Loi de Gauss: Electrostatique

[Tibsoo]

Bonsoir,

J'ai quelques difficultés concernant la démonstration de la loi de Gauss pour le champ électrique ainsi que pour interpréter cette loi.

La loi de Gauss stipule que le flux du champ électrique au travers de n'importe quelle surface fermée est proportionnel à la charge contenue dans la surface considérée.

Pour démontrer la loi de Gauss, on considère une charge ponctuelle q ainsi qu'une sphère de rayon R centrée sur q. Le flux du champ électrique au travers de la surface de la sphère est donnée par,


A partir de l'équation de Gauss sous forme intégrale, on peut facilement aboutir à la relation locale donnée par,

Je ne comprends pas pourquoi est-ce que dans la thèse, le flux du champ électrique au travers de n'importe quelle surface fermée est proportionnel à la charge interne alors que dans la démonstration, on se restreint à la surface d'une sphère.

Deuxièmement, j'ai lu que "la loi de Gauss est basée sur la dépendance carrée inverse de la distance contenue dans la loi de Coulomb et toute violation de la loi de Gauss indique un désaccord par rapport à la loi du carré inverse". Je ne comprends pas pourquoi est-ce que la loi de Gauss est telle qu'elle est parce que tout champ électrique décroît comme l'inverse du carré de la distance.


Je vous remercie de votre aide.
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[Resartus]

Bonjour,

La démonstration complète est basée sur le théorème de Green-Ostrogradski (qui a aussi d'autres noms, selon les pays). Le flux d'un champ vectoriel sur une surface fermée vaut l'intégrale de la divergence du champ sur le volume intérieur cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorè...lux-divergence.

Je ne sais pas d'où vient votre citation, mais le mot "démonstration" est en effet un peu abusif. Je suppose que l'auteur a essayé de vous faire toucher du doigt comment la dépendance en 1/R² du champ va compenser l'augmentation de la surface en R², dans un cas particulier simple, en attendant (peut-être) une présentation ultérieure plus sérieuse, mais qui demandera plus de "biscuit" en mathématiques

Et si on fait l'hypothèse, pour des raisons évidentes de symétrie, que le champ devrait être radial autour d'une charge ponctuelle, le fait qu'il décroit en 1/r² est équivalent au fait que sa divergence en dehors de la charge est nulle.

[Tibsoo]

J'arrive sans trop de peine à passer de la loi de Gauss sous forme intégrale à la loi sous la forme locale au moyen du théorème de Green-Ostrogradski, là n'est pas le problème.
Mais avant de passer de la loi intégrale à la loi locale, encore faut-il démontrer la loi intégrale. Et c'est là que ça coince. Dans de nombreux livres, pour démontrer la loi de Gauss, les auteurs considèrent une sphère de rayon R dans laquelle se trouve une particule chargée. Puis ils calculent le flux du champ électrique généré par la particule au travers de la surface de la sphère et ils tombent sur la loi de Gauss.

Or, la loi de Gauss permet de calculer le flux du champ électrique au travers de n'importe quelle surface fermée. Si la loi est vraie pour n'importe quelle surface, pourquoi est-ce que dans la démonstration, on se place dans le cas particulier d'une sphère ?

J'ai essayé de trouver une autre façon de démontrer la loi de Gauss. Il est possible de démontrer la loi en passant par la distribution delta de Dirac et en utilisant la propriété suivante: mais là problème: Cette propriété se démontre en utilisant la loi de Gauss. Je tourne en rond donc...

Peut-être que la loi de Gauss est une expression phénoménologique et donc ne possède pas de démonstration ?

Bien à vous,

[Tibsoo]

Pas de réponse ? Un petit up.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

div de r vaut 3. C'est div de 1/r² qui vaut 4pi delta. Et cette propriété n'est pas une conséquence de la loi de Gauss. C'est une propriété purement mathématique du système de coordonnées sphérique...

[AnotherBrick]

Bonjour,

Pour la démonstration générale, la notion qui vous manque est probablement celle d'angle solide. On peut démontrer que toute surface fermée, indépendamment de sa forme, est "vue" sous un angle solide (algébrique) nul depuis tout point extérieur à la région qu'elle délimite, et sous un angle de 4 pi si le point est interne. Toute surface fermée est donc équivalente, pour cette propriété, à une sphère.

Voir par exemple ces notes : http://www-ext.impmc.upmc.fr/~menguy...03_2012_C2.pdf

Si vous souhaitez des choses plus rigoureuses vous devriez maintenant avoir les mots-clefs.