3 Masses couplées par des ressorts

[Nabluk]

Bonjour à tous,

Après avoir fait quelques recherches infructueuses, j'ai décidé de poser ma questions ici.

J'aimerais faire l'étude d'un système composé comme suit:
- 3 masses disposées sur une table sont reliées entre elles par des ressorts, on les écartes de leur positions d'équilibre et on regarde le mouvement du système lorsqu'on relâche l'ensemble.
Dans un premier temps, les hypothèses suivantes sont prises:
- masse: M = M1 = M2 = M3
- rigidité: K = K1 = K2 = K3
- frottements négligeables.

Il existe plusieurs méthodes pour écrire les équations différentielles et j'aurais besoin d'une résolution extérieure pour valider mes équations. Quelqu'un peut-il les écrire ?
On s'intéresse à la résolution de ces équations dans un second temps...
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[ID123]

- 3 masses disposées sur une table sont reliées entre elles par des ressorts.

C'est un peu léger comme description.

Comment le tout est il disposé ? En triangle ? En étoile ? en ligne avec un point fixe ? en vrac?
Combien de degrés de liberté ?

etc..

[Nabluk]

Effectivement, je complète ma description.

Les masses sont reliées entre elles sous forme d'un triangle.
On peut également supposé (pour simplifier dans un premier temps) que les longueurs des ressort à vide sont identiques (= L)
Pour les degrés de liberté, le système est libre de circuler sur la table horizontale.

Manque-t-il d'autres données ?

[ThM55]

Bonjour ou bonsoir. Sans frottement? Il est très facile d'écrire le lagrangien pour ce système et d'en tirer les équations de Lagrange. Ensuite, le bon truc est d'exprimer les solutions en terme des modes normaux de vibration. C'est du grand classique, on trouve ce genre d'exo dans les cours de mécanique analytique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

J'explique pourquoi il faut étudier les modes normaux: si le système est linéaire (ressorts obéissant aveuglément à la loi de Hooke), cela le découple en trois oscillateurs indépendants. Le problème n'est donc pas plus compliqué que celui d'un seul oscillateur.

[Nabluk]

Bonjour
Effectivement, je comprends.
Si je découple en trois oscillateurs indépendants, sommes-nous bien d'accord qu'on se retrouve avec 3 sous-systèmes du type: 1 ressort et 2 masses à étudier ?
Je n'ai pas encore écrit les équations mais au vu des forces qui vont s'appliquer sur les masses (verticales ET horizontales) n'y a-t-il pas des couples qui apparaissent faisant pivoter le système entier ?

Merci pour les réponses

[phys4]

Je n'ai pas encore écrit les équations mais au vu des forces qui vont s'appliquer sur les masses (verticales ET horizontales) n'y a-t-il pas des couples qui apparaissent faisant pivoter le système entier ?

Bonne année,
La notion de horizontal et vertical n'a pas de sens pour des masses astreintes à se déplacer dans un plan horizontal ? Il faudrait parler de deux axes !
La rotation d'ensemble à une vitesse quelconque et l'une des composantes des mouvement indépendant et peut s'ajouter à n'importe quel autre mode.
Il suffira donc d'étudier cette rotation d'ensemble et les modes d'oscillation sans rotation.
Au revoir.

[Nabluk]

Oui effectivement un abus de langage pour les axes !

Je comprends, j'essaie d'écrire les équations pour voir ce que ça donne.