Comment manipuler des expressions écrites avec le formalisme de Dirac?

[inviteedd26c11]

Bonjour,

Je comprends pas grand chose aux notations de dirac, et surtout comment manipuler une expression avec des notations de Dirac, comment factoriser? Comment faire commuter deux termes (à quel prix)? Comment changer l'ordre de produits scalaires?

J'ai essayé d'expliquer mon problème dans un pdf que j'ai mis en pièce-jointe (je saurais pas trop l'adapter à l'interface du forum en fait :/ ) :

Vous remerciant mille fois par avance,

-Packou
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[invite814a7e57]

Salut,

ta pièce jointe n'étant pas encore apparue, je te conseille de lire le livre de Cohen-Tannoudji (Tome I uniquement) ou le cours de Dalibard (sur internet) qui décrivent comment manipuler ce formalisme de Dirac et avec lesquels sont joints quelques exercices et démonstrations que tu peux refaire pour t'entrainer.

[inviteedd26c11]

Bonjour lippow, merci de votre réponse.

Je crois que la pièce-jointe que j'ai fournie est désormais validée.
J'ai justement emprunté ce livre que (Cohen-Tannoudji (Tome I)) vous m'avez conseillé, car j'ai remarqué qu'il était conseillé dans plusieurs discussions sur la Mécanique Quantique, mais malheureusement je n'ai pas l'impression qu'il ait répondu dans le chapitre II (outils de la mécanique quantique) qui y est consacré, à mes interrogations, il y a rarement des "transformations" par associativité, modification de l'ordre des bras et des kets, (ou elles sont faites sans indiquer suffisamment d'étapes à mon goût et je ne comprends pas...) etc.. qui sont faites dans une série de kets et de bras qui se suivent, comme ce que mon prof a fait. J'ai l'impression qu'il y a quelque chose que je "manque". J'ai peut-être (très probablement) pas compris / oublié / zappé, une (des) propriété(s).

Mais j'ai l'impression que mon prof utilise la propriété suivante sur les kets et les bras (soit |x>, |y>, |v>, |z> des kets, on a aussi leurs bras associés : <x|.. etc..)

Est-ce qu'on peut écrire : <x|y><z|v> = <x|y>(<z|v>) = <z|v><x|y>?

Mon prof a effectué (par exemple, je pourrais sûrement fournir d'autres exemples) les transformations suivantes : (avec |x> se représente dans la base des {|a>} comme suit : |x> = (Somme sur a de <a|x>|a>) (et Â|x> = A|x> = |x'>)
<x|Â|x> = <x|(Â|x>)
= (Somme sur a): (Somme sur a'): <a|x>A|a><x|a'><a'| (1)
= (Somme sur a): (Somme sur a'): <a|x>A<a'|a><x|a'| (2)
= (Somme sur a): A<x|a><a|x> (3) (là je suppose qu'il a utilisé la relation d'orthogonalité sur le <a'|a>)
= (somme sur a): A |<x|a>|² (4)

Je ne comprends pas les propriétés qui sont utilisées pour effectuées les passages entre chaque ligne. Comment passer de (1) à (2)? Puis de (2) à (3)? Comment mon professeur parvient (par quelle propriété) à changer les ordres des bras, des kets, etc... entre eux.

[azizovsky]

Il y'a ce document intéressent: https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9907070.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite814a7e57]

1) Est-ce qu'on peut écrire : <x|y><z|v> = <x|y>(<z|v>) = <z|v><x|y>?

