Redshift gravitationnel et courbure : Schild vs. Marsh & Nassim-Sabat

[mach3]

Bonjour,

Je potassais "gravitation" de Misner, Thorne et Wheeler (1973) et suis tombé sur un passage traitant de l' "argument de Schild", qui montre que l'existence d'un redshift gravitationnel implique une courbure de l'espace-temps. En farfouillant, je suis tombé sur le site de Peter Brown expliquant qu'un contre-argument avait été opposé par Marsh et Nassim-Sabat dans l'American Journal of Physics (1975), mais l'explication du site ne m'a pas convaincu. Je me suis procuré l'article de Marsh et Nassim-Sabat, qui non seulement explique quelque chose de différent, mais en plus ne convainc toujours pas.

Je commence par exposer de façon neutre et je critiquerais ensuite :

1)

D'après Misner, Thorne et Wheeler, l'argument de Schild est exposé comme suit :
-on considère que l'espace-temps est celui de la relativité restreinte, muni de coordonnées de Lorentz avec la Terre à l'origine. La durées et longueurs propres sont données par la métrique de Minkowski.
-on considère le champ gravitationnel de la Terre tel qu'il est connu expérimentalement, peu importe son fonctionnement interne (champ scalaire, vectoriel, tensoriel... on est pas de le cadre RG, les géodésiques sont des droites, la gravitation empêche les corps de rester sur leur géodésique comme le fait l'electromagnétisme, la chute libre n'est pas un mouvement géodésique ou inertiel)
-on considère un observateur sur Terre à l'altitude z0 et un second à l'altitude z1
-ces deux observateurs sont immobiles (à deux sens : vitesse nulle dans le référentiel de Lorentz considéré ET mesure de distance qui restent constantes dans le temps) l'un par rapport à l'autre et par rapport à d'autres objets "immobiles" et ils peuvent vérifier leur immobilité simplement en mesurant que les durées d'aller-retour de signaux ne varient pas dans le temps

Si l'observateur en z0 émet un signal durant une durée propre T (séparant un évènement A de début d'émission et un évènement C de fin d'émission), l'observateur en z1 reçoit un signal d'une durée propre T' (séparant un évènement B de début de réception et un évènement D de fin d'émission). Du fait que le champ gravitationnel et les deux observateurs sont statiques, les lignes d'univers suivies par le début du signal (AB) et par la fin du signal (CD) sont "congruentes", c'est-à-dire identiques à une translation près. Dans un premier cas simplifié ces lignes d'univers sont des droites (des géodésiques nulles) et on obtient donc un parallélogramme, avec AC=BD, c'est à dire T=T'. Dans un second cas on va plus loin en proposant que ces lignes d'univers puissent avoir une forme quelconque pour tenir compte d'un éventuel effet de la gravitation (peu importe sa nature) sur la lumière, tout en étant toujours congruente, on obtient un genre de "parallélogramme" et pas de changement, cela implique AC=BD et donc T=T'

Or si on intègre le redshift gravitationnel tel qu'il est connu expérimentalement (par exemple Pound et Rebcka et bien d'autres expériences), T est différent de T'. Donc on a un "parallélogramme" dont deux coté opposés sont de longueur différente, impossible en géométrie plane. Donc l'espace-temps ne peut pas être celui, plat, de la relativité restreinte, donc l'espace-temps est courbé (on ne dit pas de quelle manière).

2)

D'après Peter Brown, http://www.geocities.ws/physics_worl..._red_shift.htm , l'argument n'est pas valide car sur le dessin de Schild, les axes temporels ne sont pas gradués et cela cache le fait qu'ils n'ont pas les même graduations, en gros que ce n'est pas le même temps. Du coup l'argument du parallèlogramme tombe à plat : les coté AC et BD ont la même longueur graphiquement, mais l'intervalle AC est différent de l'intervalle BD
(là j'avoue que je me retiens très fort de critiquer de suite...)

