Relativité restreinte quadri-vecteur de type lumière

[eramadan]

Bonjour à tous,

Je suis confronté à un exercice en relativité restreinte qui est le suivant: Soit x^u un vecteur nul. Est-il possible de trouver 3 vecteurs linéairement indépendant satisfaisant la condition d'orthogonalité suivante: x_ix_j=0 pour i≠j et i,j=1,2,3,4.
Tout d'abord on sait qu'un vecteur nul donne un intervalle de type lumière tel que : x_ux^u=0 ceci implique que x^u =(x⁰,±x⁰,0,0). Je comprend pas pourquoi on a "±" pour la deuxième composante... Quand mettre un + et quand un -? Et de la ce qui me perturbe aussi c'est par définition d'un vecteur contravariant la partie spatiale est positive et un vecteur covariant à une partie spatiale négative.. Comment différencier l'un de l'autre du coup?

Merci pour vos réponses
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[jacknicklaus]

Vous ne nous dites pas tout. Visiblement, les vecteurs considérés sont restreints au plan (t,x). Dès lors, pour que le produit scalaire de la RR soit x_ux^u=0, il n'y a que deux solutions : (x⁰,x⁰,0,0) et (x⁰,-x⁰,0,0). D'où la notation en ±x. Il ne s'agit pas de savoir si c'est + ou -, il s'agit simplement de deux solutions distinctes.


Quant à :

par définition d'un vecteur contravariant la partie spatiale est positive et un vecteur covariant à une partie spatiale négative.

Je n'en saisis pas un traître mot. j'aimerais bien voir l'extrait de cours qui dit çà, svp...

[eramadan]

Voilà j'ai ça dans les notes

[albanxiii]

Cela ne présume en rien des signes de .
Les seuls signes connus sont ceux des composantes du tenseur métrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Et de la ce qui me perturbe aussi c'est par définition d'un vecteur contravariant la partie spatiale est positive et un vecteur covariant à une partie spatiale négative.. Comment différencier l'un de l'autre du coup?

quand on définit un espace vectoriel V sur un corps K, on définit aussi un espace vectoriel dual, qui contient les applications linéaires de V vers K, c'est à dire des fonctions qui à un vecteur font correspondre un scalaire. Ces applications linéaires sont aussi des vecteurs, mais comme elles ne sont pas du même espace on les appelle covecteurs.
Quand il y a une métrique, on peut librement transformer les vecteurs en covecteurs et réciproquement. On les confond souvent en un seul objet et selon qu'on considère ses coordonnées de vecteur ou de covecteur on parle de coordonnées contravariantes ou covariantes.
Quand la métrique est euclidienne, et qu'on a choisi une base orthonormée, les coordonnées contravariantes et covariantes sont identiques (c'est pourquoi on n'en parle parfois même pas...) et il y a confusion totale.

En relativité restreinte, la métrique n'est pas celle d'euclide mais celle de Minkowski. En convention dite +---, quand on passe des coordonnées contravariantes au coordonnées covariantes (par rapport à une base orthonormée) et réciproquement, les 3 dernières changent de signe.

m@ch3

[eramadan]

Bonjour à tous,

Je vous remercie, vos réponses m'ont fortement aidé !!!

[invite54165721]

M etant la matrice diag(c -1 -1 -1) M définit un produit scalaire.
(v,w) = vMw ou v est le vecteur ligne
l'équation (v0,w) = 0 pour vo donné est celle des vecteurs qui lui sont orthogonaux
si v0 est du type temps la solution est un 3 sous espace du type espace
si v0 appartient au cone de lumiere alors la solution est un 3 sous espace tangent au cone de lumiere
il est donc généré par 3 vecteurs indépendants 2 de type espace et un de type lumiere