Il est nécessaire de bien comprendre ce que signifie tout cela. un bra-ket est un raccourcit mathématique et représente un produit scalaire( du ket sur le bra). Un produit scalaire comme son nom l'indique fournit un scalaire (nombre) donc on peut le placer où on veut dans une expression (dans le respect de la distributivité). Donc oui tu peux écrire ce que tu as mis.
Un autre exemple:

<x|y> |v> peut aussi s'écrire |v> <x|y>. (2* vecteur = vecteur *2 par exemple)


2) avec |x> se représente dans la base des {|a>} comme suit : |x>


Est-ce que tu comprends cette expression ? Finalement c'est la même chose que ce que tu as fait quand tu étais en première année de licence (ou prépa), quand tu voulais exprimer un vecteur dans une certaine base. Par exemple si tu étudies un point dans un vecteur dans un repère (partant de l'origine) alors tu décomposes le vecteur suivant une base : tu fais le produit scalaire du vecteur sur cette base pour obtenir la valeur suivant x,y et z.

C'est ce que signifie la ligne de dessus. " Quantiquement", enfaite tu peux développer tout vecteur dans une base orthonormée et complète par exemple notée |a> en utilisant l'identité . Comme son nom l'indique cette relation correspond à une identité (=1).
Ainsi tout vecteur peut être exprimer dans cette base avec ici l'exemple du vecteur |x>


et <a|x> est un scalaire donc on peut le déplacer dans notre équation

<a|x> donne la valeur du produit scalaire sur le vecteur |a>


3) (et Â|x> = A|x> = |x'>)
Ici c'est une équation aux valeurs propres qui définit l'action de l'opérateur A sur le vecteur |x>. On se rend compte que c'est une équation aux valeurs propres car le vecteur est inchangé après agissement de l'opérateur A : il y a juste maintenant un nombre A (une valeur propre) qui est apparut. On sait que un nombre * vecteur = un vecteur depuis le lycée donc on peut bien noté A |x> = |x'> (un nouveau vecteur x' colinéaire à x)

4) <x|Â|x> = <x|(Â|x>)
que signifie <x|A|x> ? décortiquons cela Â|x> on a vu que c'est un vecteur qu'on peut noté |x'>. Il nous reste <x|x'> qui est donc un produit scalaire. (on peut le déplacer n'importe ou (enfin dans le respect de la distributivité) )

5)
ici ton égalité est fausse (enfin je pense qu'il y a un problème de notation car noter : <x|a'| n'existe pas)

Je continuerai une fois ta correction faite. Désolé par avance des fautes d'orthographe il est tard

[albanxiii]

Il y'a ce document intéressent: https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9907070.pdf

À aborder quand on a compris les notations, pas avant... ça serait bien si un jour on pouvait répondre au niveau de la question posée et non pas montrer qu'on en sait plus.

[albanxiii]

Bonjour,

En fait si vous êtes familier avec l'algèbre linéaire, c'est le même principe, avec des notations un peu différentes.

Est-ce qu'on peut écrire : <x|y><z|v> = <x|y>(<z|v>) = <z|v><x|y>?

Si ça vous aide, vous pouvez voir l'expression <x|y> comme la projection du ket |y> sur le ket |x>. Rien qu'avec ça, ça devrait éclaircir pas mal de choses.

Bien sur, ça marche aussi avec |y> = A|z> comme ket projeté. Et avec B|u> comme ket sur lequel on projette.

Quand on écrit |a><b|, on écrit en fait un opérateur dont le résultat sera proportionnel au ket |a> et qui prendra le ket qu'on lui donnera à manger pour le projeter sur |b>.
|a><b|c> s'écrit aussi <b|c>|a>.

Avec ceci en tête, réinterprétez ce que veut dire <x|y><z|v> et ce que veut dire <z|v><x|y>.

[azizovsky]

À aborder quand on a compris les notations, pas avant... ça serait bien si un jour on pouvait répondre au niveau de la question posée et non pas montrer qu'on en sait plus.

je ne sais rien, je n'ai même pas lu tous le document..., je l'ai donné au cas où ....

[albanxiii]

je ne sais rien, je n'ai même pas lu tous le document..., je l'ai donné au cas où ....

La prochaine fois donnez une recette de crêpes, on ne sait jamais, ça peut être utile aussi.