3)

D'après Marsh et Nassim-Sabat, l'argument de Schild tente de montrer que tout redshift gravitationnel requiert que la géométrie de l'espace-temps soit courbe, et ils le démontent par le contre-exemple d'un champ de gravitation uniforme, dans lequel il y a redshift gravitationnel, mais, d'après eux, aucune courbure.

maintenant la critique (non-exhaustive) :

1) L'argument de Schild, tel qu'exposé par MTW me semble valide. On arrive bien à une absurdité, mais est-ce bien seulement la première prémisse qu'il faut remettre en question (géométrie de Minkowski partout)? il est clair qu'on ne peut pas remettre en cause le champ de gravitation de la Terre, et que rien n'interdit de mettre deux observateurs à deux altitudes différentes. A la rigueur on peut se poser la question de l'immobilité des deux observateurs, mais je n'y trouve rien à redire.
Par contre on peut noter que tel qu'exposé dans le MTW, c'est du redshift gravitationnel engendré par un astre de symétrie sphérique (ou presque) dont il est question, et pas de "tout redshift gravitationnel" comme mentionné par Marsh et Nassim-Sabat. Je n'ai pas pu lire le texte original de Schild et peut-être qu'il y est question de tout les cas de figures, mais dans ce qui est exposé dans le MTW il n'est pas question de tout les cas de figures mais du champ gravitationnel de la Terre et du redschift mesuré sur Terre. Notons que Marsh et Nassim-Sabat citent l'article de Schild, mais aussi le livre gravitation de MTW.

2) La critique faite par Peter Brown ne me semble pas tenir la route, ce ne sont pas des axes de temps différents, dans la mesure où (dans l'exposé de MTW en tout cas) on a postulé des coordonnées de Lorentz avec le centre de la Terre à l'origine et que le temps coordonnée de Lorentz est supposé coïncidant au temps propre de tout immobile de Lorentz. Postuler des coordonnées de Lorentz en espace-temps plat pour la Terre revient à dire qu'il y a un temps synchronisé pour tout les immobiles dans ces coordonnées, quelque soit leur position, en terme d'altitude notamment. Le fait expérimental qu'il soit impossible de garder synchronisées deux horloges immobiles mais a des altitudes différentes (le redshift gravitationnel observé sur Terre donc) démontre que l'espace-temps plat ne fonctionne pas pour la Terre.

3) La critique formulée par Marsh et Nassim-Sabat est différente de celle de Peter Brown (pourtant ce dernier se réfère à eux...), mais elle ne me semble pas tenir non plus. Ils utilisent le contre-exemple d'un champ de gravitation uniforme, cas dans lequel il n'y aurait pas de courbure. Premièrement, l'argument de Schild, tel qu'exposé dans le MTW n'est pas dans le cadre d'un champ uniforme (mais comme déjà dit je n'ai pas pu lire le texte original de Schild, peut-être qu'il inclut le champ uniforme). Deuxièmement, je n'ai pas de preuve (mais j'en cherche) qu'un champ de gravitation uniforme corresponde à un cas sans courbure.
Si on pense au référentiel de Rindler, il n'y a effectivement pas de courbure, mais il n'est pas vrai de dire que le champ est uniforme (il est uniforme dans un plan seulement, mais augmente ou diminue verticalement). On peut penser, en espace-temps plat, à d'autre référentiels, plus tordus, où le champ est vraiment uniforme (en fait où l'accélération propre de tous les immobiles serait constante en norme et en direction spatiale) mais ils ne sont pas rigides, c'est à dire que la distance que mesure deux immobiles (au sens de vitesse nulle dans le référentiel seulement) entre eux change dans le temps : on est donc plus du tout dans le cadre des hypothèses de l'argument de Schild où la distance entre immobiles ne change pas. Par ailleurs la non-rigidité de ces référentiel "tordus" permet de penser justement que pour avoir à la fois champ uniforme et des immobiles restant à distance constante il faut une courbure... (à démontrer...).

Il y a donc ici un sac de noeud que je compte bien essayer de démêler proprement! qu'en pensez-vous?

m@ch3
-----

[Nicophil]

Bonjour,
Personne ?? OK, je me lance :

La RR n'est valide qu'en l'absence de pesanteur, or le redshift d'Einstein est la marque d'un champ de pesanteur.

