Force électrostatique

[audemorel]

Bonjour

Quelqu'un saurait-il comment calculer la force électrostatique qui s'exerce sur la paroi interne d'un condensateur sphérique et d'un condensateur cylindrique...

Merci d'avance

Aude
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[Ravaner]

Bjr. peux-tu préciser : force s'excerçant sur quoi et où. Sur une charge Q ? Située au centre ?

[audemorel]

1er cas : J'ai un condensateur sphérique dont les 2 parois sont à un potentiel différent. Je souhaite connaitre la force électrostatique qui s'excerce sur la paroi intérieure.

2ème cas : J'ai un condensateur cylindrique dont les 2 parois sont à un potentiel différent. Je souhaite connaitre la force électrostatique qui s'excerce sur la paroi intérieure.

[Ravaner]

Je vais peut-être t'indiquer une piste. On sait que l'énergie de n charges Qn portées à des potentiels Vn =>
Wt = Sigma ( 0.5 * Qn * Vn ). En imaginant un condensateur dont l'une des armatures serait infinitésimalement déplacée, on tire aisément que la force Fx = -dW / dx ( NB : dérivée partielle = d rond ) =>
Fx = 0.5 * V² * dC / dx ( C = capacité ). Cette formule est valable selon les 3 axes en cartésiennes. Dans tes applis il convient de passer en coordonnées sphéiques et cylindriques. Regarde du coté des gradients dans ces systèmes de coordonnées. Good luck ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[hterrolle]

Je souhaite connaitre la force électrostatique qui s'excerce sur la paroi intérieure.

je ne sais pas si j'ai bien compris ? tu disire savoir si ta parois intérieur va être attiré par la paroi extérieur sous les forces electrostatique ?

[audemorel]

Je ne sais pas trop comment être plus précise... Je modélise soit un condensateur cylindrique soit un condensateur sphérique. J'applique un potentiel sur chacune des armatures de ces condensateurs....
La capacité de la sphère intérieure est 4.pi.epsilon0.R1*R2/(R1-R2).
La capacité du cylindre intérieur est 2.pi.epsilon0.h/(ln(R2/R1))

Je voudrais pouvoir calculer la norme de la force électrostatique qui s'applique sur l'armature interne du condensateur. Si possible, je voudrais une formule utilisant V1 et V2 et une autre en utilisant Q (charge de cette armature)...
Par ex pour le condo cylindrique, j'ai F=pi*epsilon0*(V1-V2)²/(ln(R2/R1))... Je cherche donc les 3 autres formules...

[Ravaner]

Es tu certaine de ta formule pour le condo cylindrique ? Ne s'agit-il pas plutôt de l'expression de l'énergie?

Aux erreurs de calcul près, pour le condo sphérique, je trouve F = 2.pi.epsilon.V².R2² / ( R2-R1)²

[rapporteur]

Je ne sais pas trop comment être plus précise... Je modélise soit un condensateur cylindrique soit un condensateur sphérique. J'applique un potentiel sur chacune des armatures de ces condensateurs....
La capacité de la sphère intérieure est 4.pi.epsilon0.R1*R2/(R1-R2).
La capacité du cylindre intérieur est 2.pi.epsilon0.h/(ln(R2/R1))

Je voudrais pouvoir calculer la norme de la force électrostatique qui s'applique sur l'armature interne du condensateur. Si possible, je voudrais une formule utilisant V1 et V2 et une autre en utilisant Q (charge de cette armature)...
Par ex pour le condo cylindrique, j'ai F=pi*epsilon0*(V1-V2)²/(ln(R2/R1))... Je cherche donc les 3 autres formules...

