Géométrisation de la physique

[mmanu_F]

D'ailleurs, pour les moins-matheux francophones qui voudraient rentrer gentiment (sans oser le demander) dans les maths nécessaires à la géométrisation de la physique, Henri Paul de Saint-Gervais est là pour vous. Son (leur) introduction générale est brillante pour approcher d'un peu plus près les courbes elliptiques, qui sont centrales dans la théorie F (la géométrisation ultime de la théorie des cordes, dont on sens la présence implicite dans les messages précédents de ce fil) et sa phénoménologie, mais aussi les surfaces de Riemann (qui sont l'objet de la partie A), qui sont omniprésentes en théorie des cordes (e.g. Ghosh, Raju et Guillarmou, Rhodes, Vargas pour donner deux exemples récents qui me tiennent à coeur).
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[syborgg]

j'espère que tu'as écouté le contexte de cette phrase d'Alain connes...https://youtu.be/rHkhez4OxPU

Ca y est, j'ai ecoute la phrase dans son contexte : je comprends que les travaux de Connes sont directement relies aux travaux anterieurs de Grothendieck sur les topos, mais je ne comprends toujours pas pourquoi tu as mis en exergue la phrase sur "aller dans le fosse" ...

[invitedd63ac7a]

D'ailleurs, pour les moins-matheux francophones qui voudraient rentrer gentiment (sans oser le demander) dans les maths nécessaires à la géométrisation de la physique, Henri Paul de Saint-Gervais est là pour vous.

Il a intérêt à être motivé le moins-matheux francophone ou a avoir de bonnes bases en géométrie algébrique, espaces projectifs et analyse complexe. Ceci dit c'est très brillant même pour moi qui ne comprends pas tout. Il est vrai que c'est le genre d'ouvrage-conférence qui, si on en possède les clefs minimales pour le comprendre, vous donne, en le lisant, l'impression d'être intelligent.

[mmanu_F]

Il a intérêt à être motivé le moins-matheux francophone ou a avoir de bonnes bases en géométrie algébrique, espaces projectifs et analyse complexe. Ceci dit c'est très brillant même pour moi qui ne comprends pas tout. Il est vrai que c'est le genre d'ouvrage-conférence qui, si on en possède les clefs minimales pour le comprendre, vous donne, en le lisant, l'impression d'être intelligent.

la version initiale s'adressait au pas-matheux, mais il m'est apparu que la licence de maths-physique pour tous n'était pas encore tout à fait d'actualité.

[mmanu_F]

maintenant que tout le monde est familiarisé avec les mathématiques nécessaires (cf #31), voici quelques références intéressantes, pour les intéressés qui voudraient les voir en action, voici la théorie-F, aka la physique-fondamentale-algébriquement-géométrisée.

Le §2 (page 6) de la revue de Jonathan Heckman me semble être un bon point de départ (sans "trop" de décorations physiciennes). En complément, et pour ceux qui préfèrent la vidéo, le cours au TASI de Timo Weigand en juin dernier (et en 5 parties), qui suit les grandes lignes de son cours de 2010. Enfin, l'introduction de Mirjam Cvetič dans son cours au TASI aussi donne un visuel utile de la géométrie.

[azizovsky]

mais je ne comprends toujours pas pourquoi tu as mis en exergue la phrase sur "aller dans le fosse" ...

d'après se que j'ai compris, la géométrie algébrique est un domaine trop vaste, soit être de l'envergure de Grothendieck, serre, ...,(membres du groupe N.Bourbaki, pour l'occasion, il y'a un hors série de science et vie qui datent sur le groupe...),...., pour aller dans le sens de la généralisation, si non, se spécialisé, dans une branche de la GA (se qui il a nommé avoir un espace ....), si quelqu'un 'sait' qu'il n'a pas la puissance de ses prédécesseurs, il va dans le fossé.... .

ps:Merci mmanu_F pour les références même si je ne suis qu'un 'aventurier' en science.