[Nicophil]

http://www.mathpages.com/rr/s5-06/5-06.htm

Inside the accelerating elevator the additional tendency for geodesic paths to "veer off" is not really due to any extra non-linearity of the geodesics, it's due to the non-linearity of the elevator's coordinate system. Hence most people today would say that non-zero Christoffel symbols, by themselves, should not be regarded as indicative of the presence of "true" gravity. If the intrinsic curvature is zero, then non-vanishing Christoffel symbols simply represent the necessary compensation for non-linear coordinates, so, at most (the argument goes) they represent "pseudo-gravity" rather than “true gravity” in such circumstances.

But the distinction between “pseudo-gravity” and “true gravity” is precisely what Einstein denied. The equivalence principle asserts that these are intrinsically identical. Einstein’s point hasn't been fully appreciated by some subsequent writers of relativity text books. In a letter to his friend Max von Laue in 1950 he tried to explain:

...what characterizes the existence of a gravitational field from the empirical standpoint is the non-vanishing of the [G lik], not the non-vanishing of the [curvature]. If one does not think intuitively in such a way, one cannot grasp why something like a curvature should have anything at all to do with gravitation. In any case, no reasonable person would have hit upon such a thing. The key for the understanding of the equality of inertial and gravitational mass is missing.

The point of the equivalence principle is that curving coordinates are gravitation, and there is no intrinsic ontological difference between “true gravity” and “pseudo-gravity”.

What Einstein was describing to von Laue was the conceptual necessity of identifying the purely geometrical effects of non-inertial coordinates with the physical phenomenon of gravitation.

[Nicophil]

La RR n'est valide qu'en l'absence de pesanteur,

C'est seulement si le champ de pesanteur est negligeable que l'espace-temps est minkowskien, or ce n'est pas parce qu'il est uniforme qu'il est negligeable !

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Merci de l'intérêt (guère de succès avec ce fil...)

mais sinon?

sur l'argument de Schild, tel que présenté par Misner, Thorne et Wheeler, valide ou pas valide?
sur le contre-argument de Brown, valide ou pas valide?
sur le contre-argument de Marsh et Nassim-Sabat, valide ou pas valide?

C'est la-dessus que je veux discuter. Il ne s'agit pas de discuter sur le principe d'équivalence ou sur la définition de "pesanteur", mais des arguments en eux-mêmes, en quoi ils tiennent la route ou pas (en fonction du cadre dans lequel ils sont exprimés), en quoi les uns peuvent effectivement contredire les autres ou pas.

D'ailleurs si quelqu'un arrive à trouver les textes originaux de Schild, ce serait intéressant (refs : A. Schild, Monist 47, 20 (1962); Evidence for Gravitational Theories, edited by C. Moller (Academic, New York, 1962); Conférence internationale sur les theories relativiste de la gravitation, edited by L. Infeld (Pergamon, Oxford, 1964))

m@ch3

[invite6c093f92]

Deuxièmement, je n'ai pas de preuve (mais j'en cherche) qu'un champ de gravitation uniforme corresponde à un cas sans courbure.

Comme celui de la RR?

sur l'argument de Schild, tel que présenté par Misner, Thorne et Wheeler, valide ou pas valide?

sur le contre-argument de Brown, valide ou pas valide?
sur le contre-argument de Marsh et Nassim-Sabat, valide ou pas valide?

Qui utilise le transport // et/ou comment?

[mach3]

Comme celui de la RR?

Nassim et Sabat disent que dans le cas d'un champ de gravitation uniforme, l'espace-temps est celui de la RR (selon eux pas de courbure, donc métrique de Minkowski), et c'est juste un effet de référentiel et/ou système de coordonnées.

Qui utilise le transport // et/ou comment?

Conceptuellement on est avant cela, on est au point où si on admet le décalage d'Einstein aka redshift gravitationnel, peut-on conserver l'espace-temps plat de la RR qu'on sait valable localement (on ne se demande même pas par quoi on le remplace)? Nassim-Sabat parlent dans le cadre de la RG. Ils prennent un exemple de champ de gravitation où il y a redshift gravitationnel mais aucune courbure pour contre-dire l'argument de Schild. Exemple discutable selon moi.

m@ch3

[Amanuensis]

Je découvre très tardivement ce fil, ayant été d'une certaine manière «absent» à l'époque ; et Mach3 vient de me l'indiquer.

Quelques réactions à chaud.

