Bonjour, dans un exo sur la propagation des ondes, on manipule une fonction à deux variables (t et x) : f(t-x/c) mais lorsqu'on dérive on ne fait pas la différence entre la dérivée par rapport à x et la dérivée par rapport à t et donc on note pour les deux cas f'(t-x/c) , est-ce une faute ou je me trompe ?
Voici la fonction et les dérivées:
derivee1.png fonction.png derivee2.png
Bonsoir
Ici f n'est une fonction qu'à une seule variable. On a :
appliquée à la valeur particulière :
Si f était une fonction à deux variables, on utiliserait un notation du type f(u,v), avec une virgule entre les deux variables u et v :
Bonjour,
C'est bien une fonction de deux variables, x et t.
df/dt n'est pas égale à df/dx. Il faut donc préciser par rapport à quelle variable, on dérive.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Non, pas d'accord. Il s'agit d'une fonction f à une variable et de sa fonction dérivée f' par rapport à cette variable, et dans le calcul on considère l'image des valeurs t–x/c par ces fonctions.Envoyé par stefjm
Pour trouver f', il n'est pas question de dériver f séparément par rapport à t et à x, mais par rapport à la variable unique τ qui prendra la valeur τ = t–x/c.
Un exemple classique est la fonction sinusoïdale f(τ) = A·sin(ω·τ), avec sa dérivée f'(τ) = A·ω·cos(ω·τ). On a alors :
f(t-x/c) = A·sin(ω·(t–x/c)) = A·sin(ω·t – (ω/c)·x)
f'(t-x/c) = A·ω·cos(ω·(t–x/c)) = A·ω·cos(ω·t – (ω/c)·x)
En revanche, i(x,t) est bien une fonction des deux variables x et t, pour laquelle il convient de bien distinguer ∂i/dx et ∂i/dt (ce que fait d'ailleurs l'énoncé).
NB : je ne vois plus mes formules du post précédent. Il semble que le service TEX du forum soit hors service.
___________________________ (erreur)
Ben non.
g(x,t)=f(t-x/c) n'est qu'un cas particulier (ici une onde) de fonction de deux variables.
t et x indépendant.
Plus de TEX chez moi non plus.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
NB : dans la formulation, on retrouve :
• ω = 2·π·F où F est fréquence temporelle de l'onde
• (ω/c) = 2·π·/λ où λ est la période spatiale de l'onde (ou longueur d'onde)
En écrivant :
g apparaît bien comme une fonction de deux variables, définie à l'aide d'une fonction à une seule variable f.g(x,t)=f(t-x/c)
Si l'on doit dériver g, alors il faut bien considérer séparément (∂g/∂x)t et (∂g/∂t)x :
(∂g/∂x)t(x,t) = (–1/c)·f'(t-x/c)
(∂g/∂t)x(x,t) = f'(t-x/c)
où f' représente la fonction dérivée unique de f, telle que f'(τ) = df(τ)/dτ.
Si tu en doutes, alors remplace par exemple la fonction f() par la fonction particulière sin(), et cherche des arguments pour me convaincre que la fonction sinus serait une fonction de deux variables.
Ok, on dit à peu près la même chose.
Tu privilégies le fait que la composition d'une fonction de deux variables (x,t) -> t-x/c avec une fonction à une variable f donne une fonction f à une seule variable t-x/c, alors que je privilégie le fait que la même composition donne une fonction g à deux variables (x,t).
Je ne m'étais jamais vraiment posé la question! En plus, très souvent dans ces cas là, on utilise implicitement la même lettre pour f et g, ce qui est mauvais pour la compréhension : du genre sin(x,t):=sin(t-x/c)
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