[azizovsky]

Il a intérêt à être motivé le moins-matheux francophone ou a avoir de bonnes bases en géométrie algébrique, espaces projectifs et analyse complexe. Ceci dit c'est très brillant même pour moi qui ne comprends pas tout. Il est vrai que c'est le genre d'ouvrage-conférence qui, si on en possède les clefs minimales pour le comprendre, vous donne, en le lisant, l'impression d'être intelligent.

Jugement=relatif .

[mmanu_F]

Est-ce que la Géométrie non commutative de Connes apporte quelques espoirs sur un début de résolution de ce problème ?

Puisqu'il semble qu'une fraction de la discussion se soit centrée sur la géométrisation noncommutative (spectrale) de la physique à la Alain Connes, je profite de l'occasion pour pointer vers une unification des géométrisations (et par corollaire des discussions de ce fil).

Urs Schreiber, l'imposant encyclopédiste virtuel, a fait une synthèse fort impressionnante de la question il y a un an sur PhysicsForuminsights. En une phrase :

L'encodage de certains modèles de physique des particules (modèle standard inclus, AFAIK) dans des triplets spectraux ('DAH !') est simplement l'analogue pour une particule ponctuelle (avec spin, c'est-à-dire avec supersymétrie sur sa ligne univers) de l'encodage de fonds en théorie des cordes perturbative par l'intermédiaire de théories de champs super-conformes bidimentionnelles (sur la feuille univers), autrement dit des triplets spectraux 2D.

Je vous laisse lire pour les détails et les références bibliographiques correpondantes.

[mmanu_F]

Urs Schreiber a fait une synthèse fort impressionnante de la question

Un point intéressant pour le fil, dont parle Urs, et que je voulais justement aussi évoquer, c'est l'unification d'un autre type de géométrisation de la physique, sous-jacent dans la théorie des cordes (et dans celle de Connes), celle réalisée via les dimensions additionnelles compactes de Kaluza-Klein. Voilà qui est fait.

[invitedd63ac7a]

Urs Schreiber, l'imposant encyclopédiste virtuel, a fait une synthèse fort impressionnante de la question

Merci d'avoir pris en compte ma question.

[mmanu_F]

Salut,

avant de partir en week-end, une petite présentation très digeste de Anton Kapustin sur la géométrie quantique (entre maths et physique) avec la quantifiaction par déformation de Maxim Kontsevitch en point de mire et avec beaucoup de beau monde, de belle physique, de belles mathématiques et de bons mots en passant.

[mmanu_F]

Salut,

Laurent Sacco a écrit un petit résumé de la géométrisation de la physique via les dimensions additionnelles (à la Kaluza-Klein et les cordes, par extension) à la fin de son nouvel article / interview de Olivier Minazzoli sur la polarisation des ondes gravitationnelles et son rôle dans la détection de nouvelle physique.

Pour quelques compléments d'information au résumé de Laurent, le §2.6 (p.8) du Overduin et Wesson est parfait. Ils évoquent, en particulier, l'existence d'un nombre minimum de dimensions additionnelles pour obtenir le groupe de symétries du modèle standard (la bonne réponse n'est pas 42 mais 11) d'une part, et l'existence d'un nombre maximum de dimensions additionnelles consistent avec un graviton unique (je te laisse deviner la bonne réponse, indice: pas 42 non plus). Enfin, ils donnent quelques élements (dont Laurent n'a pas parlé) sur les problèmes de cette approche lorsqu'on essaie d'incorporer des fermions (quarks et leptons) avec les bonnes propriétés (chiralité), en particulier au niveau quantique (anomalies). Le paragraphe suivant traite de la résolution "miraculeuse" de ces problèmes par la théorie des cordes.

[mmanu_F]

Salut,

a théorie de l'intersection...

un exemple tout chaud de calcul d'amplitude de diffusion via la théorie de l'intersection : https://arxiv.org/pdf/1711.00469.pdf

[mmanu_F]

Re,

l'article de Atiyah, Skinner +1 (cité dans le précédent) vaut le coup d'oeil aussi (la conclu peut suffir pour se donner une idée).

