Bonjour à tous :
Je suis entrain de m'initier à la théorie spéctrale des opérateurs de Schrodinger, et il y'a toute une section du cours que je n'ai pas compris. Je vous la soumets immédiatement :
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The classical (- dimentional ) oscilator is a particle with one degree of freedom which moves in the potential field of the form :
.
The classical energy is of the form :
whereis the mass of the particle, and :
is its momentum.
The space of states of the quantum analogue is. The opertors of coordinate and momentum were defined above, and the quantum hamiltonian
is a self - adjoint operator generated by the expression :
For the sake of simplicity we set :. Then :
Letbe a linear subspace of
( not closed ) thats consists of all functions of the form :
where
is a polynomial.
is dense in
Now, let's us introduce the so-called operators of annihilation and birth :and
In fact, one can show thatis the adjoint operator to
definded on
. However, we dont use this fact. So, one can use this operator as a single symbol. These operators, as well as
,
and
, are well-defined on the space
and maps
into itself. As consequence, on the space
, products and commutators of all these operators are also well-defined.
We have :
-
-
-
-
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Je m’arrête donc ici dans un premier temps, et je laisse la suite après avoir déchiffrer ce petit bout de textes avec vous. On commence :
Mes questions sont :
- est ce que le choix des'est fait arbitrairement ?
- Comment obtient-on que :?
- Pourquoiest dense dans
?
- Commnt obtient-on les formules :
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- -
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- Pourquoi les opérateurset
, ainsi que
,
et
, sont bien définis sur
et envoient
dans lui meme ?
Merci infiniment.
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