[azizovsky]

La prochaine fois donnez une recette de crêpes, on ne sait jamais, ça peut être utile aussi.

et du chamia, je suis un bon cuisinier, même en physique mathématique , j'ai lu plus ou moins le quart des références mentionnés dans le doc , ça sert à rien de le lire complètement ...

[inviteedd26c11]

1) Est-ce qu'on peut écrire : <x|y><z|v> = <x|y>(<z|v>) = <z|v><x|y>?

Il est nécessaire de bien comprendre ce que signifie tout cela. un bra-ket est un raccourcit mathématique et représente un produit scalaire( du ket sur le bra). Un produit scalaire comme son nom l'indique fournit un scalaire (nombre) donc on peut le placer où on veut dans une expression (dans le respect de la distributivité). Donc oui tu peux écrire ce que tu as mis.
Un autre exemple:

<x|y> |v> peut aussi s'écrire |v> <x|y>. (2* vecteur = vecteur *2 par exemple)

Merci! L'utilisation de cette propriété m'est très utile et me permet déjà d'aboutir à beaucoup des égalités de mon cours qui me semblaient bien mystérieuses sans celle-ci.

2) avec |x> se représente dans la base des {|a>} comme suit : |x>


Est-ce que tu comprends cette expression ? Finalement c'est la même chose que ce que tu as fait quand tu étais en première année de licence (ou prépa), quand tu voulais exprimer un vecteur dans une certaine base. Par exemple si tu étudies un point dans un vecteur dans un repère (partant de l'origine) alors tu décomposes le vecteur suivant une base : tu fais le produit scalaire du vecteur sur cette base pour obtenir la valeur suivant x,y et z.

C'est ce que signifie la ligne de dessus. " Quantiquement", enfaite tu peux développer tout vecteur dans une base orthonormée et complète par exemple notée |a> en utilisant l'identité . Comme son nom l'indique cette relation correspond à une identité (=1).
Ainsi tout vecteur peut être exprimer dans cette base avec ici l'exemple du vecteur |x>


et <a|x> est un scalaire donc on peut le déplacer dans notre équation

<a|x> donne la valeur du produit scalaire sur le vecteur |a>

Je réponds un peu pêle-mêle aux points 1) et 2) de votre réponse. Vos réponses (et certains points de mon cours / mes lectures) me mènent à considérer que c'est similaire à l'utilisation que j'ai pu faire précédemment avec des vecteurs, leurs décompositions, projections, avec une base orthonormée et des produits scalaires qui donnent un scalaire et que leur "interprétation" est la même. Par exemple la structure :

revient alors à dans la base orthonormé des ei.

Je me représente du point de vue du "sens" qu'elles ont, ces notions comme similaires à celles que j'ai rencontrées jusqu'à présent, mais je me refuse à transposer sans l'avoir vu "noir sur blanc" les propriétés que je connais à cette nouvelle notation à cause des "différences" que cette notation introduit, c'est-à-dire: les bras qui sont des transposées complexes, le fait qu'ils interviennent dans le produit scalaire. Le produit scalaire qui n'est plus commutatif. Le fait qu'un "braket" qui est donc un ket à la suite d'un bra, définit le produit scalaire de deux kets.

3) (et Â|x> = A|x> = |x'>)
Ici c'est une équation aux valeurs propres qui définit l'action de l'opérateur A sur le vecteur |x>. On se rend compte que c'est une équation aux valeurs propres car le vecteur est inchangé après agissement de l'opérateur A : il y a juste maintenant un nombre A (une valeur propre) qui est apparut. On sait que un nombre * vecteur = un vecteur depuis le lycée donc on peut bien noté A |x> = |x'> (un nouveau vecteur x' colinéaire à x)

4) <x|Â|x> = <x|(Â|x>)
que signifie <x|A|x> ? décortiquons cela Â|x> on a vu que c'est un vecteur qu'on peut noté |x'>. Il nous reste <x|x'> qui est donc un produit scalaire. (on peut le déplacer n'importe ou (enfin dans le respect de la distributivité) )

Le cours a traité les équations aux valeurs propres lorsqu'on a fait l'équation de Schrodinger en stationnaire, un peu avant le formalisme de Dirac. Je pense comprendre, et je vois l'analogie avec la notation de Dirac ici.

