Relativité restreinte et 4-vecteur

[Kelv]

Bonjour,

Je suis en 3ième année de licence, et il y a quelques éléments que je ne comprends pas dans la relativité restreinte.

Ma question porte sur les 4-vecteur.
Si j'ai bien compris, on a le droit d'appliquer les transformations de Lorentz uniquement aux 4-vecteurs. De plus la norme d'un 4-vecteurs est invariant de Lorentz.

1/ Comment prouve-t-on qu'un 4-vecteur quelconque est un invariant de Lorentz ?

Si on a deux 4-vecteurs X1^mu et X2^mu qui sont les 4-vecteurs "d'espace-temps" (je ne me trompe pas?), et que l'on souhaite calculer la distance D12 entre ces deux évènements dans un référentiel R (quelconque).

2/ Comment prouver que D12 est un invariant de Lorentz ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[vaincent]

Bonjour,

Ma question porte sur les 4-vecteur.
Si j'ai bien compris, on a le droit d'appliquer les transformations de Lorentz uniquement aux 4-vecteurs.

Non, on peut très bien appliquer une transformation de Lorentz (TL) à un tenseur. Comme, le tenseur électromagnétique où la métrique de Minkowski par exemple. (tenseurs qui sont tous deux invariant de Lorentz).

De plus la norme d'un 4-vecteurs est invariant de Lorentz.

ça oui. On peut le montrer pour un 4-vecteur quelconque. C'est une conséquence de l'invariance de Lorentz de la métrique.

1/ Comment prouve-t-on qu'un 4-vecteur quelconque est un invariant de Lorentz ?

En général, un 4-vecteur ne sera pas invariant de Lorentz(il me semble qu'aucun ne le sont)

Si on a deux 4-vecteurs X1^mu et X2^mu qui sont les 4-vecteurs "d'espace-temps" (je ne me trompe pas?), et que l'on souhaite calculer la distance D12 entre ces deux évènements dans un référentiel R (quelconque).

2/ Comment prouver que D12 est un invariant de Lorentz ?

Pour calculer d12, exprime déjà le 4-vecteur X1X2^mu. d12 sera alors égale à sa norme. On montre que d12 est invariant de Lorentz de la même façon que n'importe quel scalaire de Lorentz.

[Deedee81]

Salut,

Non, on peut très bien appliquer une transformation de Lorentz (TL) à un tenseur. Comme, le tenseur électromagnétique où la métrique de Minkowski par exemple. (tenseurs qui sont tous deux invariant de Lorentz).

A un scalaire aussi (même si ça ne sert à rien )

En général, un 4-vecteur ne sera pas invariant de Lorentz(il me semble qu'aucun ne le sont)

Attention. Ca dépend de quoi on parle.

A strictement parler le quadrivecteur est invariant mais pas ses composantes.

[Kelv]

1/ Comment prouve-t-on qu'un 4-vecteur quelconque est un invariant de Lorentz ?

Excusez-moi, j'ai mal exprimé ma question. Je voulais juste savoir comment prouver que la norme d'un 4-vecteur est invariant de Lorentz.

En tout cas, merci de vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Simontheb]

Non, on peut très bien appliquer une transformation de Lorentz (TL) à un tenseur. Comme, le tenseur électromagnétique où la métrique de Minkowski par exemple. (tenseurs qui sont tous deux invariant de Lorentz).

Le tenseur électromagnétique est invariant de lorentz?

[vaincent]

Le tenseur électromagnétique est invariant de lorentz?

Oui. Autrement dit les équations de Maxwell sont invariantes lors d'un changement de référentiel, quelque soit la vitesse(<c) entre ces 2 référentiels (transformation de Lorentz). C'est un bon exercice de le vérifier.

[vaincent]

Oui. Autrement dit les équations de Maxwell sont invariantes lors d'un changement de référentiel, quelque soit la vitesse(<c) entre ces 2 référentiels (transformation de Lorentz). C'est un bon exercice de le vérifier.

En effet après vérification(çà m'apprendra à me baser sur des souvenirs trop vagues), les équations de Maxwell sont invariantes de Lorentz mais pas le tenseur de Faraday-Maxwell. Désolé pour l'erreur grossière.

[Kelv]

Hum, pour revenir à la question que j'avais mal formulé.

Comment prouve-t-on que la norme d'un 4-vecteur quelconque est invariant de Lorentz ?

Je crois ne pas avoir la bonne méthode...

Au passage, j'ai une nouvelle question, comment voit-on que le vecteur (w, k) est un 4-vecteur ? (w la fréquence et k le nombre d'onde) C'est sûrement bête, mais w=2*pi/T, donc varie comme l'inverse d'un temps et idem pour k.

[Simontheb]

En effet après vérification(çà m'apprendra à me baser sur des souvenirs trop vagues), les équations de Maxwell sont invariantes de Lorentz mais pas le tenseur de Faraday-Maxwell. Désolé pour l'erreur grossière.

Je me disais aussi qu'on ne pouvait pas m'avoir menti en me présentant les formules de transformation des champs.

Comment prouve-t-on que la norme d'un 4-vecteur quelconque est invariant de Lorentz ?

Je dirais que ça dépend des postulats pris dans ton cours. Si tu as déjà la forme des transformations de lorentz pour les composantes du vecteur , il suffit de les appliquer à l'expression de sa norme
Ceci dit, pas mal de 4-vecteurs sont définis en dérivant d'autres 4-vecteurs par rapport au temps propre, par exemple . Le problème est alors de montrer que, les composantes de se transformant comme celles d'un 4-vecteur, les composantes de aussi.

Au passage, j'ai une nouvelle question, comment voit-on que le vecteur (w, k) est un 4-vecteur ? (w la fréquence et k le nombre d'onde) C'est sûrement bête, mais w=2*pi/T, donc varie comme l'inverse d'un temps et idem pour k.

Donc son cours de physique, Feynman utilise les formules de l'effet doppler relativiste pour w et k. Mais on peut peut-être considérer le fait que pour une onde électromagnétique, w=kc donc on a toujours . Cette quantité étant invariante de lorentz, on peut sans doute en déduire que (w, kc) est un quadrivecteur.