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Dérivée covariante et exponentielle



  1. #1
    invite54165721

    Dérivée covariante et exponentielle


    ------

    Bonjour

    pour une fonction f(x) infiniment dérivable on peut écrire
    f(x) = f(0) + x f'(0) + x^2 /2 f''(0) + etc
    c ' est l'exponentielle de x d/dx appliquée a la fonction f au point zéro.
    on a une formule analogue pour les fonctions a plusieurs variables.
    en relativité générale on utilise les dérivées covariantes qui se ramenent a la dérivée usuelle quand l'espace est plat.

    je me demande donc si ayant un champ sur l'espace temps on peut utiliser les développement de Taylor tout au moins au
    voisinage d'une origine dans une carte mais avec la dérivée covariante.

    -----
    Dernière modification par alovesupreme ; 19/01/2018 à 18h13.

  2. Publicité
  3. #2
    mach3
    Modérateur

    Re : dérivée covariante et exponentielle

    Si je ne m'abuse, la dérivée covariante d'une fonction scalaire suivant un vecteur u est simplement sa dérivée directionnelle suivant ce vecteur u. Donc le développement de Taylor marche pareil.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  4. #3
    invite54165721

    Re : dérivée covariante et exponentielle

    ca a été aussi ma premiere pensée, mais....

    on a une fonction de 4 variables x y z t. si on fait le développement de taylor ca commence bien,
    f(0 0 0 0) + 4 termes au premier ordre.
    ensuite on aurait l'équivalent en covariant de 1/2 f''_{x,y}
    on devrait appliquer la dérivée covariante par rapport a x puis par rapport a y. mais les dérivées covariantes
    ne commutent pas comme les dérivées normales.

  5. #4
    0577

    Re : dérivée covariante et exponentielle

    Bonjour,

    dans une carte locale, i.e. après un choix de coordonnées x^i, la variété est localement identifiée à R^d, et le développement de Taylor usuel peut être utilisé:

    f(x)=\sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} \sum_{i_1, \dots, i_n} (\partial_{i_1} \dots \partial_{i_n}f)(0) x^{i_1} \dots x^{i_n}

    Les termes de ce développement ne sont pas des tenseurs (leur transformation sous un changement de coordonnées est compliquée).

    L'usage des dérivées covariantes permet d'écrire un développement analogue mais dont les termes sont tensoriels. Notons v(x) le vecteur tangent en 0 à la géodésique reliant 0 à x, pointant vers x et de longueur la distance
    (pour la métrique) entre 0 et x. Notons v^i(x) les composantes du vecteur v(x) dans le système de coordonnées x^i (dans un espace plat muni de coordonnées "standard", on a simplement v^i(x)=x^i). Le développement de Taylor covariant a alors la forme

    f(x)=\sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} \sum_{i_1, \dots, i_n} (D_{i_1} \dots D_{i_n}f)(0) v^{i_1}(x) \dots v^{i_n}(x)

    où les D_i sont les dérivées covariantes.

    Les dérivées covariantes ne commutent pas en général mais la formule ci-dessus a bien un sens. En deux variables, le terme quadratique est

    D_0^2f(0)v^0 (x) v^0 (x) + (D_0 D_1 + D_1 D_0)f(0) v^0(x)v^1(x)+D_1^2 f(0) v^1(x)v^1(x).

    J'ai supposé ci-dessus que f était une fonction scalaire. Si f a un caractère tensoriel non-trivial, il faut utiliser le transport parallèle de x à 0 pour ramener f(x) en 0 avant de pouvoir l'identifier au membre de droite de la formule.

    PS: les balises TEX semblent avoir un problème. J'espère que vous pourrez déchiffrer les formules ci-dessus.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite54165721

    Re : dérivée covariante et exponentielle

    est ce qu'il y a aujourd'hui un probleme avec latex?
    elles n'apparaissent dans aucun message

  8. #6
    invite54165721

    Re : dérivée covariante et exponentielle

    effectivement le formule que tu donnes a un sens.
    on l'obtient en remplacant les dérivées normales par des dérivées covariantes.
    mais l'égalité est elle vraie?
    ce qui m'étonne c'est que ne ne l'ai pas trouvé sur internet

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  10. #7
    0577

    Re : dérivée covariante et exponentielle

    Il faut non seulement remplacer les dérivées normales par les dérivées covariantes mais aussi remplacer les x^i par les v^i(x).

