Kruskal and co

[viiksu]

Bonjour,

Voilà j'ai bien cherché et je n'ai pas trouvé d'interprétation physique des graphes de Kruskal. Je ne sais ce que sont les axes u et v, je ne sais pas ce que représentent les hyperboles avant et après l'horizon. Prenons un trou noir suffisamment massif pour pouvoir le visiter sans que l'effet de marée nous déchire, il est établi qu'on pourrait y survivre de la seconde à l'heure (en temps propre) selon la taille (masse). On dit que l'espace temps s'effondre comme un tapis roulant? Qu'est-ce que cela veut dire? Est-ce que je voyage localement plus vite que la lumière vers la singularité? Si j'envoie un rayon lumineux vers le haut et un autre vers le bas tout deux partent à la vitesse de la lumière mais tout deux vont vers la singularité.
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[Mailou75]

Salut,

Je ne sais ce que sont les axes u et v, je ne sais pas ce que représentent les hyperboles avant et après l'horizon

U et V sont des axes de coordonnées ni plus ni moins. A t=0, t temps propre de l'obs a l'infini, ils representent l'espace euclidien synchronisé de celui ci, exceptionellement. Les hyperboles sont les trajectoires a r constant, c'est a dire des objets qui se tiennent a distance constante du trou noir, ce sont les coordonnées d'un espace fixe au cours du temps.

On dit que l'espace temps s'effondre comme un tapis roulant? Qu'est-ce que cela veut dire?

Pas grand chose, encore une image deroutante..

Est-ce que je voyage localement plus vite que la lumière vers la singularité?

Non, si tu as une masse ta vitesse sera toujours inferieure à c. "c" est la vitesse de ce qui n'a pas de masse (photon entre autres), mais de l'information en fait si on s'ecarte du modèle granulaire du photon.

Si j'envoie un rayon lumineux vers le haut et un autre vers le bas tout deux partent à la vitesse de la lumière mais tout deux vont vers la singularité.

Je vais supposer que "bas" signifie vers le centre du trou noir et "haut" à l'opposé le long d'une direction. Dans ce cas, tant que tu es a l'exterieur et que tu envoies un signal vers un observateur eloigné celui ci le recevra. Rouge, lent, et suivant ta position par rapport a l'horizon peut etre dans trees longtemps, mais il le recevra. Par contre dès que tu as passé l'horizon il devient impossible d'envoyer un signal vers l'extérieur.

De toute façon a ce stade la notion de "haut et bas" devient obsolete puisque, comme tu le dis, les rayons lumieux vont dans une seule direction. Fait tres etrange deux photons lancés depuis le meme evenement (lieu et date) dans la meme direction et a la meme vitesse (c forcement) emprunteront des trajectoires differentes dans l'espace temps pour atteindre la singularité à des "dates" différentes. En fait la notion de date n'y aurait plus cours non plus en tant que decoupage de la ligne d'univers de la singularité dans le temps propre de l'observateur a l'infini...

Pour te familiariser avec Kruskal je peux te conseiller ceci http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5788537, comment je le comprends expliqué avec des mots profanes

Sauf le dernier paragraphe ici en fait, celui qui t'interesse vraiment, mais là dessus je n'ai que trop peu d'infos. Tu pourras peut etre le lire mais tu ne le verras pas (si tu le trouves je veux bien le lien !!) On atteint la limite de l'officiel..

A +
Mailou

[viiksu]

Thanks a lot

[Amanuensis]

Si j'envoie un rayon lumineux vers le haut et un autre vers le bas tout deux partent à la vitesse de la lumière mais tout deux vont vers la singularité.

Bas et haut n'ont pas de sens pré-établi dans la région II («trou noir», v>|u|). Si deux rayons sont émis d'un événement de cette région en restant dans le même plan θ, φ, les deux seules possibilités sont dans les directions dv positif (c'est une coordonnée temporelle) et du=±dv (±45° de l'axe v croissant sur un diagramme usuel) ; ils atteignent tous deux la singularité, en des u différents.

Il n'y a aucune raison a priori de distinguer «vers le haut» ou «vers le bas» les directions u croissant ou u décroissant sur la simple donnée de l'événement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

PS: Notons qu'il y a une infinité de directions possibles pour émettre un rayon lumineux à partir d'un événement, comme d'ailleurs en tout événement d'un espace-temps quelconque. L'ensemble des directions a une symétrie sphérique (celle locale à l'événement du cône futur, celle de la sphère céleste).