1) Ce qui me frappe d'entrée dans l'argument de Schild, c'est que c'est en espace 1+1, ce qui devrait pas mal simplifier les choses. Et en particulier la symétrie sphérique de la gravitation n'intervient pas en soi. On a juste un champ de pesanteur non uniforme le long d'une ligne (uniforme dans le cas MNS). Autre point, le modèle est clairement stationnaire.

2) La notion de pesanteur et de gravitation sont distinctes. Si la RR n'est pas compatible avec une présence de gravitation au sens de la RG, elle est compatible avec la présence de pesanteur, car la pesanteur dépend du référentiel. Dans un référentiel accéléré en RR, il y a automatiquement pesanteur. C'est d'ailleurs pareil en classique.

(La vulgarisation est très mauvaise sur le sujet, quand elle parle de «pesanteur artificielle», ou de «force G», qui sont des manifestations de pesanteur comme cela apparaît dans un référentiel accéléré.)

Ce qui caractérise la RR n'est pas l'absence de pesanteur (on peut utiliser des référentiels accélérés!), mais l'existence d'un référentiel pour lequel la pesanteur est partout nulle.

Et il y a une relation étroite entre la pesanteur (et non la gravitation) et les christoffel pour le système de coordonnées considéré. Cohérent avec l'idée que ces coeff dépendent du système de coordonnées sans former un tenseur!

Réciproquement, en RG, il me semblait avoir compris que si pour un ouvert il existe un référentiel tel que la pesanteur est partout nulle, alors la courbure de Riemann est nulle dans tout l'ouvert.

(On peut définir la pesanteur dans un référentiel comme l'opposé du gradient de U pris dans la direction de U (soit , U étant le champ des qv immobiles. C'est donc quelque chose qui dépend du référentiel (via le champ U) et de la connexion (et donc des christofell dans le système de coordonnées défini par le référentiel, puisque ces coeffs sont ceux de la connexion. Que la connexion soit plate n'implique rien sur le gradient!)

3) L'argument MNS, même si valide, pourrait amener à juste un amoindrissement de la propriété, disant alors qu'un champ gravitationnel non uniforme + non égalité entre AC et BD implique courbure. (Ce n'est pas très choquant ni même littéralement une contradiction avec l'argument de Schild ; après tout la description donnée par MTW parle d'un champ tel qu'expérimenté sur Terre ; et la symétrie sphérique interdit un champ uniforme le long d'une radiale il me semble (loi de Gauss).)

4) Dans l'argument de Schild, un point que je ne comprends pas immédiatement est la notion de parallélogramme. Quelle est la définition d'un parallélogramme en géométrie +-, et quels théorèmes sont identiques ou différents comparé avec la géométrie ++ (euclidienne)? Ce n'est pas suffisant, il me semble, de faire un diagramme de Minkowski et d'appliquer les théorèmes euclidiens sans beaucoup de précautions (je l'ai encore vérifié récemment à mon détriment...).

[mach3]

Ce qui caractérise la RR n'est pas l'absence de pesanteur (on peut utiliser des référentiels accélérés!), mais l'existence d'un référentiel pour lequel la pesanteur est partout nulle.

Et il y a une relation étroite entre la pesanteur (et non la gravitation) et les christoffel pour le système de coordonnées considéré. Cohérent avec l'idée que ces coeff dépendent du système de coordonnées sans former un tenseur!

Réciproquement, en RG, il me semblait avoir compris que si pour un ouvert il existe un référentiel tel que la pesanteur est partout nulle, alors la courbure de Riemann est nulle dans tout l'ouvert.

référentiel au sens qui admet du non rigide? Par exemple, en FLRW, je peux dire que les lignes d'univers de coordonnées spatiales constantes forment un référentiel (non rigide) et les immobiles de ce référentiel ont une pesanteur nulle, pourtant il y a courbure...?