    Cette formule peut se démontrer comme suit. Soit x(t) une géodésique connectant 0 à x. Alors f(x(t)) est une fonction de t et on peut considérer son développement de Taylor usuel. En dérivant successivement f(x(t)), on trouve des sommes de produits de dérivées (normales) de f et de dérivées de x^i(t).
    En utilisant l'équation des géodésiques pour x^i(t), on peut éliminer toutes les dérivées de x^i(t) d'ordre>1. Les termes supplémentaires qui apparaissent se combinent naturellement avec les dérivées normales de f pour donner des dérivées covariantes.

    En cherchant "covariant Taylor series", on peut trouver des articles mentionnant ce résultat.

  11. #8
    invite54165721

    Re : Dérivée covariante et exponentielle

    merci
    je vais étudier ca

  12. #9
    invite54165721

    Re : Dérivée covariante et exponentielle

    tout ca a l'air de bien se tenir.
    une remarque sur la géodésique reliant 0 et x.
    il y toujours un changement de variables possible tel que les christoffels soient nuls le long de ce qui devient dans la carte un segment de droite. les xi y sont égaux aux vi(x)
    je pense a ca car tu dis que si la fonction est tensorielle, il faut d'abord faire un transport parallele de x vers 0.
    mais comme le but est de trouver la valeur du champ en x connaissant sa valeur a l'origine ca suppose le probleme résolu.
    Dernière modification par alovesupreme ; 21/01/2018 à 09h33.

  13. #10
    invite54165721

    Re : Dérivée covariante et exponentielle

    j'ai un doute sur le fait que l'image de portions de géodésiqurs de genre temps puisse donner par un changement de variable
    approprié a la fois une métrique minkowskienne tout au long et un segment de droite pour image.

  14. #11
    mach3
    Modérateur

    Re : Dérivée covariante et exponentielle

    Normalement c'est justement le principe même de la geodesique en Riemannien.
    "Gravitation" de Misner, Thorne et Wheeler est un ouvrage de choix pour répondre aux questions de ce genre. Le pdf "traine" sur Internet de temps à autre, des éditions originales aussi (à un prix pas toujours sympathique).

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  15. #12
    invite54165721

    Re : dérivée covariante et exponentielle

    [QUOTE=0577;6074593]Bonjour,

    dans une carte locale, i.e. après un choix de coordonnées x^i, la variété est localement identifiée à R^d, et le développement de Taylor usuel peut être utilisé:


    Les termes de ce développement ne sont pas des tenseurs (leur transformation sous un changement de coordonnées est compliquée).

    L'usage des dérivées covariantes permet d'écrire un développement analogue mais dont les termes sont tensoriels. Notons v(x) le vecteur tangent en 0 à la géodésique reliant 0 à x, pointant vers x et de longueur la distance
    (pour la métrique) entre 0 et x. Notons v^i(x) les composantes du vecteur v(x) dans le système de coordonnées x^i (dans un espace plat muni de coordonnées "standard", on a simplement v^i(x)=x^i). Le développement de Taylor covariant a alors la forme



    où les D_i sont les dérivées covariantes.

    Les dérivées covariantes ne commutent pas en général mais la formule ci-dessus a bien un sens. En deux variables, le terme quadratique est

    .

    J'ai supposé ci-dessus que f était une fonction scalaire. Si f a un caractère tensoriel non-trivial, il faut utiliser le transport parallèle de x à 0 pour ramener f(x) en 0 avant de pouvoir l'identifier au membre de droite de la formule.
    Cette formule peut se démontrer comme suit. Soit x(t) une géodésique connectant 0 à x. Alors f(x(t)) est une fonction de t et on peut considérer son développement de Taylor usuel. En dérivant successivement f(x(t)), on trouve des sommes de produits de dérivées (normales) de f et de dérivées de x^i(t).
    En utilisant l'équation des géodésiques pour x^i(t), on peut éliminer toutes les dérivées de x^i(t) d'ordre>1. Les termes supplémentaires qui apparaissent se combinent naturellement avec les dérivées normales de f pour donner des dérivées covariantes.
    /QUOTE]

    comme ca remarche j'ai remis les balises tex dans la réponse de 0577.
    0577 dit qu'avec l'équation des géodésiques on voit apparaitre les christoffels qui s'ajoutent aux dérivées normales pour donner
    les dérivées covariantes.
    J'aimerais voir ce calcul dans le terme le plus simple celui de .

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  17. #13
    invite54165721

    Re : Dérivée covariante et exponentielle

    mach3 avait raison dans son premier poste. quand la dérivation s'applique a une fonction scalaire, il s'agit d'une dérivation
    directionnelle et la formule ne pose pas de difficultés.
    de fait j'ai indiqué au début que je me posais la question pour la dérivation d'un champ en général.
    0577 dit qu'il faut ramener parallelement le champ a l'origine 0 pour appliquer la formule.
    je ne sais quelle formule appliquer pour justifier ca.

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