Calcul orbite

[Luka0208]

Bonjour a tous,
Je m’interesse en ce moment au calcul d’orbites et a la mécanique celeste. De ce fait, j’ai compris comment on obtenait l’equation du mouvement d’un corps en orbite en coordonnees polaires avec une expression qui donne le rayon en fonction de l’angle. ( R=p/1+ecos(θ) )
Cependant, j’aimerais avoir une expression du rayon en fonction du temps pour obtenir la position d un corps selon la date et inversement,mais je ne vois pas comment l’obtenir ? Comment trouver θ en fonction de t ?
Merci d’avance !!
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[SULREN]

Bonjour,

Avant de tenter de répondre à la question posée, il convient de se mettre d'accord sur les termes :
- R est le rayon vecteur, distance entre la planète et le foyer de l’ellipse occupé par son étoile.
- e est l’excentricité de l’ellipse, je suppose
- thêta est l’anomalie vraie, ou est-ce l'anomalie moyenne, ou est-ce autre chose?
- p ? Il me semble que ce ne peut pas être le demi grand axe, car cela ne conduirait pas à la formule indiquée, si thêta est l'anomalie vraie.

[petitmousse49]

Bonjour
Je pense que, compte tenu de l'équation polaire fournie par Luka0208, il s'agit de l'anomalie vraie, souvent notée ν qui correspond à l'angle polaire avec origine du repère au foyer. Il n'existe aucune formule simple donnant ν (= θ) en fonction de t. Il faut partir de l'anomalie moyenne M qui est l'angle polaire d'un astre fictif qui décrirait autour du centre (pas du foyer) de l’ellipse un mouvement circulaire uniforme de rayon a (demi grand axe de l'ellipse) de période T (période réelle du mouvement elliptique). On peut poser avec M en radians :

De M, on déduit l'anomalie excentrique E en résolvant numériquement, pour une valeur de t donnée, l'équation de Képler où e désigne l'excentricité :

E désigne l'angle polaire dans le repère dont l'origine placée est le centre de l'ellipse.
On en déduit l'angle polaire ou anomalie vraie par la relation :

Et il faut faire cela point par point !
Des schémas et plus de précisions ici, paragraphe II.2 :
http://vanoise49.pagesperso-orange.f...%20solaire.pdf
Si cela t'intéresse, la démonstration de la relation entre anomalie excentrique et anomalie vraie est ici, pages 2 et 3 :
http://vanoise49.pagesperso-orange.f...elliptique.pdf

[SULREN]

Bonjour,

Je proposerais (à confirmer après vérification):
t est le temps
P = demi grand axe
T = période orbitale (T= une année tropique pour la terre)
M = anomalie moyenne = 0 à l’instant t=0 (planète au périhélie).
E = anomalie excentrique
R = Rayon vecteur
e = excentricité de l’orbite

On a ensuite :
M = 2 pi *t /T
E - e*sin E = M
On obtient E en résolvant par itérations.

Et finalement le rayon vecteur recherché est :
R= P*(1-e*cos E)

Remarque :
Si thêta est l’anomalie vraie dans l’équation de Luka 0208, je pense qu’il a fait une simplification en supposant l’excentricité e faible, car il aurait dû écrire
R = p*(1-e^2)/(1+e*cos thêta)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Luka0208]

Oui excusez moi il s’agit bien de l’anomalie vraie ! Desolé de pas avoir precisé
En tout cas merci beaucoup pour vos reponses je vais étudier ca demain matin !

[petitmousse49]

Bonsoir SULREN,
Nous sommes d'accord certainement sur le plan théorique. Nous n'avons simplement pas fait la même interprétation de la lettre p. Je suis totalement d'accord avec ton message précédent puisque tu appelles p le demi grand axe de l'ellipse.
Lucas0208 est étudiant et parle d'équation en coordonnées polaires écrite sous la forme :

Pour bien connaître les notations en usage dans l'enseignement supérieur français, je pense que "p" ne désigne pas le demi grand axe (noté très souvent "a" dans l'enseignement) mais le paramètre de l'ellipse :

Pour obtenir R=distance au foyer, on peut effectivement utiliser la relation faisant intervenir l'anomalie excentrique que tu fournie :

mais Lucas028 demande aussi comment déterminer l'anomalie vraie θ ; il faut donc aussi passer de E à θ à une date t en utilisant :

avec sin(θ) du même signe que sin(E).

[petitmousse49]

Merci obi76 ; très sympa de ta part !

[SULREN]

Bonjour,
@Petitmousse49
Tu as écrit:
[QUOTE=petitmousse49;6189856]
On en déduit l'angle polaire ou anomalie vraie par la relation :

Et il faut faire cela point par point !
[QUOTE]

1) Peut-on savoir de quel document sont extraites les annexes dont tu nous a donné le lien au post #3?
Je ne le connais pas et il me semble fort intéressant.
Merci.

