Intégrale de chemin compatible avec la relativité restreinte

[khoder_mazen]

Salut,
on peut déduire à partire de l'intégrale de chemin l'equation d'onde de shrodinger, mais comme nous savons il n'y a aucune restriction sur la vitesse sur ces chemains, bien sûr car l'equation de shrodinger n'est pas compatible avec la relativité restreinte,
ma question est:
si nous limitons l'intégrale de chemin seulement pour les vitesses < c (la vitess de lumière) et bien sûr nous utilisons encore la formule de l'action S dans la theory de relativité restreinte, alors quelle équation d'onde aurons-nous?

Mercie beaucoup.
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[coussin]

Il n'y a aucune notion de vitesse dans la formalisme des intégrales de chemin, si je ne m'abuse...
C'est une intégrale, quoi... Pour n'importe quelle intégrale, ça n'a pas de sens de se demander à quelle vitesse parcourt-on le domaine d'intégration...

[0577]

Bonjour,

Il n'y a aucune notion de vitesse dans la formalisme des intégrales de chemin, si je ne m'abuse...
C'est une intégrale, quoi... Pour n'importe quelle intégrale, ça n'a pas de sens de se demander à quelle vitesse parcourt-on le domaine d'intégration...

La question n'est pas sur une vitesse de parcours du domain d'intégration mais sur la vitesse des trajectoires qui sont les points du domaine d'intégration.

on peut déduire à partire de l'intégrale de chemin l'equation d'onde de shrodinger, mais comme nous savons il n'y a aucune restriction sur la vitesse sur ces chemains, bien sûr car l'equation de shrodinger n'est pas compatible avec la relativité restreinte,
ma question est:
si nous limitons l'intégrale de chemin seulement pour les vitesses < c (la vitess de lumière) et bien sûr nous utilisons encore la formule de l'action S dans la theory de relativité restreinte, alors quelle équation d'onde aurons-nous?

Dans l'intégrale de chemin redonnant l'équation de Schrödinger, on intègre sur toutes les trajectoires continues possibles. En particulier, une telle trajectoire n'est pas nécessairement différentiable et n'a donc pas nécessairement de vitesse! En fait, pour une particule libre non-relativiste, une trajectoire "typique" n'est jamais différentiable (dans la version euclidienne: on obtient un mouvement brownien). C'est peut-être surprenant car la vitesse apparaît dans l'action. La solution à ce paradoxe est qu'une intégrale de chemin est un objet subtile, défini, comme une intégrale ordinaire, par un procédé de limite: on commence par discrétiser le temps, ce qui réduit les trajectoires à un nombre fini de points, et l'action à une somme finie: à ce niveau là, tout est parfaitement bien défini. L'énoncé non-trivial est que dans la limite où le pas de la discrétisation tend vers zéro, le résultat converge vers une limite finie, qu'on note de manière formelle comme intégrale de Dx e^{iS}. Mais dans cette expression, l'action S n'existe pas comme fonction sur l'espace des trajectoires continues, la mesure "Dx" n'existe pas comme mesure sur l'espace des trajectoires continues, seul l'ensemble "Dx e^{iS}" est une mesure bien définie sur l'espace des fonctions continues, obtenue par le procédé de limite non-trivial décrit ci-dessus.

Comme conséquence du paragraphe précédent, on obtient qu'essayer de restreindre la vitesse des chemins n'a pas de sens puisque les chemins n'ont pas de vitesse en général. On peut considérer l'intégrale de chemin où l'action S est relativiste, et on obtient le propagateur de l'équation de Klein-Gordon. Mais l'interprétation physique de ce résultat n'est pas évident et requiert la théorie quantique des champs pour aller plus loin.

[invite54165721]

belle réponse 0577

peut etre pourrais tu expliquer comment les intégrales de chemins qui n'utilisent pas les opérateurs
permettent la quantification?

[A voir en vidéo sur Futura]

[khoder_mazen]

Salut,
Mercie coussin,
Mercie 0577, mais si nous considérons l'intégrale de chemin où l'action S est relativiste c'est implique que a partire de formule relativiste de S nous avouns que v < c ?

