Dérivée covariante et exponentielle

[invite54165721]

Bonjour

pour une fonction f(x) infiniment dérivable on peut écrire
f(x) = f(0) + x f'(0) + x^2 /2 f''(0) + etc
c ' est l'exponentielle de x d/dx appliquée a la fonction f au point zéro.
on a une formule analogue pour les fonctions a plusieurs variables.
en relativité générale on utilise les dérivées covariantes qui se ramenent a la dérivée usuelle quand l'espace est plat.

je me demande donc si ayant un champ sur l'espace temps on peut utiliser les développement de Taylor tout au moins au
voisinage d'une origine dans une carte mais avec la dérivée covariante.
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[mach3]

Si je ne m'abuse, la dérivée covariante d'une fonction scalaire suivant un vecteur u est simplement sa dérivée directionnelle suivant ce vecteur u. Donc le développement de Taylor marche pareil.

m@ch3

[invite54165721]

ca a été aussi ma premiere pensée, mais....

on a une fonction de 4 variables x y z t. si on fait le développement de taylor ca commence bien,
f(0 0 0 0) + 4 termes au premier ordre.
ensuite on aurait l'équivalent en covariant de 1/2 f''_{x,y}
on devrait appliquer la dérivée covariante par rapport a x puis par rapport a y. mais les dérivées covariantes
ne commutent pas comme les dérivées normales.

[0577]

Bonjour,

dans une carte locale, i.e. après un choix de coordonnées x^i, la variété est localement identifiée à R^d, et le développement de Taylor usuel peut être utilisé:

f(x)=\sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} \sum_{i_1, \dots, i_n} (\partial_{i_1} \dots \partial_{i_n}f)(0) x^{i_1} \dots x^{i_n}

Les termes de ce développement ne sont pas des tenseurs (leur transformation sous un changement de coordonnées est compliquée).

L'usage des dérivées covariantes permet d'écrire un développement analogue mais dont les termes sont tensoriels. Notons v(x) le vecteur tangent en 0 à la géodésique reliant 0 à x, pointant vers x et de longueur la distance
(pour la métrique) entre 0 et x. Notons v^i(x) les composantes du vecteur v(x) dans le système de coordonnées x^i (dans un espace plat muni de coordonnées "standard", on a simplement v^i(x)=x^i). Le développement de Taylor covariant a alors la forme

f(x)=\sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} \sum_{i_1, \dots, i_n} (D_{i_1} \dots D_{i_n}f)(0) v^{i_1}(x) \dots v^{i_n}(x)

où les D_i sont les dérivées covariantes.

Les dérivées covariantes ne commutent pas en général mais la formule ci-dessus a bien un sens. En deux variables, le terme quadratique est

D_0^2f(0)v^0 (x) v^0 (x) + (D_0 D_1 + D_1 D_0)f(0) v^0(x)v^1(x)+D_1^2 f(0) v^1(x)v^1(x).

J'ai supposé ci-dessus que f était une fonction scalaire. Si f a un caractère tensoriel non-trivial, il faut utiliser le transport parallèle de x à 0 pour ramener f(x) en 0 avant de pouvoir l'identifier au membre de droite de la formule.

PS: les balises TEX semblent avoir un problème. J'espère que vous pourrez déchiffrer les formules ci-dessus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

est ce qu'il y a aujourd'hui un probleme avec latex?
elles n'apparaissent dans aucun message

[invite54165721]

effectivement le formule que tu donnes a un sens.
on l'obtient en remplacant les dérivées normales par des dérivées covariantes.
mais l'égalité est elle vraie?
ce qui m'étonne c'est que ne ne l'ai pas trouvé sur internet

[0577]

Il faut non seulement remplacer les dérivées normales par les dérivées covariantes mais aussi remplacer les x^i par les v^i(x).

Cette formule peut se démontrer comme suit. Soit x(t) une géodésique connectant 0 à x. Alors f(x(t)) est une fonction de t et on peut considérer son développement de Taylor usuel. En dérivant successivement f(x(t)), on trouve des sommes de produits de dérivées (normales) de f et de dérivées de x^i(t).
En utilisant l'équation des géodésiques pour x^i(t), on peut éliminer toutes les dérivées de x^i(t) d'ordre>1. Les termes supplémentaires qui apparaissent se combinent naturellement avec les dérivées normales de f pour donner des dérivées covariantes.