En coordonnées de Kruskal et en tout événement c'est exactement la même chose qu'ailleurs, la seule contrainte est que la 4-direction soit de norme nulle. La 4-direction va s'exprimer en fonction de du, dv, dθ et dφ. Dans le message précédent j'ai supposé dθ=dφ=0, d'où la condition, en appliquant la forme métrique, du²=dv² ; ce qui, avec la condition dv>0 (émission et non réception) donne les deux possibilités. Pour des dθ, dφ non nulles, appliquer de même la métrique, l'expression des solutions est plus compliquée.

Dans tous les cas cela aboutit à la singularité, tout simplement parce que la singularité est le futur final de tout ce qui se passe dans la région II. De même que t=infini est le futur final de tout ce qui se passe dans l'espace-temps de Minkowski.

[viiksu]

Si j'ai bien compris, les hyperboles sont des orbites stationnaires, quelle serait la trajectoire d'un mobile tombant depuis l'infini (potentiel grav null)?

[Mailou75]

Si j'ai bien compris, les hyperboles sont des orbites stationnaires, quelle serait la trajectoire d'un mobile tombant depuis l'infini (potentiel grav null)?

Pas des orbites, juste des points a r cst. Pour les cas non relativistes pourquoi pas, mais le paramètre de ralentissement RR n'est alors pas pris en compte, Kruskal c'est de la 1D+t pas d'orbites a priori. Et pour le TN il y a des orbites impossibles (aucune en dessous de r=1,5Rs).

Pour la chute libre regarde le lien que j'ai donné c'est dedans.

[Amanuensis]

Kruskal c'est de la 1D+t pas d'orbites a priori.

N'importe quoi

[Mailou75]

N'importe quoi

?? Montre moi un Kruskal avec plus d'une dimension spatiale dans ce cas.. Il demande ce que sont les hyperboles, je réponds : des coordonnées r cst. Il n'a pas demandé ce que seraient des hyperboloïdes avec une dimension supplémentaire ni des hyper-hyperboloïdes en 3D +t.

[viiksu]

Il y a longtemps que A ne nous avait pas gratifié d'un Nawak soit mais alors quel est le quoi qui importe?

[mach3]

Mais enfin... Le diagramme 2D de kruskal n'est qu'une représentation commode des coordonnées de kruskal, qui ne sont elles-mêmes qu'une "représentation" commode de la métrique de Schwarzschild. Or la métrique de Schwarzschild admet bien des "orbites", et d'ailleurs, en coordonnées de Schwarzschild, pour des r élevés on retrouve les ellipses Keplerienne.

Donc dire qu'il n'y a pas d'orbites dans kruskal, c'est bien une erreur. A la rigueur on peut dire que la représentation 2D des coordonnées de kruskal n'est pas adéquate pour les orbites.

m@ch3

[Amanuensis]

Et je ne vois pas la différence avec une représentation 2D basées sur les coordonnées de Schwarzschild pour ce qui est de l'adéquation aux orbites.

Un système de coordonnées pour la géométrie de Schwarzschild c'est comme une carte plane pour représenter la surface de la Terre. Elles déforment toutes, de manières différentes. Elles sont adaptées à bien «visualiser» certaines régions mais moins bien (ou pas du tout) d'autres. Et elles représentent toutes la même chose (une géométrie 4D particulière dans un cas, une géométrie 2D particulière (un ellipsoïde) dans l'autre). Le parallèle est peut-être plus éclairant si on remplace l'ellipsoïde par un cylindre, ou si on cherche à faire une carte plane de l'intégralité de la surface de 67P/Tchourioumov-Guérassimenko (https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichie...Cam_mosaic.jpg)

[viiksu]

Donc dire qu'il n'y a pas d'orbites dans kruskal,

m@ch3

Merci, sinon je ne vois ce que pourrait être une trajectoire à r constant sinon une orbite?

[Amanuensis]

Une trajectoire r, θ, φ constants est une orbite? Une trajectoire avec r, φ constants et θ variant périodiquement entre deux valeurs proches est une orbite? Etc.

[viiksu]

Alors il s'agit d'un observateur fixe à R=cste, donc accéléré?