[AncMath]

A vrai dire, je sais même que la théorie de l'intersection arithmétique, qui est beaucoup plus subtile et difficile que la géométrique intéresse aussi également les physiciens. Mais là, même si la théorie de l'intersection arithmétique c'est vraiment mon dada, j'ai jamais vraiment compris pourquoi les physiciens se penchaient dessus.

[mmanu_F]

A vrai dire, je sais même que la théorie de l'intersection arithmétique, qui est beaucoup plus subtile et difficile que la géométrique intéresse aussi également les physiciens. Mais là, même si la théorie de l'intersection arithmétique c'est vraiment mon dada, j'ai jamais vraiment compris pourquoi les physiciens se penchaient dessus.

ça ne m'évoque rien a priori, mais google m'a déjà donné quelques pistes pour que je puisse creuser un peu plus profond (Arakelov et Gillet et al. semblent pointer vers des liens avec la théorie des cordes dès les origines...)

[mmanu_F]

un exemple tout chaud de calcul d'amplitude de diffusion via la théorie de l'intersection : https://arxiv.org/pdf/1711.00469.pdf

en passant, cette nouvelle apparition de la théorie de Picart-Lefschetz (la 3ième de l'année alors qu'elle n'était jamais apparue sur mon radar auparavant) m'a décidé : je la note dans mon cahier des choses que je ne connais pas...

[AncMath]

Si ça t’intéresses je peux te faire un petit topos dessus sur le forum de maths (non pas que ma connaissance de la chose soit celle d'un expert du sujet), histoire de voir quels sont les tenants et les aboutissants de la chose. Je peux te donner des refs aussi bien sur.

[mmanu_F]

Si ça t’intéresses je peux te faire un petit topos dessus sur le forum de maths (non pas que ma connaissance de la chose soit celle d'un expert du sujet), histoire de voir quels sont les tenants et les aboutissants de la chose. Je peux te donner des refs aussi bien sur.

C'est sympa. Je vais déjà essayer de trouver un peu de temps pour lire la diagonalisation de ce que j'ai trouvé sur le sujet (avec une perspective physicienne). Je poserai mes questions sur le forum math, le cas échéant.

EDIT: d'ailleurs, ta proposition concernait l'intersection arithmétique et/ou Picart-Lefschetz ?

[AncMath]

EDIT: d'ailleurs, ta proposition concernait l'intersection arithmétique et/ou Picart-Lefschetz ?

Ce peut être les deux (même si je pensais plutôt au second qui est celui qui a l'air de t'interesser).

[mmanu_F]

Ce peut être les deux (même si je pensais plutôt au second qui est celui qui a l'air de t'interesser).

Excellent ! Je n'hésiterai pas pour Picard-Lefschetz. En revanche et en première lecture, j'ai trouvé le sujet de l'intersection arithmétique plutôt aride (selon mes critères subjectifs) du côté physique (option corde), je ne creuserai vraissemblablement pas beaucoup plus de ce côté pour l'instant.

[mmanu_F]

Salut,

mon premier survol (#47) de la théorie de Picard-Lefschetz m'a rappelé un aspect de la géométrisation de la physique qui n'a pas encore été explicité ici. Il s'agit de la géométrisation de la quantique.

On trouve quelques commentaires intéressants sur la question dans le dernier chapitre (Prospects) de l'elegant universe de Brian Greene (1999) et plus particulièrement la section Will string theory lead to a reformulation of quantum mechanics? :

[...] This means that quantum mechanics is thoroughly intertwined within the duality symmetries underlying string/M-theory: They are inherently quantum-mechanical symmetries, since one of the dual descriptions is strongly influenced by quantum considerations. This indicates forcefully that the complete formulation of string/M-theory — a formulation that fundamentally incorporates the newfound duality symmetries — cannot begin classically and then undergo quantization, in the traditional mold. A classical starting point will necessarily omit the duality symmetries, since they hold true only when quantum mechanics is taken into account. Rather, it appears that the complete formulation of string/M-theory must break the traditional mold and spring into existence as a full-fledged quantum-mechanical theory.