En cherchant "covariant Taylor series", on peut trouver des articles mentionnant ce résultat.

[invite54165721]

merci
je vais étudier ca

[invite54165721]

tout ca a l'air de bien se tenir.
une remarque sur la géodésique reliant 0 et x.
il y toujours un changement de variables possible tel que les christoffels soient nuls le long de ce qui devient dans la carte un segment de droite. les xi y sont égaux aux vi(x)
je pense a ca car tu dis que si la fonction est tensorielle, il faut d'abord faire un transport parallele de x vers 0.
mais comme le but est de trouver la valeur du champ en x connaissant sa valeur a l'origine ca suppose le probleme résolu.

[invite54165721]

j'ai un doute sur le fait que l'image de portions de géodésiqurs de genre temps puisse donner par un changement de variable
approprié a la fois une métrique minkowskienne tout au long et un segment de droite pour image.

[mach3]

Normalement c'est justement le principe même de la geodesique en Riemannien.
"Gravitation" de Misner, Thorne et Wheeler est un ouvrage de choix pour répondre aux questions de ce genre. Le pdf "traine" sur Internet de temps à autre, des éditions originales aussi (à un prix pas toujours sympathique).

m@ch3

[invite54165721]

[QUOTE=0577;6074593]Bonjour,

dans une carte locale, i.e. après un choix de coordonnées x^i, la variété est localement identifiée à R^d, et le développement de Taylor usuel peut être utilisé:


Les termes de ce développement ne sont pas des tenseurs (leur transformation sous un changement de coordonnées est compliquée).

L'usage des dérivées covariantes permet d'écrire un développement analogue mais dont les termes sont tensoriels. Notons v(x) le vecteur tangent en 0 à la géodésique reliant 0 à x, pointant vers x et de longueur la distance
(pour la métrique) entre 0 et x. Notons v^i(x) les composantes du vecteur v(x) dans le système de coordonnées x^i (dans un espace plat muni de coordonnées "standard", on a simplement v^i(x)=x^i). Le développement de Taylor covariant a alors la forme



où les D_i sont les dérivées covariantes.

Les dérivées covariantes ne commutent pas en général mais la formule ci-dessus a bien un sens. En deux variables, le terme quadratique est

.

J'ai supposé ci-dessus que f était une fonction scalaire. Si f a un caractère tensoriel non-trivial, il faut utiliser le transport parallèle de x à 0 pour ramener f(x) en 0 avant de pouvoir l'identifier au membre de droite de la formule.
Cette formule peut se démontrer comme suit. Soit x(t) une géodésique connectant 0 à x. Alors f(x(t)) est une fonction de t et on peut considérer son développement de Taylor usuel. En dérivant successivement f(x(t)), on trouve des sommes de produits de dérivées (normales) de f et de dérivées de x^i(t).
En utilisant l'équation des géodésiques pour x^i(t), on peut éliminer toutes les dérivées de x^i(t) d'ordre>1. Les termes supplémentaires qui apparaissent se combinent naturellement avec les dérivées normales de f pour donner des dérivées covariantes.
/QUOTE]

comme ca remarche j'ai remis les balises tex dans la réponse de 0577.
0577 dit qu'avec l'équation des géodésiques on voit apparaitre les christoffels qui s'ajoutent aux dérivées normales pour donner
les dérivées covariantes.
J'aimerais voir ce calcul dans le terme le plus simple celui de .

[invite54165721]

mach3 avait raison dans son premier poste. quand la dérivation s'applique a une fonction scalaire, il s'agit d'une dérivation
directionnelle et la formule ne pose pas de difficultés.
de fait j'ai indiqué au début que je me posais la question pour la dérivation d'un champ en général.
0577 dit qu'il faut ramener parallelement le champ a l'origine 0 pour appliquer la formule.
je ne sais quelle formule appliquer pour justifier ca.