Rotation dans l'espace q,p

[Bartoutatis]

Bonjour,

Je suis confronté à un exercice dont l'énoncé est : On considère un système a un degré de liberté, ayant pour hamiltonien H la fonction H(q,p) ou p est le moment conjugué de la variable q. Soit la transformation donnée par :

* q ' = qcosA - psinA
p' = qsinA + pcosA

ou A est un paramètre réel.
Vous allez démontrer que cette rotation dans l'espace des phases est une transformation canonique. Ceci signifie qu'il existe une fonction F(q,q') telle que :

** p = drond F/ dq
p' = - drond F/dq'

le nouvel hamiltonien étant donné par H'(q',p')=H(q(q',p'),p(q',p')) .

1) En utlisant les relations * exprimez p et p' en fonction de q et q' et de A uniquement.
2) En utilisant ** déterminer la fonction génératrice F de la transformation
3) Soit H(q,p) = (p²+q²)/2 + pq, Trouver la valeur de A tel que le nouvel hamiltonien est indépendant de q' et vaut H'(p')=p'².

Voila mon problème, pour la question 1, j'ai tenté d'isoler p en mettant au carré les deux équations et en les additions, j'obtient p² = p'² +q'² - q², cependant les calcules deviennent interminable dès lors que je reprend mon jeu d'équation initial en remplaçant p par sa nouvelle expression pour y isolé p'. Je soupçonne donc que ce ne soit pas la bonne méthode.
Pour la question : j'ai pour idée d'intégré les expressions trouvés de p et p' en fonction de q et q', afin de déterminer F. (méthode par intégration puis dérivation par rapport l'autre variable pour déterminer la constante).
La question 3 je n'es pas encore d'idée.

Pourriez-vous m'aider pour la question 1, me dire si la méthode pour la question 2 est correct dans ce cas la ?

Merci d'avoir pris le temps de me lire.
Bartoutatis
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[azizovsky]

Mal lu ...., enfin si, fait la somme des équations * p'=q(sinA+cosA)-q'

[0577]

Bonjour,

c'est nettement plus simple pour la question 1). Si vous considérez q et q' comme données et p et p' comme inconnues, alors (*) est un système de deux équations linéaires en deux variables qui se résout facilement.

[azizovsky]

Mal lu ...., enfin si, fait la somme des équations * p'=q(sinA+cosA)-q'

et la différence et remplace p' par son expression précédente

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

et la différence et remplace p' par son expression précédente

D'abord, je doit manger , je ne vois pas bien ....

[azizovsky]

la première des équations * donne : p=f(q,q',A)= q.cotgA -q'/sinA, la 2ème donne p'=g(q,q',A), en remplaçant p par son expression ....

[Bartoutatis]

Après résolution du système d'équation linéaire j'obtient :
1)
p' = q/sinA - q'/tanA
p = q/tanA - q'/sinA

2) On a donc drondF/dq = p, soit F = q²/2tanA - q'q/sinA + C(q') (intégration par rapport à q). Il vient que drondF/dq'= -q/sinA + dC(q')/dq' = -p' = q'/tanA - q/sinA
donc dC(q')/dq' = q'/tanA, après intrégration sur q', C(q') = q'²/2tanA

On a alors :

F(q,q') = q²/2tanA -q'q/sinA + q'²/2tanA + cste

Cependant, je reste bloqué sur la question 3, quelqu'un aurait une idée ?

[azizovsky]

les données:

le nouvel hamiltonien étant donné par H'(q',p')=H(q(q',p'),p(q',p')) .

et donc il faut chercher les fonctions ou ce qui va vérifier et de chercher une condition sur A ....