Bonjour à tous,
Voilà un bon moment que mes potes et moi sommes bloqués sur un exercice de physique quantique. Je vous présente l'énoncé et détaille le problème après :
Dans un espace vectoriel à deux dimensions, on considère un opérateur A représenté dans une base orthonormée { |1>, |2> } par la matrice suivante :
a) A est-il hermitique ?
b) Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propreset
(on donnera leur développement normalisé sur la base { |1>, |2> }. Vérifier que les vecteurs propres satisfont à des relations d'orthogonalité.
c) Calculer les matriceset
représentant les projecteurs sur les vecteurs propres
et
. Avec ces matrices, vérifier que les vecteurs propres satisfont à des relations de fermeture. Calculer les produits de matrices
et
. Commenter votre résultat.
Alors maintenant allons-y : pour vérifier si A est hermitique, pas de problème : on prend la transposée aux coefficients conjugués de sigma et on retombe sur nos pattes.
Tout se gâte par la suite :
On calcule tout d'abord les valeurs propres :
On sort deux solutions de ce système simple : 1 et - 1.
On cherche maintenant le vecteur propre associé :
On obtient
Soit
Pour trouver cette constante, j'utilise la relation A | u_1 > = lambda_1 = 1
u1 + i u1 = 1
u1 = 1 / (1 + i)
... Et maintenant ? On me demande son développement normalisé sur |1> et |2> mais je ne comprends pas ce que ça signifie.
Est-ce ceci ? |u1> = (1 / (1+i) ) |1> + (i / (1+i) ) |2> ?
Ou bien dois-je normaliser |u1> ?
Si c'est le cas je suis bloqué car mes calculs me donnent une norme nulle. Cela me semble impossible !
Bref je suis à l'écoute d'absolument la moindre des suggestions
Merci d'avance !
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