Currently, no one knows how to do this. But many string theorists foresee a reformulation of how quantum principles are incorporated into our theoretical description of the universe as the next major upheaval in our understanding. For example, as Cumrun Vafa has said, "I think that a reformulation of quantum mechanics which will resolve many of its puzzles is just around the corner. I think many share the view that the recently uncovered dualities point toward a new, more geometrical framework for quantum mechanics, in which space, time, and quantum properties will be inseparably joined together. And according to Edward Witten, "I believe the logical status of quantum mechanics is going to change in a manner that is similar to the way that the logical status of gravity changed when Einstein discovered the equivalence principle. This process is far from complete with quantum mechanics, but I think that people will one day look back on our epoch as the period when it began.

Evidemment, comme le suggère le début de la citation, il ne s'agit pas d'un hypothétique retour de la physique au temps béni (sarcasme) de la physique classique, tout au contraire. (Ceux qui n'ont jamais visionné la vidéo grand public de Cumrun sur les dualités peuvent profiter de l'occasion.) Il y a 7 ans Edward Witten a remis le nez dans le problème. Les maths impliquées sont plutôt du genre costaudes et plongent leur racines non loin d'une nouvelle tentative récente de physicalisation des mathématiques, que je voulais aussi évoquer ici, la version géométrique de la correspondance de Langlands.

Pour la petite histoire et pour retomber sur mes pattes (j'étais parti de Picard-Lefschetz), quelques mots sur l'article de Witten. Edward utilise le formalisme quantique de Feynman, celui des intégrales de chemin, qu'il généralise en complexifiant l'espace des phases. Il identifie ensuite une classe de contours d'intégration déformés (s'écartant de l'axe réel) intéressants qui "expliquent" pour ainsi dire, l'origine de la mécanique quantique. L'intégrale de chemin de la mécanique quantique non-relativiste est ainsi reconvertie en une théorie (topologique) quantique des champs bidimentionnelle, où les acteurs principaux ne sont plus des particules ponctuelles mais des branes particulières (coisotropiques) étudiées au début du millénaire par Anton Kapustin (celui du #41). Anton lie ces A-branes aux catégories de Fukaya que j'ai retrouvées hier dans la référence à Seidel sur nLab (là où sévit Urs l'encyclopédiste #38), liées cette fois à la théorie de Picard-Lefschetz. La boucle est bouclée.

Je suis ici clairement au delà de ma zone de confort, alors si tu te sens, AncMath, de faire quelques commentaires avisés sur les théories évoquées plus haut (et leurs liens), n'hésite pas !

Une dernière remarque, Itzhak Bars (monsieur physique à 2 temps ; 0577, si tu passes par là, ta contribution à ce fil en améliorerait grandement le contenu) a aussi formulé des idées analogues en 2014.

[mmanu_F]

avec le lien corrigé vers l'article d'Ed :

Edward Witten a remis le nez dans le problème.

[AncMath]

A vrai dire je ne saurais rien dire de bien pertinent sur la physique en toute circonstance. Et j’espérais justement que tu m'expliques pourquoi les physiciens s'interessent à des choses comme la théorie de Picard-Lefschetz.

Pour moi la théorie de Picard-Lefschetz consiste à étudier l'action de la monodromie sur la cohomologie de la fibre singulière d'une fibration. Basiquement l'idée est de regarder famille plate de variétés qui soit propre et lisse sauf éventuellement en dehors d'un point isolé.

Sur un petit disque en topologie analytique, la cohomologie de la fibre donne un système local, c'est à dire un faisceau localement constant, ce qui résulte essentiellement du théorème d'Ehressmann. De tels système locaux sont paramétrés classiquement par des représentations du groupe fondamental de la base.