4) Dans l'argument de Schild, un point que je ne comprends pas immédiatement est la notion de parallélogramme. Quelle est la définition d'un parallélogramme en géométrie +-, et quels théorèmes sont identiques ou différents comparé avec la géométrie ++ (euclidienne)? Ce n'est pas suffisant, il me semble, de faire un diagramme de Minkowski et d'appliquer les théorèmes euclidiens sans beaucoup de précautions (je l'ai encore vérifié récemment à mon détriment...).

l'idée c'est de prendre une ligne d'univers (de genre nul dans l'exemple) et de la translater suivant . Cela donne l'analogue d'un parallélogramme. On montre facilement qu'il a des propriétés similaires au parallélogramme euclidien en terme d'égalité de côtés et de parallélisme par construction (vu que t est un temps coordonné de Lorentz).

m@ch3

[Amanuensis]

référentiel au sens qui admet du non rigide? Par exemple, en FLRW, je peux dire que les lignes d'univers de coordonnées spatiales constantes forment un référentiel (non rigide) et les immobiles de ce référentiel ont une pesanteur nulle, pourtant il y a courbure...?

J'ai donc dû écrire une ânerie. Ou pire, penser une ânerie et en tirer des conséquences... Faut que je reprenne mes notes, j'ai écrit trop vite et de mémoire.

l'idée c'est de prendre une ligne d'univers (de genre nul dans l'exemple) et de la translater suivant . Cela donne l'analogue d'un parallélogramme. On montre facilement qu'il a des propriétés similaires au parallélogramme euclidien en terme d'égalité de côtés et de parallélisme par construction (vu que t est un temps coordonné de Lorentz).

C'est le passage par un parallélogramme qui me trouble. Il me semble qu'il n'est pas nécessaire d'invoquer un parallélogramme, juste dire que le couple (C, D) est le translaté suivant du couple (A, B), avec la métrique dt²-dx² (et tout autre métrique statique), suffit à conclure que les durées AC et BD égales.

On a juste montré que métrique statique => AC=BD, par simple argument de symétrie, résultat indépendant du choix de coordonnées.

Et donc par contraposée, AC différent de BD => métrique non statique.

Pour obtenir une conclusion sur la courbure faut aussi montrer qu'une métrique non statique implique une courbure de Riemann non partout nulle. J'imagine que c'est correct, il y a peut-être une démo simple?

La critique MNS serait (?) alors incorrecte simplement parce qu'une métrique n'ayant pas une expression statique dans un système de coordonnées peut très bien être statique. Or le changement de coordonnées (t, x) -> (t, x-at²), celui utilisé en classique pour le principe d'équivalence, ne change pas la métrique, seulement l'expression de la métrique (en particulier apparition d'un terme croisé si la métrique est dt²-dx²) ; et donc ne change pas la propriété de la métrique d'être statique ou non.

---

En classique, le changement de coordonnée indiqué ne change pas les formes métriques, qui sont dt² pour tout qvecteur, et dx² à t constant. C'est ce qui permet de montrer que la proportionnalité entre masse inerte et masse grave rend indistinguables les cas d'un référentiel inertiel avec une pesanteur uniforme et celui d'un référentiel non inertiel obtenu à partir d'un inertiel et le changement x' = x-at².

Mais en RR il n'y a pas de telle équivalence, car la métrique ne peut pas être de la forme dt²-dx² dans les deux cas.

[Amanuensis]

Corrigendum de détail (meilleure terminologie) :

à la place de

la proportionnalité entre masse inerte et masse grave rend indistinguables les cas d'un référentiel inertiel avec une pesanteur uniforme et celui d'un référentiel non inertiel obtenu à partir d'un inertiel et le changement x' = x-at².

lire

la proportionnalité entre masse inerte et masse grave rend indistinguables les cas d'un référentiel galiléen avec une pesanteur uniforme et celui d'un référentiel non galiléen obtenu à partir d'un galiléen et le changement x' = x-at².

[Archi3]

Bonjour
plusieurs choses que je ne comprends pas dans ce qui a été dit :

"Donc l'espace-temps ne peut pas être celui, plat, de la relativité restreinte, donc l'espace-temps est courbé (on ne dit pas de quelle manière)."

je ne vois pas en quoi le fait qu'il y ait un paradoxe dans le fait qu'il puisse y avoir un champ gravitationnel avec shift temporel dans une métrique de Minkowski donne une contradiction (ce qui est vrai) "prouve" que l'espace-temps ne peut pas etre plat : ça prouve juste pour moi que le référentiel (forcément particulier) dans lequel le champ est statique ne peut pas etre un référentiel galiléen de la RR et donc ne peut pas avoir une métrique de Minkowski. Mais ça ne prouve rien sur sa courbure : contre exemple justement des coordonnées de Rindler. Bien qu'effectivement ce ne soit pas un "champ gravitationnel constant", c'est bien un "champ gravitationnel statique" (comme celui de la Terre) dans lequel l'argument du parallélogramme est tout aussi valable non ? dans ce cas ça prouve bien que ça ne peut pas être la métrique de Minkowski, en revanche ça ne prouve pas la courbure de l'espace-temps, puisque justement il n'y a quand même pas de courbure ...