[0577]

Bonjour,

mais si nous considérons l'intégrale de chemin où l'action S est relativiste c'est implique que a partire de formule relativiste de S nous avouns que v < c ?

l'action pour une particule (de spin zero) relativiste de masse m (non-nulle) est donnée par

Classiquement, cela ne fait sens en effet que si v<c. Pour v>c, l'action devient purement imaginaire, ce qui n'a pas de sens classiquement.

Mais dans l'intégrale de chemin , ça ne pose pas de problème d'avoir S complexe, cela signifie juste que l'argument de l'exponentielle acquiert une partie réelle.

En fait, il résulte de mon message précédent qu'il n'est pas clair comment restreindre l'intégrale aux chemins avec v<c. Une manière de voir le problème est que pour définir correctement l'intégrale, il faut passer par une étape de discrétisation au cours de laquelle la trajectoire est approchée par un nombre fini de points, et en particulier, la vitesse est approchée par des vitesses moyennes. Il n'est pas clair comment écrire une approximation cohérente de la condition v<c. Par exemple, imposer cette condition sur les vitesses moyennes n'est pas correct puisque ce ne sont que des approximations de la vitesse réelle. La seule chose qui ait un sens est de sommer sur toutes les trajectoires continues, ce qui inclut des trajectoires de vitesse v>c, des trajectoires "remontant le temps"... C'est essentiellement la version "intégrale de chemin" exprimant le fait qu'une théorie quantique relativise cohérente doit être une théorie d'une infinité de particules, avec antiparticules et création de paires particule-antiparticule.

Remarque technique:

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Je suis passer un peu vite en disant que si v>c, alors l'action devient complexe. On obtient la racine carrée d'un nombre négatif et on a donc deux choix de racine carrée, distincts par un signe. Le choix correct est celui donnant une partie réelle négative à l'argument de l'exponentielle. Le choix opposé donne avec une partie réelle positive donne une exponentielle croissante qui fait diverger l'intégrale. La conclusion est que les chemins avec v>c donnent une contribution exponentiellement petite (mais non-nulle) à l'intégrale. C'est la version "intégrale de chemin" du fait que le propagateur de l'équation de Klein-Gordon est non-nul et exponentiellement petit en dehors du cône de lumière, et du fait que pour l'équation de Klein-Gordon, il faut choisir le bon propagateur causal (le choix du signe dans la "prescription en " correspondant au choix de la racine carrée complexe discuté ci-dessus).

[0577]

peut etre pourrais tu expliquer comment les intégrales de chemins qui n'utilisent pas les opérateurs
permettent la quantification?

Ce serait sans doute assez long et cela dépend probablement du sens précis de "quantification". Les intégrales de chemins calculent des amplitudes de probabilité pour passer d'un état à un autre, ce qui est essentiellement suffisant pour définir la théorie quantique. Par exemple, la collection des intégrales de e^{iS} pour des positions initiales et finales arbitraires, est le "noyau" de l'équation de Schrödinger et on peut en extraire toute l'information sur l'hamiltonien comme opérateur quantique: spectre d'énergie et fonction d'onde des états staionnaires. Un exercice instructif et non-trivial consiste à retrouver le spectre de l'oscillateur harmonique en suivant cette logique.

Plus généralement, on peut calculer des éléments de matrice d'opérateurs plus généraux par insertion de fonctions sous l'intégrale. Naivement, si on a une fonction f(x,v) de la position et de la vitesse, cela deviendra un opérateur en physique quantique, et les éléments de matrice de cet opérateur peuvent se calculer en mettant la fonction f(x,v) dans l'intégrale sur les chemins. C'est naïf par ce que étant donnée une fonction f(x,v), il y a une ambiguïté pour obtenir un opérateur liée au fait que les opérateurs x et v ne commutent pas. Mais la même ambiguïté se retrouve du côté intégrale de chemin si l'on se rappelle que la définition correcte de l'intégrale sur les chemins requiert une discrétisation: les choix possibles de discrétisation correspondent aux choix possibles d'opérateurs pour une expression classique.