[Mailou75]

Pas d'accord, les hyperboles signifient juste que r est constant. Ce n'est pas une trajectoire a priori. Dand les schemas que je donne, quand on voit des objets se deplacant le long des hyperboles alors ca ne traduit QUE l'Effet Einstein, cad que l'objet reste a r cst "par l'operation du saint esprit" comme on dit. Effectivement ca ne correspond a rien de reel.

Si on veut dire que l'objet est en orbite il faudrait ajouter le ralentissement du temps lié a la vitesse orbitale (gamma) ET faire tourner le diagramme. Si il tourne tout ce qui est ennoncé plus haut devient faux !

Une trajectoire r, θ, φ constants est une orbite? Une trajectoire avec r, φ constants et θ variant périodiquement entre deux valeurs proches est une orbite? Etc.

Des mots... montre nous comment tu fais en vrai.

[Amanuensis]

Si le sujet est les coordonnées de Kruskal que signifie «fixe» ?

[viiksu]

Fixe suspendu à une distance R du trou noir donc accéléré par un moyen quelconque vers le "haut". Je cherche simplement à connaitre la signification des hyperboles dans un diagramme de K.

[mach3]

Un corps ayant pour ligne d'univers une des hyperboles correspondant à un r de Schwarzschild constant est un corps qui se maintient à une "distance" constante au sens de Schwarzschild (et donc, pour r grand, à une distance constante, sans guillemets, car la notion peut alors se confondre avec la distance classique).
Cela peut-être un "immobile" (au sens de Schwarzschild, donc un objet se maintenant "sur place" par un moyen de propulsion ou de levage approprié), ou un corps en orbite, ou un corps suivant une trajectoire quelconque mais à "distance constante du centre".

A noter par contre qu'en fonction du mouvement, la parametrisation de la ligne d'univers par le temps propre de l'objet qui la parcourt va changer.

A noter aussi que en dessous d'une certaine valeur de r, il n'existe pas d'orbite circulaire, voire pas de trajectoire circulaire du tout.

m@ch3

[Mailou75]

Hyperbole = r cst, rien d'autre. Si tu y mets des objets tu auras l'effet Einstein.
Pour les orbites j'attend vos schemas 2D+t qu'on comprenne de quoi vous parlez.

[Amanuensis]

Je cherche simplement à connaitre la signification des hyperboles dans un diagramme de K.

Si on ne cherche pas à faire d'interprétation, c'est simplement les iso-r en région I, r étant la coordonnée de ce nom dans celles de Schwarzschild. À comparer avec les lignes donnant les méridiens sur une carte de Robinson par exemple.

Réciproquement on pourrait dessiner les courbes u_Kruskal constant sur une carte (t,r) en coordonnées de Schwarzschild pour la région I. (Exercice intéressant.)

L'idée de donner un «sens» aux lignes ainsi dessinées fait passer au second plan leur usage principal: essayer de comprendre la déformation lors du passage d'un système de coordonnées à un autre.

(À ce sujet, les dénominations des coordonnées peuvent être trompeuses. Une notation plus régulière des coordonnées de Kruskal serait une variante de (t, r) ; la notation u ou v est plus souvent utilisée pour des coordonnées de genre lumière (comme en Eddigton-Finkelstein par exemple). Car v en Kruskal est un «temps» comme un autre, et u une coordonnée radiale (donc spatiale) comme une autre. Je ne vois pas comment on peut comprendre la correspondance entre les cartes de Kruskal et celles de Schwarzschild sans prendre pleinement conscience du genre des coordonnées de Kruskal, ce à quoi le choix traditionnel de dénomination peut faire obstacle.)

[Mailou75]

Réciproquement on pourrait dessiner les courbes u_Kruskal constant sur une carte (t,r) en coordonnées de Schwarzschild pour la région I. (Exercice intéressant.)

Exercice fait ici http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5805326 a ta demande

[viiksu]

Si j'ai bien compris les courbes t de S = cst sont des droites partant de (u=v=0) et de pente plus ou moins forte jusqu'à 45° qui est le temps +infini. Comment se fait-il qu'en parcourant une hyperboles à temps croissant car on va intersecter des droites de pente plus forte, on se rapproche asymptotiquement de l'horizon alors r n'est pas constant?

[Amanuensis]

Je ne comprends pas la question. Devrait être facile de traduire la question en coordonnées de Schw., et y répondre dans ce cadre.