Pour obtenir une conclusion sur la courbure faut aussi montrer qu'une métrique non statique implique une courbure de Riemann non partout nulle. J'imagine que c'est correct, il y a peut-être une démo simple?

il me semble qu'il y a une démo simple que c'est faux, c'est qu'un "mollusque de référence" qui bouge n'importe comment dans un espace plat correspond à une métrique non statique avec une courbure de Riemann partout nulle non ?

J'ai donc dû écrire une ânerie. Ou pire, penser une ânerie et en tirer des conséquences... Faut que je reprenne mes notes, j'ai écrit trop vite et de mémoire.





C'est le passage par un parallélogramme qui me trouble. Il me semble qu'il n'est pas nécessaire d'invoquer un parallélogramme, juste dire que le couple (C, D) est le translaté suivant du couple (A, B), avec la métrique dt²-dx² (et tout autre métrique statique), suffit à conclure que les durées AC et BD égales.

On a juste montré que métrique statique => AC=BD, par simple argument de symétrie, résultat indépendant du choix de coordonnées.

Et donc par contraposée, AC différent de BD => métrique non statique.

Pour obtenir une conclusion sur la courbure faut aussi montrer qu'une métrique non statique implique une courbure de Riemann non partout nulle. J'imagine que c'est correct, il y a peut-être une démo simple?

La critique MNS serait (?) alors incorrecte simplement parce qu'une métrique n'ayant pas une expression statique dans un système de coordonnées peut très bien être statique. Or le changement de coordonnées (t, x) -> (t, x-at²), celui utilisé en classique pour le principe d'équivalence, ne change pas la métrique, seulement l'expression de la métrique (en particulier apparition d'un terme croisé si la métrique est dt²-dx²) ; et donc ne change pas la propriété de la métrique d'être statique ou non.

---

En classique, le changement de coordonnée indiqué ne change pas les formes métriques, qui sont dt² pour tout qvecteur, et dx² à t constant. C'est ce qui permet de montrer que la proportionnalité entre masse inerte et masse grave rend indistinguables les cas d'un référentiel inertiel avec une pesanteur uniforme et celui d'un référentiel non inertiel obtenu à partir d'un inertiel et le changement x' = x-at².

Mais en RR il n'y a pas de telle équivalence, car la métrique ne peut pas être de la forme dt²-dx² dans les deux cas.

[Amanuensis]

il me semble qu'il y a une démo simple que c'est faux, c'est qu'un "mollusque de référence" qui bouge n'importe comment dans un espace plat correspond à une métrique non statique avec une courbure de Riemann partout nulle non ?

Je ne comprends pas. Est-il question de la forme de la métrique dans un système de coordonnée? Ou de l'existence d'un vecteur de Killing de genre temps?

Pour moi «métrique statique» ou «espace-temps statique» signifie le second. (Mais peut-être n'ai-je pas été assez soigneux dans mon texte.)

Du coup je ne comprends pas l'objection: la métrique (en tant que champ en soi) ou l'espace-temps (même sens alors) est plat implique statique.

Bref, je reformule ma question, pour éviter l'ambiguïté entre «métrique en soi» et «formule de la métrique dans un certain système de coordonnées» (ambiguïté très usuelle, mais que je corrige automatiquement quand je lis un texte, d'où mon manque de précaution):

faut aussi montrer qu'un espace-temps non statique implique une courbure de Riemann non partout nulle. J'imagine que c'est correct, il y a peut-être une démo simple?

[mach3]

C'est le passage par un parallélogramme qui me trouble. Il me semble qu'il n'est pas nécessaire d'invoquer un parallélogramme

Oui, je suis d'accord. Mais sans doute est-ce pour faire passer l'idée plus facilement dans le texte. Translation d'un segment dans un espace euclidien plat = parallélogramme, c'est dans la tête des gens, c'est de la géométrie niveau lycée.