Exemple: je considère xv. Après discrétisation, x devient un point x_i de la trajectoire discrète et la vitesse en ce point devient une vitesse moyenne. Mais laquelle? Il y a deux choix possibles: ou , où

est le pas de la discrétisation temporelle. Dans le premier cas, l'intégrale de chemin calculera des éléments de matrice de l'opérateur vx, alors que ce sera l'opérateur xv dans le second cas (l'odre d'insertion des opérateurs est relié à l'ordre temporel d'insertion dans la discrétisation de l'intégrale sur les chemins). En particulier, on peut retrouver de ce point de vue la relation de commutation d'Heisenberg .
Pour que cela soit possible, il est crucial que le chemin "typique" dans la limite continue soit non-différentiable: si on avait une trajectoire avec une vitesse bien définie dans la limite continue, on aurait évidemment xv=vx. Ce n'est donc pas un détail mathématique ennuyant mais un condition nécessaire pour reproduire correctement la physique quantique.

[ThM55]

L'intégrale de chemin relativiste ne limite pas les trajectoires à des vitesses inférieures à c. Cela peut paraître étonnant, mais il faut se rappeler qu'en MQ relativiste, la considération d'une fonction d'onde à une particule ne fonctionne pas bien, à cause des énergies négatives, ou à d'autres phénomènes comme la non conservation des probabilités dans les processus de diffusion par un potentiel (le paradoxe de Klein). Cela est dû au fait que la théorie quantique relativiste est nécessairement une théorie à un nombre arbitraire et variable de particules. Il y a aussi de grosses difficultés mathématiques pour définir proprement cette intégrale. C'est pour toutes ces raisons qu'on étudie très rarement l'intégrale de chemin relativiste pour une particule, on le fait plutôt pour des champs, qui sont des opérateurs de création et d'annihilation de particules et qui offrent une approche plus simple et plus directe.

Feynman avait publié quelques articles fondateurs. En 1948: "Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics", où il déduit la MQ non relativiste, l'équation de Schrödinger, les amplitudes de transition, etc de son principe de sommation sur les trajectoires de particules (sans le moindre opérateur a priori). C'est en fait la seconde partie de sa thèse de doctorat. Référence: http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/feynman48c/eng.pdf . Ou alors "La thèse de Feynman", Pearson Education. Dans le dernier paragraphe il explique comment on peut obtenir l'équation de Klein-Gordon et celle de Dirac. Il est clair qu'il n'y a aucune limitation sur la vitesse.

Ensuite il a publié d'autres articles où des chemins avec une portion de vitesse supérieure à c apparaissent.

D'abord "The theory of positrons"; référence: Phys. Rev. 76 (6): 749–759. (on le trouve dans "Selected papers on quantum electrodynamics" par Julian Schwinger, réédité à bon marché chez Dover).
Dans cet article, il fait une réinterprétation des chemins pour les électrons: il montre que les chemins d'électrons parcourus en remontant le temps représentent la propagation de positrons quand on les prend dans le sens direct. Et dans le calcul de perturbation pour la diffusion par un potentiel apparaît une portion de vitesse supérieure à c qu'il appelle une "particule virtuelle". Selon le référentiel, il s'agit par exemple de l'émission suivie d'absorption d'un électron, ou bien de l'émission suivie de l'absorption d'un positron.

Le troisième article fait la synthèse et applique ces méthodes à QED et aux corrections radiatives qui impliquent la renormalisation: "Space-time approach to quantum electrodynamics". Il s'est déjà éloigné de l'intégrale de chemin, mais tous ses procédés de calculs en sont en fait déduits. Je pense qu'il ne possédait pas toutes les démonstrations et qu'il avait en quelque sorte deviné les résultats auxquels la méthode de l'intégrale de chemin aurait dû mener. Mais comme il savait avec sa méthode calculer en 5 minutes des amplitudes que les autres (Schwinger, Oppenheimer etc) mettaient des heures à élaborer sur des dizaines de pages, on l'a pressé de publier ses résultats. Référence: "Space-Time Approach to Quantum Electrodynamic". Phys. Rev. 76 (6): 769–789. (aussi reproduit dans le livre de Schwinger). C'est dans cet article qu'apparaissent les fameux "diagrammes de Feynman".