2) Je ne doute de la validité de la formule que tu donnes, extraite de ces annexes, mais je ne peux m'empêcher de la rapprocher d'une autre formule, elle donnée par Jean Meeus, qui est identique mais qui ne porte pas sur les mêmes anomalies. Il dit:

tan (E) = sin (M)/ (cos (M) -e)

Il y a, au moins en première approche, une contradiction.
J'avoue que je n'ai pas fait de calculs pour voir si on ne peut pas en effet passer de l'une à l'autre.

PS: Accessoirement j'avoue aussi que je devrais écrire ces formules en LaTex. Je ne le pratique pas assez souvent pour être "fluent".
Les Modos vont finir par me taper sur les doigts.

[petitmousse49]

Bonjour
Juste une illustration concernant une simulation de mouvement elliptique vérifiant la loi des aires. J'ai choisi arbitrairement un demi grand axe a=4 (unité arbitraire) et une période de révolution T=8 (unité arbitraire). Pour bien visualiser la différence entre mouvement elliptique et mouvement circulaire uniforme, j'ai fortement exagéré la valeur de l'excentricité par rapport à celles observées habituellement en astronomie : e=0,6. Dans ces conditions, le foyer F est beaucoup plus près du périastre (P) que de l'apoastre (A). Il me semble intéressant de bien visualiser les évolution en fonction du temps des trois anomalies. Je choisis t=0 correspondant à un passage en P. Bien sûr, M varie linéairement de 0 à 2π. Le plus intéressant est l'observation des variations de l'anomalie vraie ϴ en fonction de t sur une période. On voit bien que la dérivée (dϴ/dt) est maximale en P (t=0 modulo T) et minimale en A (t=T/2 modulo T). J'ai aussi tracé la courbe R=FM=f(t) ; son interprétation est immédiate.
anomalies_trajectoire.png
anomalies.png
anomalies_r.png

[petitmousse49]

Bonjour SULREN
Le document auquel tu fais allusion est une étude que j'ai faite il y a quelques années pour aider un ami, horloger d'art, à construire un planétaire géocentrique. Tu risques de trouver le document principal un peu ennuyeux car je suis resté assez "ras des pâquerettes". Je m'étais fixé au départ de ne pas dépasser en math le niveau théorème de Thalès et en physique, le niveau composition des vitesses en rotation... J'ai parfois un peu dépassé le cadre mais pas trop ! En revanche, les annexes sont de niveau plus élevé. Si cela t'intéresse : entre dans un moteur de recherche : "planétaire géocentrique" : c'est en général la première entrée (pages perso orange). Choisis de préférence la version pdf car je ne suis pas un pro du HTML...
Concernant le passage de l'anomalie excentrique à l'anomalie vraie, j'ai fourni la formule simplifiée, valide pour e²<<1. En toute rigueur :

J'ai démontré cette formule page 3 de l'annexe 1. J'accepte bien volontiers toute critique constructive de ce travail. Je fournis une adresse mél pour cela...
J'ai beaucoup utilisé le livre de Jean MEEUS : "Calculs astronomiques à l'usage des amateurs". S'agit-il de ce livre ? En vacances actuellement, je ne l'ai pas sous la main. C'est un livre très sérieux et fiable mais la formule que tu évoques m'étonne :
à plusieurs reprises, Jean MEEUS explique que le passage de M à E ne peut se faire que par itération, à l'aide de l'équation de Képler que nous avons évoquée dans les messages précédents ; il indique d'ailleurs une méthode assez astucieuse de résolution à l'aide d'une simple calculatrice. De nombreux autres auteurs précisent la même chose. Dans ces conditions, il ne peut pas exister de formule simple permettant de passer de M à E dans le cas général. Un cas particulier ??? une faute de frappe ???

[SULREN]

Re,
@petitmousse49 :

J'ai beaucoup utilisé le livre de Jean MEEUS : "Calculs astronomiques à l'usage des amateurs". S'agit-il de ce livre ? En vacances actuellement, je ne l'ai pas sous la main. C'est un livre très sérieux et fiable mais la formule que tu évoques m'étonne.

J’ai aussi ce livre de Jean Meeus, mais je l’utilise peu car je préfère son autre livre, plus récent, bien plus complet, en Anglais, qui est : « Astronomical Algorithms ». C’est dans ce dernier, en page 206, que Jean Meeus donne la formule :
tan (E) = sin (M) / (cos (M) -e)
comme étant la 4eme méthode de résolution de l’équation de Kepler.
Il dit qu’elle n’est valable que pour les faibles excentricités.

Jean MEEUS explique que le passage de M à E ne peut se faire que par itération, à l'aide de l'équation de Képler que nous avons évoquée dans les messages précédents ; il indique d'ailleurs une méthode assez astucieuse de résolution à l'aide d'une simple calculatrice.

