J'essaie d'écrire un petit truc des que j'ai un moment.Envoyé par mmanu_F
Mais juste une remarque le programme de Langlands géométrique ça n'est pas une version géométrique du programme du Langlands. Le programme de Langlands originel portait sur les corps de nombres. On lui a ensuite donné des versions p-adiques, ou portant sur les corps de fonctions (globaux et locaux), c'est ce dernier point qui est le programme de Langlands géométrique.
Salut,
je m'étais contenté de traduire littéralement l'intro de Kapustin et Witten (lien dans #52) :
Le côté surface de Riemann et la reformulation à la physicienne en terme de S-dualité en théorie quantique des champs m'avaient convaincu. (voir aussi l'intro de Frenkel, même lien)The Langlands program for number fields unifies many classical and contemporary results in number theory [...]. It has an analog for curves over a finite field [...]. In addition, a geometric version of the Langlands program for curves has been much developed, both for curves over a field of characteristic p and for ordinary complex Riemann surfaces. [...]
Our focus in the present paper is on the geometric Langlands program for complex Riemann surfaces. We aim to show how this program can be understood as a chapter in quantum field theory.
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Salut,
12 ans après
toujours au congrès des mathématiciens, Cumrun Vafa présente Geometric Physics. Le rôle principal est joué par la dualité quantique (la généralisation non-linéaire de dimension infinie de la transformée de Fourier, comme il dit.) dans une pièce en 3 actes : la symétrie miroir (avec un passage par la théorie quantique des intersections et les germes de la théorie des cordes topologiques à la Kontsevich et Fukaya, cf #11; #52, #56), l'importance des singularités pour la physique (les débuts de l'ingénierie géométrique des théories quantiques des champs avec notamment le modèle standard de physique des particules en point de mire), et le tout récent (pour l'époque) calcul statistique de l'entropie des trous noirs (présenté du point de vue cohomologique).
Dernière modification par mmanu_F ; 11/11/2017 à 10h44.
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Salut,
comme je l'avais annoncé
je voudrais donner quelques exemples de géométrisation, via la correspondance AdS/CFT, de la physique "plus proche de nous", en commençant par de la physique à haute énergie, accessible à nos expériences depuis le début du siècle (RHIC puis LHC). Je veux parler de la valeur seuil minimum conjecturée pour la viscosité d'un fluide (plus précisément, il s'agit du rapport de la viscosité de cisaillement sur la densité d'entropie, que je continuerai à appeler viscosité pour simplifier) : Kovtun, Son, Starinets (2004) viscosity in strongly interacting quantum field theories from black hole physics.
Pour donner un peu de contexte, le plasma de quarks et de gluons est connu pour être un fluide avec une viscosité extrêment faible. (quelques résultats expériementaux ici). Cependant, les propriétés de ce plasma s'avèrent être particulièrement dures à déterminer théoriquement, essentiellement parce que cette phase (déconfinée) de la chromodynamique quantique (CDQ) est caractérisée par une constante de couplage élevée, rendant les calculs perturbatifs impossibles (l'approche numérique sur réseaux donne toutefois des résultats en accord avec l'expérience). Et c'est exactement le régime pour lequel la description géométrique (gravitationnelle) de la correspondance peut se rendre utile.
Quelques remarques.
D'abord, ces considérations holographiques ont permis de dégager le paramètre le plus pertinent pour caractériser la "fluidité" d'un fluide (la rapport de la viscosité de cisaillement sur la densité d'entropie, plutôt que la viscosité de cisaillement seule). Ensuite les calculs holographiques pointent vers une valeur universelle, égale à 1/4pi (en unités naturelles), qui peut-être conjecturée être la plus petite valeur permise.
Il peut sembler improbable que le correspondance AdS/CFT soit en mesure de donner des résultats intéressants pour la CDQ, qui n'est pas une théorie supersymétrique et qui n'a que N=3 couleurs (la correspondance étant d'autant plus particable que N est grand par rapport à 1). Cependant, le plasma est fortement couplé et le paramètre décisif (le couplage de 't hooft) pour faire des calculs côté gravité est de l'ordre de 20 (il vaut N.g², avec g la constante de couplage). Ensuite, la température est non nulle dans le problème considéré et la supersymétrie est brisée dans ce cas, ses effets sont donc moins apparents. Et c'est effectivement ce qui semble être observé, les valeurs mesurées sont de l'ordre de 2.5 fois la valeur minimale.
Pour donner la philosophie géométrique du calcul, la dualité AdS/CFT fait correspondre la transition de phase entre confinement (hadrons) et déconfinement (plasma de quarks et gluons), à la création d'un trou noir. On peut montrer que la viscosité de cisaillement est associée à la section efficace d'absorption du trou noir qui est proportionnelle à sa surface (dans une certaine limite) et donc à l'entropie du trou noir. Pour les détails, je recommande chaudement l'article de revue très didactique sur la question de Steven Gubser et Andreas Karch (l'intro sur la correspondance est vraiment excellente et la viscosité est expliquée p. 19-22).