[0577]

C'est pour toutes ces raisons qu'on étudie très rarement l'intégrale de chemin relativiste pour une particule, on le fait plutôt pour des champs, qui sont des opérateurs de création et d'annihilation de particules et qui offrent une approche plus simple et plus directe.

Une des raisons d'étudier l'intégrale de chemin pour une particule relativiste est qu'elle admet une généralisation naturelle pour une corde relativiste, qui peut être prise comme un des points de départ de la théorie des cordes, alors qu'il n'y a pas d'analogue simple de la théorie des champs pour les cordes. Une référence pour l'intégrale de chemin d'une particule relativiste est le livre de Polyakov "Gauge fields and strings".

[khoder_mazen]

Bonjour,
Mercie beaucoup 0577,
le propagateur de l'équation de Klein-Gordon est non-nul en dehors du cône de lumière,
est-ce que le propagateur de l'équation de Dirac est non-nul en dehors du cône de lumière ? ,
dans ce cas pourquoi nous disons que ces equations sont compatible avec la relativité restreinte ?


Mercie beaucoup

[0577]

Bonjour,

Bonjour,
le propagateur de l'équation de Klein-Gordon est non-nul en dehors du cône de lumière,
est-ce que le propagateur de l'équation de Dirac est non-nul en dehors du cône de lumière ? ,
dans ce cas pourquoi nous disons que ces equations sont compatible avec la relativité restreinte ?

Une équation de propagation a en général plusieurs types de propagateurs. Lorsque j'ai écrit dans un message précédent "le" propagateur, j'aurais dû écrire, le propagateur de Feynman, qui est celui calculé par l'intégrale de chemin de la particule relativiste, et qui est non-nul en dehors du cône de lumière, que ce soit pour l'équation de Klein-Gordon ou l'équation de Dirac (avec des masses non-nulles).

La question de la compatibilité avec la relativité restreinte dépend du cadre précis dans lequel on se place:

Si on considère ces équations comme des équations de champs classiques, alors elles décrivent des ondes se propageant. Si on se fixe une configuration du champ a un instant donné, on peut calculer la solution dans le futur à l'aide du propagateur retardé et on peut calculer la solution dans le passé à l'aide du propagateur avancé. Le propagateur retardé est supporté sur la partie future de l'intérieur du cône de lumière et le propagateur avancé est supporté sur la partie passée de l'intérieur du cône de lumière. En particulier, toute transmission d'information se fait à des vitesses v<c et une telle théorie de champs classique est parfaitement compatible avec la relativité restreinte.

Si on considère ces équations comme des équations de champs quantiques, alors la solution n'est plus une fonction à valeurs réelles mais une fonction à valeurs dans les opérateurs de la théorie quantique. Dans ce cadre, un objet fondamental est la valeur moyenne dans le vide de l'opérateur obtenu comme produit des champs quantiques en deux points x et y de l'espace-temps. Il résulte du formalisme de la théorie quantique des champs que cet objet est un propagateur de l'équation classique, appelé propagateur de Feynman. Dans la théorie de champs classique décrite dans le précédent paragraphe, les propagateurs utilisés sont le propagateur retardé, qui propage toutes les solutions vers le futur, et le propagateur avancé, qui propage toutes les solutions vers le passé. Toujours dans la théorie classique, les solutions peuvent se décomposer en solutions de fréquences positives et solutions de fréquences négatives. Le propagateur de Feynman est le propagateur qui propage les solutions de fréquence positive vers le futur et propage les solutions de fréquence négative vers le passé. Une manière intuitive de comprendre pourquoi cet objet apparaît dans la théorie quantique est de remarquer que par quantification, une onde de fréquence f va devenir une collection de particules quantiques d'énergie E=hf. Pour obtenir une théorie cohérente dans laquelle toutes les énergies sont positives, il faut forcer les particules associées aux fréquences négatives à remonter le temps, de manière à pouvoir être interprétée comme une antiparticule d'énergie positive. Ce même raisonnement intuitif permet de comprendre pourquoi l'intégrale de chemin de la particule relativiste, avec ses chemins remontant le cours du temps, calcule le propagateur de Feynman.