5)
ici ton égalité est fausse (enfin je pense qu'il y a un problème de notation car noter : <x|a'| n'existe pas)

Je continuerai une fois ta correction faite. Désolé par avance des fautes d'orthographe il est tard

Effectivement mon égalité est fausse, j'ai inversé un "|" et un ">", il s'agit de :

Encore merci.

[invite814a7e57]

Il y a encore un problème dans ton égalité car a gauche du égale l'expression finale est un opérateur alors qu'a droite c'est un scalaire. Donc impossible que ce soit correcte. (<a|b> est un chiffre, |a><b| est un opérateur, |a> ou <a| est un vecteur)

[Sethy]

Il y a encore un problème dans ton égalité car a gauche du égale l'expression finale est un opérateur alors qu'a droite c'est un scalaire. Donc impossible que ce soit correcte. (<a|b> est un chiffre, |a><b| est un opérateur, |a> ou <a| est un vecteur)

Je ne sais pas si ça peut aider, mais pour ma part, je raisonne souvent avec les matrices. Les kets sont des vecteurs-colonnes, les bras des vecteurs-lignes.

Le produit d'un bra par un ket, donne "forcément" un scalaire (et on voit directement que ce n'est pas commutatif car effectuer le produit dans l'autre sens donne une matrice), le produit d'un scalaire par autre chose donne cette autre chose, les équations aux valeurs propres sont aussi évidentes, etc.

[inviteedd26c11]

Il y a encore un problème dans ton égalité car a gauche du égale l'expression finale est un opérateur alors qu'a droite c'est un scalaire. Donc impossible que ce soit correcte. (<a|b> est un chiffre, |a><b| est un opérateur, |a> ou <a| est un vecteur)

Dans ce cas-là il s'agit forcèment d'une erreur de copie de tableau. Les égalités que j'ai écrites là, ça ne vient pas de moi...

Ma tentative personnelle pour retrouver le résultat est uniquement dans le pdf.
Je la met en tex ici.

(je pense rétrospectivement qu'il y a une erreur ici, puisque l'élément de matrice est un scalaire et qu'à droite j'ai un opérateur désormais, mais si je ne me trompe pas ce que j'ai écris ensuite ne pose problème puisque ça revient au même que sans cette erreur).



Par orthogonalité de la base des {|a>}:

Avec la relation de fermeture |a><a|=1 :

Je ne sais pas si ça peut aider, mais pour ma part, je raisonne souvent avec les matrices. Les kets sont des vecteurs-colonnes, les bras des vecteurs-lignes.

Le produit d'un bra par un ket, donne "forcément" un scalaire (et on voit directement que ce n'est pas commutatif car effectuer le produit dans l'autre sens donne une matrice), le produit d'un scalaire par autre chose donne cette autre chose, les équations aux valeurs propres sont aussi évidentes, etc.

Effectivement, si on voit les choses de cette façon, ça me paraît logique. Tout comme la règle d'associativité pour la multiplication matricielle :

[Sethy]

Je suis chimiste et donc simple "utilisateur" de ce formalisme.

Ce que je sais de cette première relation, c'est qu'elle permet soit si est une fonction propre de l'opérateur (et A la valeur propre, donc un scalaire) :



Si au contraire, n'est pas une fonction propre alors cela donne une valeur moyenne pour l'opérateur :



Je ne suis plus sûr, mais l'idée, je crois est que si n'est pas un vecteur propre de , il peut quand même être écrit sous la forme d'un combili et qu'en partant de la, on peut retrouver le fait qu'il s'agit d'une valeur moyenne.