En vue de l’usage de l’itération il vaut mieux présenter l’équation de Kepler sous la forme :
E = M + e0 sin E
Cette méthode d’itération est astucieuse, mais en fait très classique. On l’emploie souvent quand on tombe sur des équations implicites, comme l’équation de Colebrook-White (voir sur Wiki) en mécanique des fluides, dont je suis aussi un mordu :

Le λ qu'on cherche à calculer se trouve dans les deux membres. On ne peut le calculer que par itération.
J’ai eu bon nombre de discussions sur Futura Sciences à ce sujet :

il ne peut pas exister de formule simple permettant de passer de M à E dans le cas général

Oui il en existe une, mais dans le cas des excentricités très faibles seulement.
C’est pour cela que je ne l’ai pas proposée à Luka0208 qui dans son post d’ouverture demandait une telle formule. Je pourrais la donner dans un post à venir.

pour aider un ami, horloger d'art, à construire un planétaire géocentrique

De même, afin de ne pas être trop long, je ne parlerai que dans un autre post du planétaire géocentrique auquel tu as contribué.

[petitmousse49]

Re
@SULREN
Merci pour ces précisions ! J'ai eu la curiosité de tester la formule approchée fournie dans ton dernier message en choisissant e=0,0167. L'erreur par rapport à la résolution de l'équation de Képler est effectivement tout à fait négligeable avec une aussi petite excentricité.
Juste une question si tu permets : la détermination de la tangente d'un angle détermine celui-ci à 180° près. Jean MEEUS indique-t-il une méthode pour lever l'indétermination ? Cela serait utile pour une utilisation dans un programme informatique ; sinon , point par point, on doit pouvoir se débrouiller en remarquant que pour une aussi faible valeur de e, M et E sont deux valeurs très proches.

[SULREN]

Bonjour,
@petitmousse49

Merci pour ces précisions ! J'ai eu la curiosité de tester la formule approchée fournie dans ton dernier message en choisissant e=0,0167. L'erreur par rapport à la résolution de l'équation de Képler est effectivement tout à fait négligeable avec une aussi petite excentricité.

Pour e=0,0167 (orbite de la terre) l’erreur est de 0’’,2 selon J. Meeus
Pour les valeurs de e plus élevées et en fonction de ses besoins en précision il faut utiliser ou pas cette formule approchée.

Juste une question si tu permets : la détermination de la tangente d'un angle détermine celui-ci à 180° près. Jean MEEUS indique-t-il une méthode pour lever l'indétermination ?

Jean Meeus n’indiquait rien à ce sujet. Je suppose qu’il laissait à chacun le soin de lever les indéterminations. Il y a deux difficultés, me semble t’il.
On part de M et de e
On calcule : tan E = sin M / (cos M –e)
Il y a déjà le problème de la division par 0 si cos M = e
Si le langage de programmation utilisé ne gère pas cela, il faut prévoir des butées.

Ensuite on calcule E qui est: Arctan (tan E)
Mais l’Arctan n’est définie : que pour l’intervalle ]- π/2 ; +π/2 [

A mon vis il aussi calculer une deuxième valeur de E qui serait :
Arctan (tan E) +180 (si on travaille en degrés)

On retient la valeur de E qui est la plus proche de M

[petitmousse49]

Bonjour
Par curiosité, j'ai "programmé" (un bien grand mot dans ce contexte !) sous Matlab l'erreur introduite par la formule approchée. C'est une erreur par excès pour M compris entre 0° et 180° (environ) et une erreur par défaut pour M>180° (environ).
Pour e=0,0167, l'erreur maximale est obtenue pour M très proche de 90° et vaut environ 0,16 seconde d'angle , ce qui est en accord avec ton message ; erreur opposée pour M voisin de 270°; résultat cohérent avec les indications de Jean Meeus.
En revanche, l'erreur maximale augmente vite avec l'augmentation de l'excentricité. Pour e=0,0549, l'erreur maximale grimpe déjà à 6" environ...

[SULREN]

Bonjour,

En revanche, l'erreur maximale augmente vite avec l'augmentation de l'excentricité

Tout à fait. Comme pour toute formule approchée il faut être conscient des limites d’emploi.

Pour mes minuscules besoins d’amateur elle suffirait, même aux valeurs de e relativement élevées. Néanmoins, avec la puissance de calcul dont nous disposons à peu de frais, je n’hésiterais pas à faire le calcul par l’une des deux méthodes itératives proposées par Jean Meeus :
- La simple, en prenant E(i+1) = M + e sin E (i)
- Celle à convergence rapide, où E(i+1) = E(i) + (M+e sin E(i) – E(i)) / (1-e cos E(i))

Voir la page 69 du livre « Calculs Astronomiques » à l’usage des amateurs.
Quand cet ouvrage a été écrit (1986) on était heureux de disposer d’une calculatrice programmable et pour ceux qui n’en disposaient pas la formule approchée était fort utile.

Aujourd’hui, sur un PC de niveau moyen, je fais en quelques secondes des calculs par la méthode « force brute » qui nécessite l’exécution de «milliards de boucles ».
Le temps de calcul de E serait insignifiant.

Je n’ai pas MATLAB (« trop cher mon fils »), mais SCILAB, son équivalent gratuit.
Je préfère cependant souvent créer mes propres outils de calcul en langage de programmation, afin de me les tailler sur mesure.