Bonjour
Je ne sais pas exactement ce que tu cherches. Sans doute une force par unité de surface. Parce que si tu cherches la force s'exercant sur une armature dans le cas d'un condensateur sphérique ou cylindrique cette force ne peut etre que nulle. La force s'exercant sur une surface élémentaire de l'armature est égale et opposée à celle s'exercant sur la surface diamétralement opposée. On peut aussi raisonner par symétrie et dire que si une telle force existait elle n'aurait pas plus de raison d'etre dirigée vers le haut que vers le bas ni plus de raison d'etre dirigée vers la droite que la gauche ni vers l'avant ni vers l'arrière.
A bientot

[Etile]

Si tu cherches la force en ayant l'expression du champ electrique, tu peux retrouver la capacité du condensateur.
En ayant la capacité tu peux également retrouver le travail élémentaire, et d'après la définition du travail, retrouver la force qui s'exerce sur l'une des armatures.

[rapporteur]

Es tu certaine de ta formule pour le condo cylindrique ? Ne s'agit-il pas plutôt de l'expression de l'énergie?

Aux erreurs de calcul près, pour le condo sphérique, je trouve F = 2.pi.epsilon.V².R2² / ( R2-R1)²

Bonjour
Tu as dessiné cette force pour voir quelle est sa direction ?
A bientot

[Ravaner]

Cette force est normale aux armatures du condo et est non nulle car il n'y ni symetrie sphérique, ni cylindrique.
La méthode en effet semble être de calculer l'énergie puis de la dériver par rappoprt au rayon R.

[rapporteur]

Cette force est normale aux armatures du condo et est non nulle car il n'y ni symetrie sphérique, ni cylindrique.
La méthode en effet semble être de calculer l'énergie puis de la dériver par rappoprt au rayon R.

Bonjour
L'axe du condensateur sphérique n'est pas un axe de symétrie de l'univers ?
A bientot

[audemorel]

Merci à tous pour vos réponses...

Donc si j'ai bien compris, la force électrostatique sur un condensateur sphérique ou cylindrique est nulle... C'est ce qui me semblait d'après la surface de Gauss à considérer mais ça me paraissait bizzare puisque la densité de charge, elle, n'est pas nulLe...

Sinon pour le condo cylindrique, est-il possible de calculer une force électrostatique sur les surfaces plan du cylindre intérieur... Je m'explique. J'ai 2 cylindres concentriques de longeur h avec une ddp entre les 2, mais je cherche la force sur les 2 surfaces plan de rayon R1 qui délimitent le 1er condo... C'est faisable? Si oui comment puis-je la déterminer?

[Ravaner]

La force électrostatique sur les armatures est loin d'être nulle. Regarde l'expression que j'ai trouvée pour le condo sphérique ( le crois ). Je pense que le cheminement est d'imaginer une modification infinitésimale de l'épaisseur de diélectrique. Quelle est la nouvelle capacité ? Ensuite quelle est la variation d'énergie ou de travail nécessitée pour effectuer cette modif ? Finalement on dérive par rapport au rayon R et on trouve la force.

[audemorel]

Es tu certaine de ta formule pour le condo cylindrique ? Ne s'agit-il pas plutôt de l'expression de l'énergie?

Aux erreurs de calcul près, pour le condo sphérique, je trouve F = 2.pi.epsilon.V².R2² / ( R2-R1)²

Salut

Je suis sûre de mon calcul mais par contre, j'ai dérivé C par rapport à x en mettant C=2.pi.epsilon.(h+x)/(ln(R2/R1)) donc j'ai peut-être trouvé la force sur la surface plane de l'extrémité du condo et non sur l'armature... Qu'en penses-tu?

Tu crois que tu pourrais me mettre un word en pièce jointe pour me montrer comment t'as fait pour trouver la force sur le condo sphérique... Le résultat me parait assez logique mais j'avoue que j'ai un peu de mal avec le changement de repère à dériver...

Merci d'avance

[audemorel]

Salut

Finalement, t'embete pas avec le word j'ai réussi à retrouver ta formule, ce n'était en fait pas si compliqué, il suffisait de dériver par rapport à R1...

