Calcul de limite (probabilité et cinétique)

[blisax]

Bonjour,

J'ai trouvé sur internet le diaporama de cours de biophysique de Princeton, très intéressant, néanmoins un passage me pose problème. On s’intéresse au temps moyen de liaison d'une protéine à une certaine séquence d'ADN. La réaction est donc ADN + Protéine --> ADN-Protéine avec la constante de vitesse (pour la réaction dans le sens direct) noté k_on (et k_off pour le sens indirect). Cette constante de vitesse est assimilée à une probabilité, ainsi la probabilité pour que la protéine se sépare de l'ADN dans un intervalle Δt est donné par k_offΔt. Ensuite on se propose de calculer la probabilité qu'une protéine reste liée pendant un temps t puis se sépare durant un intervalle de temps Δt. cette probabilité est donné facilement par : k_offΔt * ( 1 - k_offΔt )^(t/Δt). L'auteur propose de calculer (je suppose) la limite quand Δt tend vers 0 et trouves: k_off e ^{-k_off t}. C'est le calcul de cette limite qui me pose problème, je n'arrive pas a comprendre comment le calcul à été fait (par ailleurs wolfram alpha m'indique que cette limite vaut 0...). Si quelqu'un peut me détailler un peu le calcul ou me dire une méthode pour arriver a ce résultat ? Je me doute qu'il s'agit de passe d'une loi géométrique discontinue vers une loi exponentielle continue mais je n'arrive pas a établir les bonnes lignes de calcul pour y parvenir. Voici le lien du PDF: http://www.princeton.edu/~akosmrlj/M...re3_slides.pdf
Je parle de la diapo 15 dont une capture d'écran est en pièce jointe.

Merci d'avance !
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[jacknicklaus]

Hello,


équivalent au premier ordre, quand T tends vers 0, à
donc équivalent à et donc
équivalent quand T tends vers 0 à

[blisax]

Merci pour cette réponse mais:
1) je fais quoi du terme koffΔt devant le terme mis à la puissance. Je suppose qu'il tend vers 0... Donc le tout devrait tendre vers 0, nan ?
2) Qu'est-ce que vous entendez par "équivalent au premier ordre" ? (je précise que j'ai une formation de biologie)

Merci encore pour votre réponse !

[jacknicklaus]

Merci pour cette réponse mais:
1) je fais quoi du terme koffΔt devant le terme mis à la puissance. Je suppose qu'il tend vers 0... Donc le tout devrait tendre vers 0, nan ?

oui. si c'est multiplié par koffΔt ca tends vers 0 si Δt tend vers 0.
mais tu noteras que dans l'extrait de cours, l'auteur note sa limite p(t), et peut-être (je ne connais pas ses notations) son p(t) c'est 1/Δt de la valeur de la ligne du dessus.

2) "équivalent au premier ordre". Le premier ordre ici c'est des termes en T. Second ordre on rajoute des termes en T², etc... Mais ici pour résoudre la limite il suffit du 1er ordre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[blisax]

Si je comprend bien nous avons koffΔt * ( 1 - koffΔt )(t/Δt) = P(t⩽X⩽t+Δt) où X est le temps pendant pendant lequel la protéine reste liée à l'ADN. Je ne vois pas de raison pour que P(t⩽X⩽t+Δt) = P(t)*Δt comme vous le proposez (et que pourtant expliquerait le passage entre les deux étapes...). Si vous pouviez m'aider sur ce point, car cette étape n'est pas claire pour moi.

[jacknicklaus]

Je ne vois pas de raison pour que P(t⩽X⩽t+Δt) = P(t)*Δt comme vous le proposez
.

Il me semble cependant que physiquement, si Δt = 0 , alors P(t⩽X⩽t+Δt) = 0 , et ce quelque soit t. Puisqu'on évalue une probabilité sur un intervalle de temps infiniment petit.
La forme P(t)*Δt a trivialement cette propriété, ce qui justifie que seul P(t) a le contenu physique intéressant.

Mais la biophysique n'est pas ma partie, je peux tout à fait être à côté de la plaque et je préfère laisser la parole à d'autres.

[blisax]

J'ai réfléchis a vos réponses a tête reposé. Si Δt est petit alors P(t)Δt est une bonne approximation de l'air sous la courbe entre les bornes t et t+Δt soit P(t⩽X⩽t+Δt), donc en effet P(t⩽X⩽t+Δt) = P(t)*Δt. Cela vous semble t il correct ?