Le propagateur de Feynman n'est pas supporté sur le cône de lumière mais ce n'est pas une incompatibilité avec la relativité restreinte. En théorie quantique des champs, la compatibilité avec la relativité restreinte impose l'annulation des commutateurs entre opérateurs à des points dont la différence est hors du cône de lumière. En particulier, il faut que la différence entre le propagateur de Feynman en x-y et le propagateur de Feynman en y-x s'annule en dehors du cône de lumière, ce qui est bien le cas (si au lieu de réinterpréter les particules associées aux fréquences négatives comme des antiparticules, on avait essayé de se débarasser des fréquences négatives et de ne garder que les fréquences positives, on aurait eu un problème à ce niveau là: la causalité relativiste résulte d'un mécanisme d'annulation entre particules at antiparticules). (Pour l'équation de Dirac, il faut remplacer commutateur par anticommutateur).

Les deux cadres décrits ci-dessus: théorie des champs classiques et théorie des champs quantiques sont bien définis et compatibles avec la relativité restreinte. Pour des raisons de confusion historique, on voit parfois apparaître les équations de Klein-Gordon ou de Dirac comme des analogues relativistes de l'équation de Schrödinger pour une fonction d'onde d'une particule: comme rappelé par ThM55, cela ne fonctionne pas, et tend à produire des résultats incompatibles avec la relativité restreinte et/ou la physique quantique.

[khoder_mazen]

salut,
Mercie beaucoup 0577,
dans la theory des champs quantiques (ou dans l'equation de dirac) si on a un electron en position (t0,x0), et nous cherchons la probabilité de trouver l'electron en (t1,x1) tel que ((x1-x0)/(t1-t0)) > c ,
alors est-ce que cette probabilité peut être > 0 ?

Mercie.

[invite54165721]

pour le photon aussi il y a des amplitudes de probabilité pour des chemins supraluminiques et infraluminiques.
mais seuls les chemins tres voisins de c se combinent de facon additives. les autres se compensent et
s'annulent finalement. y a t il des expériences ou sur des chemins tres courts on aurait mesuré une vitesse
meme tres legerement différente de c?

[invite54165721]

@0577
ou peut on retrouver en ligne ce que tu écris sur xv et vx?

[0577]

Bonjour,

dans la theory des champs quantiques (ou dans l'equation de dirac) si on a un electron en position (t0,x0), et nous cherchons la probabilité de trouver l'electron en (t1,x1) tel que ((x1-x0)/(t1-t0)) > c ,
alors est-ce que cette probabilité peut être > 0 ?

Dans une théorie quantique relativiste, on ne peut pas mesurer la position d'une particule avec une précision arbitraire (inférieure à la longueur d'onde de Compton de la particule: h/(mc)). En gros, localiser une particule sur une distance de l'ordre de h/(mc) requiert une énergie de l'ordre de mc^2 (intuitivement: avec de la lumière, pour voir un détail de taille h/(mc), il faut utiliser une longueur d'onde <h/(mc), donc une fréquence>(mc^2)/h, donc des photons d'énergie >mc^2), l'ordre de grandeur de l'énergie de masse de la particule, et le processus de localisation va donc en général créer des paires particule-antiparticule. Les particules ainsi produites sont indistingables de la particule initiale.

[0577]

@0577
ou peut on retrouver en ligne ce que tu écris sur xv et vx?