Peut-être la question vient-elle de la croyance erronée qu'en coordonnées de Schw. r=R_s représente l'horizon, et de là est prise pour ce qui correspondrait à la ligne u=v, v>0, en coordonnées de KS? (La vulgarisation est une source importante de cette erreur.)

La ligne r=R_s en Schw correspond au point u=v=0 (point en 2D, sphère en 4D) en KS. Réciproquement, l'horizon u=v, v>0, en KS ne correspond à rien du tout en coordonnées de Schw.: ce sont des événements auxquels on ne peut pas attribuer de coordonnées de Schw., que ce soit selon le système extérieur ou le système intérieur. Le passage continu à ces événements en coordonnées de KS se traduit par une divergence t tendant l'infini en coordonnées de Schw.

[Mailou75]

Si j'ai bien compris les courbes t de S = cst sont des droites partant de (u=v=0) et de pente plus ou moins forte jusqu'à 45° qui est le temps +infini. Comment se fait-il qu'en parcourant une hyperboles à temps croissant car on va intersecter des droites de pente plus forte, on se rapproche asymptotiquement de l'horizon alors r n'est pas constant?

Si, si tu prends un intervalle entre deux valeurs de r (R1 et R2) sur l'axe U horizontal (à t=0 donc) et que tu regardes ce qui se passe lorsque le temps avance : Ton horizontale s'incline et l'espace euclidien devient une diagonale pout t=T (T une valeur de temps non nulle). Cette digonale va intercepter les hyperboles R1 et R2 en deux points. Tu peux alors verifier par Thalès que le rapport des longueurs OR1/OR2 est conservé (O origine du repere).

Ce qui n'est pas conservé et proportionnel c'est le temps propre d'un observateur qui suivrait cette courbe (suspensu a une corde ou accéleration cst comme le dit mach3, mais pas orbite qui changerait bcp de choses), car le temps n'evolue pas partout de la meme facon mais comme T * z+1 avec z+1=rac(1-Rs/r). A l'intersection entre la diagonale T et l'hyperbole R1, par exemple, l'evenement sera daté T pour l'observateur a l'infini et T*rac(1-Rs/R1) pour celui qui a suivi l'hyperbole : c'est l'effet Einstein.

Si je ne m'abuse Kruskal va aussi te donner l'effet Shapiro, le ralentissement de la lumiere, car meme pour l'observateur a l'infini, la lumiere ne parcours pas une distance R2-R1 en un temps (R2-R1)/c.

(Pour les orbites je veux bien regarder a la rentrée #####)

[viiksu]

Ok cela éclaircit donc les hyperboles ne sont pas des courbes d'espace en la parcourant je reste au même point spatial mais mon temps évolue, mais un mobile qui par sa trajectoire couperait plusieurs hyperboles franchirait de l'espace?

[Amanuensis]

Encore incompréhensible pour moi.

La notion d'espace est relative. Une «trajectoire» (une ligne d'univers?) peut «rester au même point spatial» selon un système de coordonnées et «franchir de l'espace» selon un autre.

C'est un basique en RG (et même en mécanique classique!). Si on achoppe là-dessus, discuter de la géométrie de Schwarzschild et des coordonnées de Kruskal est totalement hors de portée.

[Amanuensis]

Ou encore:

Une ligne d'univers u²-v² = constante en région I, en coordonnées de Kruskal, (hyperboles) est représentée en Schw. par r restant constant. Mais il s'agit d'une même et unique ligne d'Univers (un même mouvement), dont les propriétés physiques sont indépendantes du choix de coordonnées. Toute propriété qu'on «lirait» en coordonnées de KS mais pas en coordonnées de Schw ne serait simplement PAS une propriété physique. «Franchir de l'espace» n'est pas une propriété physique.

[Amanuensis]

Autre remarque:

Les hyperboles en région I usuellement dessinées sur les diagrammes (1) en région I correspondent à u²-v² = constante positive, avec u>0 v quelconque (correction du message précédent). Ce sont des lignes d'univers, elles décrivent des mouvements.

Mais les hyperboles en région II, données par v²-u² constante positive, v>0, u quelconque, ne sont pas des lignes d'univers. Elles ne décrivent pas un mouvement (une trajectoire).

A contrario les ligne u/v constantes en région II sont des lignes d'univers, mais pas en région I.

(1) Comme là: https://s14-eu5.ixquick.com/wikioima...d9cbffdfc8.jpg

[viiksu]

Et bien voilà c'est ce que je voulais savoir merci.