Exercice de physique quantique : un ket peut-il avoir une norme nulle ?

[invitebce8a4b6]

Bonjour à tous,

Voilà un bon moment que mes potes et moi sommes bloqués sur un exercice de physique quantique. Je vous présente l'énoncé et détaille le problème après :

Dans un espace vectoriel à deux dimensions, on considère un opérateur A représenté dans une base orthonormée { |1>, |2> } par la matrice suivante :



a) A est-il hermitique ?
b) Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres et (on donnera leur développement normalisé sur la base { |1>, |2> }. Vérifier que les vecteurs propres satisfont à des relations d'orthogonalité.
c) Calculer les matrices et représentant les projecteurs sur les vecteurs propres et . Avec ces matrices, vérifier que les vecteurs propres satisfont à des relations de fermeture. Calculer les produits de matrices et . Commenter votre résultat.

Alors maintenant allons-y : pour vérifier si A est hermitique, pas de problème : on prend la transposée aux coefficients conjugués de sigma et on retombe sur nos pattes.

Tout se gâte par la suite :
On calcule tout d'abord les valeurs propres :

On sort deux solutions de ce système simple : 1 et - 1.

On cherche maintenant le vecteur propre associé :




On obtient



Soit

Pour trouver cette constante, j'utilise la relation A | u_1 > = lambda_1 = 1
u1 + i u1 = 1
u1 = 1 / (1 + i)



... Et maintenant ? On me demande son développement normalisé sur |1> et |2> mais je ne comprends pas ce que ça signifie.
Est-ce ceci ? |u1> = (1 / (1+i) ) |1> + (i / (1+i) ) |2> ?
Ou bien dois-je normaliser |u1> ?

Si c'est le cas je suis bloqué car mes calculs me donnent une norme nulle. Cela me semble impossible !

Bref je suis à l'écoute d'absolument la moindre des suggestions

Merci d'avance !
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[invite69d38f86]

comment trouves tu une norme nulle?

[coussin]

La norme du vecteur v=(1,i) n'est pas 1²+i²=0. Il faut calculer <v|v> en se rappelant qu'il y a un conjugué qui traîne dans cette définition. La norme est donc 1²+(i)(-i)=2.

[invitebce8a4b6]

Merci Coussin...

Honte sur nous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

La norme du vecteur v=(1,i) n'est pas 1²+i²=0. Il faut calculer <v|v> en se rappelant qu'il y a un conjugué qui traîne dans cette définition. La norme est donc 1²+(i)(-i)=2.

Si je ne dis pas de bêtises c'est la norme au carré qui vaut 2