Par contre je veux bien toujours ton avis, sur mon 1er calcul de Force pour les cylindres... Est-ce que j'ai calculé la force sur le disque qui ferme le cylindre ou c'est complètement stupide...

[rapporteur]

La force électrostatique sur les armatures est loin d'être nulle. Regarde l'expression que j'ai trouvée pour le condo sphérique ( le crois ). Je pense que le cheminement est d'imaginer une modification infinitésimale de l'épaisseur de diélectrique. Quelle est la nouvelle capacité ? Ensuite quelle est la variation d'énergie ou de travail nécessitée pour effectuer cette modif ? Finalement on dérive par rapport au rayon R et on trouve la force.

BONJOUR
Si la force n'est pas nulle pourquoi l'armature ne se déplace-t-elle pas ?
A bientot

[Ravaner]

Cette force existe bien et lorsque le diélectrique est l'air, elle peut être utilisée pour déterminer le potentiel des armatures : voir electromètre de Villard. Ceux qui ont monté des machines de wimshurst connaissent bien cette force qui a tendance a coller les plateaux.

[invite19415392]

La force électrostatique sur les armatures est loin d'être nulle.

Et pourtant, elle l'est ^^
Plus sérieusement, effectivement il y a des « forces » électrostatiques qui peuvent du reste être très importantes, mais il vaut mieux parler de pression électrostatique puisque c'est de ça qu'on parle ici - une force par unité de surface. Si on considère la force exercée globalement sur la sphère (ou sur le cylindre) externe (ou interne), elle est nulle.

Cela dit, dans le cas d'un condensateur sphérique ou cylindrique, la symétrie (en négligeant les effets de bords dans le cas cylindrique) fait qu'on a une densité de charge homogène sur toute la surface S de l'armature.
Donc localement, sur une petite unité de surface dS :
Q = C.U.dS / S
Et on retombe sur la formule de la pression électrostatique :
P = 1/2 . U² . dC/dr . 1/S

Voili voilou, j'ai pas le courage de vérifier les formules des capacités mais à vue de nez ça me rappelle des choses

[audemorel]

Par contre je veux bien toujours ton avis, sur mon 1er calcul de Force pour les cylindres... Est-ce que j'ai calculé la force sur le disque qui ferme le cylindre ou c'est complètement stupide...

Comment puis-je déterminier la force axiale du condensateur, maintenant que on est OK pour la radiale?

merci d'avance

[invite19415392]

En négligeant les effets de bord, il n'y a pas de force axiale - la pression électrostatique est liée à l'effet du champ sur les charges de surface, or ce champ est (dans le cas d'un métal) normal à la surface !
Sinon, eh bien ça va devenir franchement complexe ... Il faudrait modéliser les bords des cylindre (avec un rayon de courbure), et se retrousser les manches - ou celles de son PC si on est muni d'un programme de simulation numérique

[audemorel]

Alors je calcule quoi quand j'utilise la formule F=0,5*dC/dx*(V1-V2)²... Je trouve F= PI*epsilon0*(V1-V2)²/ln(R2/R1) pour mon condo cylindrique...
J'utilise Femlab comme logiciel et celui ci ne calcule pas F mais Q... seulement je ne sais pas comment retrouver ce F à partir de Q ni même sur quelle surface je dois demander à Femlab de me calculer Q... Je voulais utiliser une formule du type F=Q²/(2*epsilon0*S) mais ca n'a jamais l'air de marcher...

Petite remarque qui je pense à son importance... En fait j'utilise 2 condo cylindriques concentriques mais qui sont décalés l'un par rapport à l'autre... Celui du centre est plein d'où mon idée que je calculais peut-être la force sur le disque délimitant ce cylindre...

Si qqn peut m'éclairer...

