[TEX]\delta Q[/TEX] en thermodynamique

[jtruc34]

Bonjour,

En thermodynamique, pourquoi écrit-on typiquement pour la variation infinitésimale de la chaleur plutôt que ?

Merci !
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[petitmousse49]

Bonsoir
Justement parce qu'il ne s'agit pas d'une variation infinitésimale mais d'une quantité infinitésimale. δQ et δW désignent respectivement des quantités infinitésimales de chaleur ou de travail reçues par le système et ces quantités reçues provoquent une variation infinitésimale d'énergie interne notée dU

[jtruc34]

Je ne vois pas, "rigoureusement", ce qui le justifie. C'est quoi, exactement, la différence mathématique entre les deux ?

J'essaie de deviner : n'est pas une fonction du temps. Toute seule, cette variable ne veut rien dire. Écrire impliquerait de pouvoir calculer . Cela dit, comme on s'en fait une idée intuitive, on aimerait que la notation de sa seule valeur mesurable (la quantité de chaleur reçue ou perdue) traduise un concept de variation ou d'échange, donc on utilise .

Ce n'est qu'une supposition, est-elle correcte ? (je ne suis vraiment pas sûr, ça me paraît un peu tordu et sale, comme explication)

Merci

[mach3]

C'est au niveau de la définition de l'opérateur "d" que ça se joue. Si j'écrit df, cela signifie la différentielle exacte de f et donc que f possède une expression explicite. Exemple si f est fonction de deux variables x et y :



On a et , les dérivées partielles de f par rapport à x en gardant y constant et par rapport à y en gardant x constant, qui ont la propriété suivante :



Après on a le droit de fabriquer n'importe quelle expression avec des dx et des dy, comme



mais omega n'est une différentielle exacte que si :



si c'est le cas, omega peut s'écrire, par exemple, dg, avec g une fonction de x et de y dont les dérivées partielles par rapport à x et y sont u et v. Sinon, ce n'est pas une différentielle, on ne peut pas écrire dg, car il n'existe pas de fonction g de x et de y dont la différentielle donne udx+vdy.

Il n'existe pas de fonction de la température et de la pression (par exemple) qui donne la chaleur ou le travail échangé, donc on ne peut pas écrire dQ ou dW qui supposerait que Q et W sont de telles fonctions. Pour parler d'échanges infinitésimaux de chaleur ou de travail, on préfère donc le petit delta, plutot que le d. Attention cependant, certains auteurs ou certains profs font fi de cela et utilisent quand même le "d".

On pourrait aller plus loin dans les explications (notamment pourquoi les notations "q" et "w" sont parfois préférés à et ) en parlant de la dérivée extérieure et des n-formes, mais je pense que c'est prématuré.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[petitmousse49]

Je prends un exemple : tu peux fournir une quantité de travail plus ou moins grande . Il en résulte une variation de ton énergie. Mathématiquent, une variation élémentaire de fonction d'état est une différentielle exacte vérifiant le théorème de Swartz . Une variation de fonction d'état finie ne dépend que de l'état initial et de l'état final, pas de la façon dont s'est déroulée la transformation. En revanche, la quantité de chaleur reçue Q et le travail reçu dépendent de la façon dont s'est déroulée la transformation. Il n'est pas possible sur un forum de résumer le cours de thermo. Je te conseille d'étudier sérieusement un cours structuré puis de poser des questions complémentaires si tu le juges utile.

[petitmousse49]

Bonsoir
Merci Mach3 d'avoir pris la peine d'expliquer la notion de différentielle. J'espère que jtruc34 saura en tirer bénéfice.
Juste une question au sujet des notations. Entre bac+1 et bac+3, les étudiants doivent concilier la thermo des systèmes fermés, la thermo des systèmes ouverts et la thermodynamique chimique. Sachant qu'il y a quasi unanimité en thermo des systèmes ouverts pour utiliser les minuscules pour désigner les grandeurs massiques (q, w) et les mêmes minuscules précédées de "petit delta" pour désigner les grandeurs massiques élémentaires, sachant aussi que l'indice m est réservé à molaire en thermodynamique chimique, comment obtenir des notations cohérentes en remplaçant deltaQ et deltaW par q et w ?

[mach3]

L'idée derrière l'usage de q et w comme notation et la compatibilité avec le formalisme des k-formes (algèbre extérieure) et de la dérivée extérieure. Dans cette optique, ce ne sont pas des quantités infinitésimales (des nombres réels arbitrairement petits) mais des 1-formes (des applications linéaires, plutôt ressemblant à des vecteurs), qu'on peut intégrer sur un chemin pour obtenir des quantités réelles (Q ou W échangées le long du chemin).

Il est clair que cette notation (qui a une orientation mathématique) entre en conflit avec d'autres notations (qui ont une orientation physique).

m@ch3