Pour obtenir une conclusion sur la courbure faut aussi montrer qu'une métrique non statique implique une courbure de Riemann non partout nulle. J'imagine que c'est correct, il y a peut-être une démo simple?

Je ne sais pas. En tout cas Schild se limite à dire que l'espace-temps, dans le cas de la Terre, n'est pas de Minkowski, parce que si il était de Minkowski, il n'y aurait pas d'effet Einstein. Au passage, l'objection d'Archi3 :

je ne vois pas en quoi le fait qu'il y ait un paradoxe dans le fait qu'il puisse y avoir un champ gravitationnel avec shift temporel dans une métrique de Minkowski donne une contradiction (ce qui est vrai) "prouve" que l'espace-temps ne peut pas etre plat : ça prouve juste pour moi que le référentiel (forcément particulier) dans lequel le champ est statique ne peut pas etre un référentiel galiléen de la RR et donc ne peut pas avoir une métrique de Minkowski. Mais ça ne prouve rien sur sa courbure : contre exemple justement des coordonnées de Rindler. Bien qu'effectivement ce ne soit pas un "champ gravitationnel constant", c'est bien un "champ gravitationnel statique" (comme celui de la Terre) dans lequel l'argument du parallélogramme est tout aussi valable non ? dans ce cas ça prouve bien que ça ne peut pas être la métrique de Minkowski, en revanche ça ne prouve pas la courbure de l'espace-temps, puisque justement il n'y a quand même pas de courbure ...

L'idée ici est donc que la contradiction ne vient pas du postulat d'espace-temps plat, mais du postulat d'un système de coordonnées de Lorentz dont la Terre occupe en permanence l'origine spatiale. Ce système de coordonnées, où la Terre ainsi que les observateurs à sa surface son immobile, et dans lequel ces observateurs mesurent que les distances qui les séparent n'évoluent pas dans le temps, ne serait pas de Lorentz. Alors il doit donc y avoir un changement de coordonnées vers des coordonnées de Lorentz.
Une pareille affirmation a un impact considérable!! quoi!? en disposant la Terre et des observateurs dans un espace-temps de Minkowski et leur donnant les mouvements qui vont bien, on pourrait reproduire la gravitation!? Alors là, bye bye RG, tu ne sers à rien!
Non, justement, on ne peut pas changer les coordonnées pour faire ça dans le cas de la Terre, à cause de la symétrie sphérique. Il faudrait pouvoir rapiécer des repères de Rindler (ou dans le genre) tout autour de la Terre, ce qui équivaut à vouloir faire une sphère avec des carrés...

m@ch3

[mach3]

Considérons par exemple tous les observateurs de même altitude z, immobiles à la surface de la Terre. Il n'y a pas de redshift entre-eux, leurs horloges restent synchrones. Les durées d'aller-retour de signaux de genre nuls entre chaque paire d'observateurs est constante dans le temps (immobilité relative). Ca fait une sacrée contrainte. Horloges synchrones + distances constantes. En Rindler, il n'y a que les observateurs contenus dans un plan orthogonal à l'accélération (ceux de même "altitude") qui respectent cette contrainte.
Sans même parler de système de coordonnées, je suis convaincu qu'on peut montrer que si on a des observateurs, répartis sur une sphère (*), dont les horloges ne se désynchronisent pas et qui mesurent des distances radar constantes entre eux, alors :
-soit l'espace-temps est plat et les observateurs sont en mouvement rectiligne uniforme
-soit l'espace-temps est courbe
et c'est je pense crucial pour l'argument de Schild

* avec des précautions dans la définition de ladite sphère, par exemple en indiquant que chaque observateur dont il est question trouve la même distance radar constante dans le temps entre lui et un objet dit "central".

m@ch3

[Amanuensis]

Détail: Terre supposée sans rotation propre. (Cf. une discussion assez récente...)

[Amanuensis]

et c'est je pense crucial pour l'argument de Schild

Sauf que l'argument portant sur le quadrilatère ABCD est en 1D+1D et que la symétrie sphérique n'a alors ni sens ni importance.

