps) mais un cylindre sphérique?

[Amanuensis]

mais un cylindre sphérique késako est-ce représentable ?

Un cylindre usuel est une surface (une variété 2D) obtenue en balayant la ligne réelle par un cercle, ce qu'on écrit RxS1 (S1 est la ligne appelée «cercle»). Un cylindre sphérique est un volume (une variété 3D) obtenue en balayant la ligne réelle par une sphère, ce qu'on écrit RxS2.

---

Représentable? Ben c'est comme tous les volumes autres qu'aisément plongeables dans R^3, ce n'est pas facile... Pas représentable sur le papier, mais différentes astuces aident le mental.

Par exemple le cylindre a deux projections planes particulières: un cercle (on le regarde dans l'axe, un seul cas) et une bande infinie (on le regarde perpendiculairement à l'axe, une infinité de cas). Le cylindre sphérique aussi.

Ou encore, par définition une coupe d'un cylindre donne un cercle, une coupe d'un cylindre sphérique donne une sphère.

Etc.

C'est de la gymnastique mentale pour les variétés 3D. Commencer par les 2D, les surfaces (la liste est gérable, leur visualisation aisée du moins pour les orientables pas trop pathologiques (1)) avant d'essayer...

(1) Les pathologiques n'ont pas d'application en physique. Du moins pas à ma connaissance.

[Amanuensis]

PS: ce sont bien pourtant les équations de la RG qui prédisent une discontinuité

Je ne sais pas pourquoi vous parlez de discontinuité. Si c'est de la singularité qu'il s'agit, le seul terme est singularité.

ce sont bien pourtant les équations de la RG qui prédisent (...)de taille nulle et de densité infinie au "centre" du TN?

Si vous le dites...

Perso dans ce fil je me contente de parler des maths décrivant une certaine variété minkowskienne, qui est une solution explicite des équations de champ d'Einstein (celles de la RG) pour le vide.

[viiksu]

Un cylindre usuel est une surface (une variété 2D) obtenue en balayant la ligne réelle par un cercle, ce qu'on écrit RxS1 (S1 est la ligne appelée «cercle»). Un cylindre sphérique est un volume (une variété 3D) obtenue en balayant la ligne réelle par une sphère, ce qu'on écrit RxS2.

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Représentable? Ben c'est comme tous les volumes autres qu'aisément plongeables dans R^3, ce n'est pas facile... Pas représentable sur le papier, mais différentes astuces aident le mental.

Par exemple le cylindre a deux projections planes particulières: un cercle (on le regarde dans l'axe, un seul cas) et une bande infinie (on le regarde perpendiculairement à l'axe, une infinité de cas). Le cylindre sphérique aussi.

Ou encore, par définition une coupe d'un cylindre donne un cercle, une coupe d'un cylindre sphérique donne une sphère.

Etc.

C'est de la gymnastique mentale pour les variétés 3D. Commencer par les 2D, les surfaces (la liste est gérable, leur visualisation aisée du moins pour les orientables pas trop pathologiques (1)) avant d'essayer...

(1) Les pathologiques n'ont pas d'application en physique. Du moins pas à ma connaissance.

Je vois mieux encore Merci, oui je parle de singularité mais alors pourquoi est-ce qu'on nous parle sans cesse de singularité au centre de taille nulle? Par facilité ou est-ce que beaucoup de pros ne comprennent pas eux-même? (iconoclaste je sais).

[Amanuensis]

je parle de singularité mais alors pourquoi est-ce qu'on nous parle sans cesse de singularité au centre de taille nulle? Par facilité

Par facilité, ça c'est sûr. Pour le reste je n'ai pas à juger.

J'ai lu plein de textes de physiciens ou pas, beaucoup de ces textes ont excité mon «sens critique» (= j'y lisais des trucs me semblant bizarres), j'ai retroussé les manches et plongé dans les maths, qui ne sont pas très difficiles et à ma portée. Et cela me permet de trier dans ce que j'ai lu des textes de physiciens, et, il me semble à moi-même de virer tous les trucs bizarres (y compris un résiduel dans les textes, le statut de la région III). Dans ce fil comme d'autres, je fais part en fait de mon expérience (sans rentrer dans les détails, trop long (1)). Je n'ai pas prétention d'amener les réponses officielles, mais à ma connaissance les réponses que je donne ne sont pas en contradiction avec tous les écrits sérieux.

Et toute contradiction sur ce que j'écris, basée sur la même profondeur de travail ou plus, est la bienvenue. Les références de sites web de vulgarisation ne m'intéressent a priori pas, l'écrasante majorité est superficielle, niveau copier-coller sans travail ajouté, sans profondeur.

(1) Et ce que j'ai écris sur ce forum sur le sujet me semble déjà trop long.

[viiksu]

Bon en tous cas merci de nous rendre moins idiots sur ce forum. Existe-t'il une doc, un livre lisible (Bac+5) sur les variétés et la topologie, j'ai acheté un bouquin américain illisible.

[Amanuensis]

Le terme clé pour le sujet c'est la géométrie différentielle (quand on parle de variétés en RG, il s'agit de variétés différentiables pour être précis). Les textes de topologie générale ne sont pas adaptés.

En français il y a les cours de Masson ou de Coquereaux. Niveau master 2. (Cf. l'embryon de biblio scientifique, de Rincevent)

Le lien au cours de Masson dans la biblio n'est plus valide, j'en donne un autre: http://science.thilucmic.fr/index.php?c=do&p=geodiff.

Le cours donne au début du ch. 1 sur les variétés différentiables en référence toute une collection de livres, que je connais pas.

Il y a sûrement des textes plus récents, pas recherché.

[Amanuensis]

PS: Les cours de géo diff, c'est des maths ne s'appesantissant pas sur la partie la plus simple. Doit exister des bouquins un plus «visuels», décrivant de façon simple les variétés différentiables «élémentaires», en dimension 1 et 2, en illustrant les propriétés élémentaires. De la géométrie pas bac+5, mais pas euclidienne! J'imagine un peu à quoi cela pourrait ressembler, mais je n'en ai pas en tête.

[viiksu]

Merci, je vais regarder attentivement.