L'idée est dont de comprendre comment cette représentation de monodromie agit. Un cas simple est quand la famille est donnée par un pinceau de Lefschetz. C'est un pinceau d'hypersurfaces ayant au plus un point double ordinaire comme seule singularité et donc le lieu de base est de codimension 2. Supposons pour simplifier que ce lieu de base soit vide. Alors on est dans la situation décrite auparavant autour d'une fibre et la formule de Picard-Lefschetz dit que la monodromie agit à u signe près par ajout de la classe d'une sphère évanescente sur la cohomologie du "milieu moins 1".

Ces sphères évanescentes proviennent de l'homologie évanescente. Si tu examines une fibre d'un pinceau de Lefschetz sur une variété lisse de dimension n, alors le théorème facile de Lefschetz te dit que la cohomologie des hypersurfaces est isomorphe à la cohomologie totale en tous degrés, sauf en degré n-1, n et n+1. En degré n-1 la restriction donne un injection de la cohomologie de la variété dans celle des hypersurfaces.

En fait l'espace total a le type d'homotopie de recollement d'une boule le long d'une sphère d'une fibre typique. Cette sphère "s'évanouit" sur la fibre singulière puisqu'elle dégénère en un point. Cette sphère engendre l'"homologie évanescente" c'est à dire le noyau de l'application (surjective donc) de l'homologie de la fibre dans celle de l'espace total.

Apres chaque tour autour de la fibre possiblement singulière la monodromie rajoute ou enlève donc la classe de cette sphère enfin sa duale.

Ca c'est la situation basique, on peut généraliser ce genre de considérations à la situation générale, et plus généralement étudier l'homologie d'une paire (X,H) pour H un hypersurface de X... Et on peut aussi bien sûr déduire tout un tas de choses de ça, un lien tres fructueux est de regarder comment on peut comprendre les deformations de la structure de Hodge sur une famille au dessus d'un disque épointé en fonction de l'action de la monodromie. Dans une autre direction on peut prouver le théorème de Lefschetz-Noether: une surface de degré 4 générale a un groupe de Picard trivial.

Je vais essayer de parcourir les liens que tu donnes mais qui m'ont l'air de parler de choses plus sophistiqués que les 2-3 trucs que je viens de raconter.

[mmanu_F]

Je suis ici clairement au delà de ma zone de confort, alors si tu te sens, AncMath, de faire quelques commentaires avisés sur les théories évoquées plus haut (et leurs liens), n'hésite pas !

Salut,

A vrai dire je ne saurais rien dire de bien pertinent sur la physique en toute circonstance. Et j’espérais justement que tu m'expliques pourquoi les physiciens s'interessent à des choses comme la théorie de Picard-Lefschetz. [...]
Je vais essayer de parcourir les liens que tu donnes mais qui m'ont l'air de parler de choses plus sophistiqués que les 2-3 trucs que je viens de raconter.

évidemment, c'était bien tes lumières théoriques sur les aspects mathématiques que je sollicitais, j'aurais dû préciser. En particulier, le lien entre Picard-Lefschetz et la catégorie de Fukaya (je n'ai lu que l'intro de Seidel par la petite diagonale), et la version géométrique de la correspondance de Langlands (pas mieux).

La suite de ton message m'a semble-t'il donné raison, tes commentaires sur la question mathématique sont clairement avisés. De mon côté, je manque encore cruellement de recul par rapport à Picard-Lefschetz du côté physicien, c'est plutôt encore une activité de découverte pour l'instant, mais je vais essayer de prendre un peu de temps pour faire une petite synthèse des (maintenant quatre, mais la cinquième n'est pas loin, je viens de retomber sur les A-branes à l'échelle de Planck ) occurences de Picard-Lefschetz que j'ai croisé récemment. Si j'arrive à finaliser (je ne fais pas de promesses, encore moins à court terme), j'ouvrirai une discussion dédiée (ici ou du côté maths, à défaut de territoire commun) avec les références réorganisées plus clairement et la place pour détailler un peu le contexte physique et étaler un peu le formalisme mathématique pour se rapprocher de ce que tu as commencé dans le #54.