Il me semble qu'il y a deux points très différents. Et que si le point est l'impossibilité de reproduire le champ de gravitation de la Terre en partant d'un espace-temps plat (classique ou RR) et en choisissant un système de coordonnée particulier, il n'est pas défendu par l'exemple ABCD.

Notons au passage que la manipulation de la symétrie n'est pas si simple. Par exemple le champ de pesanteur de symétrie cylindrique dans le référentiel défini par un objet solide en rotation est reproductible par changement de référentiel dans l'espace-temps classique plat, mais que d'autres champs de symétrie cylindrique ne le sont pas. Par contre, effectivement je ne connais pas de cas de champ de pesanteur de symétrie sphérique compatible avec un espace-temps plat. Ce n'est pas facile d'en tirer une généralité.

[Archi3]

Je ne comprends pas. Est-il question de la forme de la métrique dans un système de coordonnée? Ou de l'existence d'un vecteur de Killing de genre temps?

Pour moi «métrique statique» ou «espace-temps statique» signifie le second. (Mais peut-être n'ai-je pas été assez soigneux dans mon texte.)

Du coup je ne comprends pas l'objection: la métrique (en tant que champ en soi) ou l'espace-temps (même sens alors) est plat implique statique.

Bref, je reformule ma question, pour éviter l'ambiguïté entre «métrique en soi» et «formule de la métrique dans un certain système de coordonnées» (ambiguïté très usuelle, mais que je corrige automatiquement quand je lis un texte, d'où mon manque de précaution):

faut aussi montrer qu'un espace-temps non statique implique une courbure de Riemann non partout nulle. J'imagine que c'est correct, il y a peut-être une démo simple?

dans ce cas, la démo me parait plutot triviale, puisque la contraposée est : une courbure de Riemann partout nulle implique un espace-temps statique (et même de Minkowski), ce qui est un résultat classique non ?

[Amanuensis]

dans ce cas, la démo me parait plutot triviale, puisque la contraposée est : une courbure de Riemann partout nulle implique un espace-temps statique (et même de Minkowski), ce qui est un résultat classique non ?

Effectivement. Mais «de Minkowski» est trop restreint, cela exclut des topologies comme S1xR² pour l'espace ; mais c'est exotique, pas vraiment pertinent pour ce qui nous intéresse.

Dans la démo de Schild on aurait donc statique => AC=BD, par contraposée AC différent de BD => non statique, et comme courbure nulle => statique, par contraposée non statique => courbure non partout nulle, et finalement AC différent de BD => courbure non partout nulle.

Cela en devient presque trivial (et donc difficilement attaquable), les propriétés étant quasiment a priori, c'est à dire venant de la signification des expressions.

[mach3]

Détail: Terre supposée sans rotation propre. (Cf. une discussion assez récente...)

of course

Sauf que l'argument portant sur le quadrilatère ABCD est en 1D+1D et que la symétrie sphérique n'a alors ni sens ni importance.

Il me semble qu'il y a deux points très différents. Et que si le point est l'impossibilité de reproduire le champ de gravitation de la Terre en partant d'un espace-temps plat (classique ou RR) et en choisissant un système de coordonnée particulier, il n'est pas défendu par l'exemple ABCD.

ah oui, je vois le point. Si on prend une radiale, alors le long de cette radiale, le shift en fonction de l'altitude doit être de telle façon pour reproduire ce qu'on constate en statique sur Terre (champ de pesanteur en 1/r², potentiel en 1/r), or, il n'est pas possible d'obtenir la même chose en considérant un référentiel de Rindler par exemple (champ de pesanteur en 1/r, potentiel en ln r (?)). On ne peut pas avoir une file d'observateurs, dont les distances radars entre eux sont constantes dans le temps et dont le redshift reproduit ce qu'on aurait avec des observateurs immobiles à différentes altitudes sur Terre. Du coup la symétrie sphérique, osef. L'argument est plus puissant que je ne l'avais cru!

Dans la démo de Schild on aurait donc statique => AC=BD, par contraposée AC différent de BD => non statique, et comme courbure nulle => statique, par contraposée non statique => courbure non partout nulle, et finalement AC différent de BD => courbure non partout nulle.

Cela en devient presque trivial (et donc difficilement attaquable), les propriétés étant quasiment a priori, c'est à dire venant de la signification des expressions.

une telle conclusion semble clore le débat.

m@ch3