Dérivée d'une fonction à deux variables

[kizakoo]

Bonjour, dans un exo sur la propagation des ondes, on manipule une fonction à deux variables (t et x) : f(t-x/c) mais lorsqu'on dérive on ne fait pas la différence entre la dérivée par rapport à x et la dérivée par rapport à t et donc on note pour les deux cas f'(t-x/c) , est-ce une faute ou je me trompe ?

Voici la fonction et les dérivées:
derivee1.png fonction.png derivee2.png
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[PA5CAL]

Bonsoir

Ici f n'est une fonction qu'à une seule variable. On a :



appliquée à la valeur particulière :




Si f était une fonction à deux variables, on utiliserait un notation du type f(u,v), avec une virgule entre les deux variables u et v :

[stefjm]

Bonjour,
C'est bien une fonction de deux variables, x et t.
df/dt n'est pas égale à df/dx. Il faut donc préciser par rapport à quelle variable, on dérive.

[PA5CAL]

C'est bien une fonction de deux variables, x et t.
df/dt n'est pas égale à df/dx. Il faut donc préciser par rapport à quelle variable, on dérive.

Non, pas d'accord. Il s'agit d'une fonction f à une variable et de sa fonction dérivée f' par rapport à cette variable, et dans le calcul on considère l'image des valeurs t–x/c par ces fonctions.

Pour trouver f', il n'est pas question de dériver f séparément par rapport à t et à x, mais par rapport à la variable unique τ qui prendra la valeur τ = t–x/c.


Un exemple classique est la fonction sinusoïdale f(τ) = A·sin(ω·τ), avec sa dérivée f'(τ) = A·ω·cos(ω·τ). On a alors :

f(t-x/c) = A·sin(ω·(t–x/c)) = A·sin(ω·t – (ω/c)·x)

f'(t-x/c) = A·ω·cos(ω·(t–x/c)) = A·ω·cos(ω·t – (ω/c)·x)




En revanche, i(x,t) est bien une fonction des deux variables x et t, pour laquelle il convient de bien distinguer ∂i/dx et ∂i/dt (ce que fait d'ailleurs l'énoncé).


NB : je ne vois plus mes formules du post précédent. Il semble que le service TEX du forum soit hors service.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

___________________________ (erreur)

[stefjm]

Ben non.
g(x,t)=f(t-x/c) n'est qu'un cas particulier (ici une onde) de fonction de deux variables.
t et x indépendant.

Plus de TEX chez moi non plus.

[PA5CAL]

NB : dans la formulation, on retrouve :
• ω = 2·π·F où F est fréquence temporelle de l'onde
• (ω/c) = 2·π·/λ où λ est la période spatiale de l'onde (ou longueur d'onde)

[PA5CAL]

En écrivant :

g(x,t)=f(t-x/c)

g apparaît bien comme une fonction de deux variables, définie à l'aide d'une fonction à une seule variable f.

Si l'on doit dériver g, alors il faut bien considérer séparément (∂g/∂x)_t et (∂g/∂t)_x :

(∂g/∂x)_t(x,t) = (–1/c)·f'(t-x/c)

(∂g/∂t)_x(x,t) = f'(t-x/c)

où f' représente la fonction dérivée unique de f, telle que f'(τ) = df(τ)/dτ.


Si tu en doutes, alors remplace par exemple la fonction f() par la fonction particulière sin(), et cherche des arguments pour me convaincre que la fonction sinus serait une fonction de deux variables.

[stefjm]

Ok, on dit à peu près la même chose.
Tu privilégies le fait que la composition d'une fonction de deux variables (x,t) -> t-x/c avec une fonction à une variable f donne une fonction f à une seule variable t-x/c, alors que je privilégie le fait que la même composition donne une fonction g à deux variables (x,t).

Je ne m'étais jamais vraiment posé la question! En plus, très souvent dans ces cas là, on utilise implicitement la même lettre pour f et g, ce qui est mauvais pour la compréhension : du genre sin(x,t):=sin(t-x/c)

Cordialement.