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Une petite précision concernant l'universalité de la valeur minimale.
Elle n'est universelle que dans la limite où la gravité est classique, c'est-à-dire la limite N (le nombre de couleurs) infini. Les corrections en 1/N (l'interaction des cordes se fait sentir) peuvent être positives ou négatives, si bien que le seuil peut être violer par celles-ci.
Pour aider à la visualisation de la dualité AdS/CFT, en image : les domaines de validités des différentes approximations théoriques dans le plan des paramètres de la correspondance (en abscisse c'est la constante de couplage de 't hooft dont j'ai parlé dans le précédent).
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
D'ailleurs, pour ceux qui douteraient encore de la nature géométrique de l'explication AdS/CFT de la valeur du seuil en viscosité/entropie (=1/4pi), notez qu'elle tire son origine du coefficient de couplage des (très géométriques) équations d'Einstein en relativité générale, G= 8pi T (en unités naturelles toujours).
Pour le dire autrement, il s'agit du coefficient (de couplage) devant l'action de Hilbert-Einstein (1/16pi) multiplié par le 4 de la (très géométrique aussi) entropie du trou noir, égale au quart de l'aire de l'horizon comme calculée par Hawking (les détails dans le Gubser et Karch du #64).
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Salut,
je profite d'un peu de temps pour poursuivre sur ma lancée.
Le fait de voir apparaitre une quantité tout droit sortie de la physique des fluides (cf #64) dans la physique des trous noirs, n'est cependant pas une surprise inédite. On avait compris depuis pas mal de temps que, d'un certain point de vue, qui est essentiellement celui de l'observateur à l'extérieur du trou noir, l'horizon des évenements, ou plus précisément la fine couche de quelques longueurs de Planck d'épaisseur juste au-dessus, se comportait comme une membrane avec des propriétés physiques comme la viscosité, ou encore la conductivité électrique. L'idée remonte au fraichement nobelisé Kip Thorne et ses collaborateurs à la fin des années 80. Elle fut reprise par Lenny Susskind et ses collaborateurs pour donner du corps au principe de complémentarité des trous noirs dans les 90s.
Il est cependant pour le moins délicat de construire une théorie décrivant les propriétés physiques d'une surface définie de manière téléologique, la structure globale de l'espace-temps devant être connue (futur compris) pour définir un trou noir et son horizon des évenements. L'idée de la membrane et celle du principe de complémentarité restèrent ainsi quelques années dans les limbes des bonnes idées physiques sans mathématiques pour les implémenter.
Les outils mathématiques vont apparaitre, une fois encore, avec la dualité AdS/CFT. En 2007, se basant notamment sur les calculs de viscosité dont je parlais au précédent, Bhattacharyya, Hubeny, Minwalla, et Rangamani vont découvrir dans la limite des grandes longueurs d'ondes, la correspondance fluide/gravité. Soit encore, pour le dire en deux équations :
Einstein = Navier-Stokes
avec évidemment les équations d'Einstein régissant la dynamique dans un espace-temps qui asymptote Anti de Sitter et l'équation de Navier-Stokes (généralisée) qui décrit la dynamique d'un fluide (relativiste et conforme) dans un espace-temps avec une dimension spatiale de moins, que l'on peut imaginer vivre au bord (à l'infini) de l'espace-temps précédent. La "membrane" de tout à l'heure trouve ainsi un habitat convenable et naturel (défini sans ambiguités). On peut se demander s'il existe un lien plus précis entre la membrane sur l'horizon des évenements et celle à l'infini. Je me contenterai de remarquer que les cheveux doux étudiés il y a peu par Stephen Hawking, Andy Strominger, et Malcolm Perry, joue ce rôle de lien entre les deux surfaces (dans le cas d'un univers asymptotiquement plat), mais c'est une autre histoire.
Pour un peu plus de détails accessibles, le pdf de la présentation de Veronika Hubeny vaut le coup d'oeil.
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Salut,
je viens de voir passer sur mon radar une référence sur le sujet des derniers posts, très complète, et se voulant accessible : Casalderrey-Solana, Liu, Mateos, Rajagopal, Wiedemann (2011/01) gauge/string duality, hot QCD & heavy ion collisions.
La voie ardue mais juste du révolutionnaire conservateur : bâtir en détruisant le minimum.
Salut,
je viens d'ouvrir une discussion/résumé pour les 20 ans de la correspondance AdS/CFT (C'est aujourd'hui) dans les actualités.
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