C'est contenu dans l'article de Feynman "Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics" dont un lien a été donné par ThM55
(voir en particulier la section 9, débutant page 24).

Aux références déjà données par ThM55, j'aurais dû ajouter qu'une référence sur l'intégrale de chemin non-relativiste est le livre de Feynman et Hibbs, "Quantum mechanics and path integrals".

[khoder_mazen]

Mercie beaucoup 0577 ,
alors que peut on dire sur l'opérateur de position de Newton-Wigner ?

Mercie

[0577]

Bonjour,

alors que peut on dire sur l'opérateur de position de Newton-Wigner ?

Un point de vue théorique: je ne connais pas de théorie quantique relativiste cohérente reposant sur l'opérateur de Newton-Wigner.

Un point de vue pratique: je ne connais pas de mesure expérimentale dont le résultat serait prédit par l'utilisation de l'opérateur de Newton-Wigner.

Ces points de vue ne sont peut-être que la traduction de mon ignorance.

[khoder_mazen]

Mercie beaucoup 0577,

Un point de vue théorique: je ne connais pas de théorie quantique relativiste cohérente reposant sur l'opérateur de Newton-Wigner.

Un point de vue pratique: je ne connais pas de mesure expérimentale dont le résultat serait prédit par l'utilisation de l'opérateur de Newton-Wigner.

Ces points de vue ne sont peut-être que la traduction de mon ignorance.

Belle réponse...

vous avez dit avant que:

"on obtient qu'essayer de restreindre la vitesse des chemins n'a pas de sens puisque les chemins n'ont pas de vitesse en général"

mais mathématiquement si nous utilisons seulement les vitesses < c (et dans le cas de "non-dérivabilité" nous utilisons par exemple la limite à droite)
avec la formule de l'action S dans la theory de relativité restreinte,
alors quelle équation d'onde aurons-nous?

Mercie.

[invite54165721]

peut etre un truc sans rapport avec notre monde physique?

[khoder_mazen]

Bonjour,

peut etre un truc sans rapport avec notre monde physique?

peut etre ..

Mais je pense que c'est une extension naturelle du travail de Feynman. Je ne sais pas pourquoi on ne s'en sert pas, du moins tant qu'on ne sait pas
quelle équation d'onde aurons-nous?

[invite54165721]

il me semble bien que feynman commence avec dans l'action le terme d'énergie cinétique mv^2 / 2
non relativiste pour ses intégrales de chemin. et il retrouve l'équation de schrodinger .
tu voudrais aussi y limiter les vitesses par c?

[khoder_mazen]

Bonjour,

il me semble bien que feynman commence avec dans l'action le terme d'énergie cinétique mv^2 / 2
non relativiste pour ses intégrales de chemin. et il retrouve l'équation de schrodinger .
tu voudrais aussi y limiter les vitesses par c?

Oui , encore en utilisant la formule de l'action S dans la theory de relativité restreinte, encore dans le cas de "non-dérivabilité" nous utilisons par exemple la limite à droite ou gauche ou leurs moyenne ...

[0577]

Bonjour,

encore dans le cas de "non-dérivabilité" nous utilisons par exemple la limite à droite ou gauche ou leurs moyenne ...

Dans le cas générique de "non-dérivabilité", il n'y a ni dérivée à droite ni dérivée à gauche. La trajectoire est continue mais nulle part dérivable (chercher des images de mouvements browniens (mathématiques) avec votre moteur de recherche préféré).

[chaverondier]

y a t il des expériences où sur des chemins très courts on aurait mesuré une vitesse même très légèrement différente de c?

Inférieure, c'est facile, supérieure c'est possible par effet tunnel, mais l'interprétation de l'effet Hartmann qui en est à l'origine est encore objet de débat.

[khoder_mazen]

Bonjour,
Dans le cas générique de "non-dérivabilité", il n'y a ni dérivée à droite ni dérivée à gauche. La trajectoire est continue mais nulle part dérivable (chercher des images de mouvements browniens (mathématiques) avec votre moteur de recherche préféré).

Mercie beaucoup 0577