[mmanu_F]

Salut,

comme je l'avais suggéré dans mon précédent, j'ai croisé hier une 5ième apparition de la théorie de Picard-Lefschetz. Pour être précis, j'ai croisé à nouveau la version A de la théorie des cordes topologiques (et ses A-branes), conjecturée au #52 (que la charte me pardonne) être liée à la catégorie de Fukaya (Je ne voudrais pas être crédité pour une conjecture dont je ne suis pas à l'origine, mais alors pas du tout, puisque Kapustin & Orlin le disaient déjà en 2001. Je n'en ai pas encore localisé l'origine précise, peut-être Kontsevich ou Witten.), catégorie(s) de Fukaya qui est elle-même fortement liée à la théorie de Picard-Lefschetz (voir #52 le livre de Seidel, dont le titre suffit : Fukaya categories & picard-Lefschetz theory).

Après ce résumé introductif de ce que je ne sais pas, entrons à présent dans le vif du sujet du jour. Il s'agit du troisième volet en vidéo du cours au TASI de Cumrun Vafa (le lien vers les vidéos sur le site de l'université du Colorado est cassé depuis quelques temps, ce qui explique que les liens du #35 soient morts). La discussion sur la théorie des cordes topologiques débute autour de la 38ième minute (les plus pressés peuvent commencer là directement) et donne une idée de ce que sont ces modèles, leur intérêt dans le contexte plus général de la gravité quantique, et quelques détails mathématiques présentés par un des experts dans le domaine (doublé d'un excellent pédagogue). Je ne pense pas en dire beaucoup plus sur le sujet dans ce fil (mais je tâcherai de poursuivre ailleurs) et la vidéo me parait être un très joli bouquet final.

Pour dire quelques mots de la physique, l'idée centrale présentée par Vafa, est de construire un modèle holographique simplifié de la gravité quantique, dans lequel la physique (gravitationnelle) à coeur est soluble. Ce n'est pas le cas de la dualité AdS/CFT, par exemple, pour laquelle seule la théorie au bord (la théorie quantique des champs conformes) a une définition non perturbative. Toute la première partie de la vidéo est une introduction synthétique à la correspondance AdS/CFT et met justement l'accent sur cette absence de définition non-perturbative de la théorie à coeur (c'est à dire de la théorie des cordes).

Cette vidéo me permet donc de transiter en douceur vers l'item suivant que je voulais évoquer dans ce fil dédié à la géométrisation de la physique : historiquement (avec les travaux de 't hooft dans les 70s) et en pratique, la correspondance AdS/CFT est une géométrisation, via une théorie (géométrique, j'insiste) de la gravitation à coeur (AdS), de certaines théories quantiques des champs (CFT, dans un espace avec une dimension spatiale de moins) dans son régime de couplage fort, dont la physique ne pouvait être étudiée par les méthodes perturbatives usuelles. En trois mots : AdS géométrise CFT. Je donnerai quelques exemples marrants par la suite.

PS : J'ai donné un peu de contexte ici suite à la bonne surprise de ce matin : le papier compagnon du cours de Vafa était servi avec mon café et c'est un bon compagnon !

[mmanu_F]

Pour les intéressés, le lien vers l'article original de 2003 de Vafa (+ Iqbal, Nekrasov, Okounkov) mousse quantique et cordes topologiques, avec tous les détails de la construction.

[mmanu_F]

Salut,

je sais que j'avais promis de ne plus en parler ici, mais comme je bosse encore un peu là-dessus de mon côté et que la thèse (en français, quel luxe) de Nicolas Orantin dénichée par azizovsky a une section sythétique dédiés aux cordes topologiques (§2 page 147, le reste du chapitre 5 n'est pas sans lien avec la discussion), je me permets de le remonter

https://hal.archives-ouvertes.fr/fil...name/court.pdf

[mmanu_F]

Salut,

Géométrie et Physique, par Edward Witten au congrès international des mathématiciens en 1986.

[azizovsky]

il y'a le livre de V.S.Vladimirov, les fonctions de plusieurs variables complexes et leurs application à la théorie quantique des champs .