[invite19415392]

Tu calcules une fausse force ; en divisant par la surface, ça te donne la pression électrostatique, mais elle est « radiale », c'est à dire normale à ta surface. Il n'y a pas de force verticale (enfin par verticale j'entend dans l'axe du cylindre) !
Maintenant, si tu modélises tout ton condensateur, il va se passer des choses en bout de cylindre, mais encore une fois c'est vraiment pas propre, et ça dépend fortement des états de surface, du rayon de courbure, etc. Et quand tu as la charge surfacique, oui tu peux retrouver le champ et donc la pression électrostatique.
En passant le « x » que tu fais varier ici (en dx) c'est en fait la distance radiale séparant les surfaces de tes deux cylindres (donc dans le cas présent mieux vaut mettre dr).
Ensuite, tu dis que tes deux cylindres sont décalés ? Ils ne sont pas concentriques, mais juste parallèles ?

[audemorel]

Voilà mon étude de cas en pièce jointe...
Estes-vous sûr que je ne calcule rien avec dérivant suivant x puisque c'est ca que l'on me demande de retrouver à partir de Femlab...

[invite19415392]

Ahh ok, je ne voyais pas du tout le problème comme ça.

Bon, dans ce cas je comprend mieux que l'ont te fasse passer par Femlab

Il va te falloir regarder ce qui se passe sur la face supérieure du cylindre (en charge). Puisque tu n'as plus de belle formule quant à la capacité (on perd trop en symétrie pour que les calculs soient simples), ça ne peut se résoudre que numériquement. Juste une question par contre, la modélisation des angles est très importante : y as tu fait attention ?

[audemorel]

Quels angles?
Sinon Femlab me calcule la charge mais comment puis-je calculer la force à partir de Q?

[invite19415392]

Je parle des angles du cylindre ; si le cylindre est parfait, l'angle est droit et donc a un rayon de courbure nul, ce qui donne un champ énorme par effet de pointe. Selon ta modélisation, en gros le rayon de courbure sera déterminé par le nombre de points au voisinage de l'angle ; une approximation grossière est que le rayon de courbure équivalent est égal à la distance entre le point de l'angle et le point immédiatement suivant.

Sinon, il te faut la charge portée par la partie supérieure du cylindre, et ensuite bêtement appliquer le fait que le champ local est de Sigma / (2.e0), avec e0= Epsilon zéro et Sigma la charge surfacique.
Donc localement sur une petite surface dS :
dF = Sigma² . dS / (2. e0)
Il ne reste plus qu'à intégrer.
Si Femlab ne te sort qu'une charge totale et que tu ne peux pas extraire la charge locale et intégrer, tu peux faire l'approximation de charge constante (qui est d'autant plus fausse que les effets de bords sont importants), et considérer donc que :
F = Q²/(2.e0)

[audemorel]

Je dois prendre la charge sur le disque qui ferme le cylindre?
Et dans la formule de F, il faut pas diviser par S... Mais je prends quoi pour S? La surface du disque (PI*R1²)?
J'ai déjà essayer mais mes résulats à partir de Q calculé par Femlab, ne me permettent pas de retrouver le résultat théorique donné par la formule F=Pi*E0*(V1-V2)²/(ln(R2/R1))...

[invite19415392]

Si tu cherches une force verticale, oui, la « force électrostatique » (il est plus idoine de parler de presson) étant normale aux surfaces métalliques.
Ensuite, oui j'ai oublié de diviser par S, S étant effectivement la surface portant la charge considérée, soit la surface du disque supérieur, donc bien Pi.R1²
Par contre tu n'as aucune chance de retomber sur la formule donnée, puisque la capacité utilisée dans cette formule néglige les effets de bords et en particulier ce qui se passe au sommet du cylindre - et en considérant la force verticale, tu ne t'intéresses justement qu'à ça !

[audemorel]

Ok donc d'après vous, ca n'a rien de surprenant que j'ai un écart relatif entre la force de Femlab et la force théorique qui va de 45 à 75% suivant les cas...